Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sin2h Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sin2h 33529
Description: Half-angle rule for sine. (Contributed by Brendan Leahy, 3-Aug-2018.)
Assertion
Ref Expression
sin2h (𝐴 ∈ (0[,](2 · π)) → (sin‘(𝐴 / 2)) = (√‘((1 − (cos‘𝐴)) / 2)))

Proof of Theorem sin2h
StepHypRef Expression
1 0re 10078 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
2 2re 11128 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
3 pire 24255 . . . . . . 7 π ∈ ℝ
42, 3remulcli 10092 . . . . . 6 (2 · π) ∈ ℝ
5 iccssre 12293 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ ∧ (2 · π) ∈ ℝ) → (0[,](2 · π)) ⊆ ℝ)
61, 4, 5mp2an 708 . . . . 5 (0[,](2 · π)) ⊆ ℝ
76sseli 3632 . . . 4 (𝐴 ∈ (0[,](2 · π)) → 𝐴 ∈ ℝ)
87rehalfcld 11317 . . 3 (𝐴 ∈ (0[,](2 · π)) → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
98resincld 14917 . 2 (𝐴 ∈ (0[,](2 · π)) → (sin‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ)
10 1re 10077 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
11 recoscl 14915 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘𝐴) ∈ ℝ)
12 resubcl 10383 . . . . . 6 ((1 ∈ ℝ ∧ (cos‘𝐴) ∈ ℝ) → (1 − (cos‘𝐴)) ∈ ℝ)
1310, 11, 12sylancr 696 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (1 − (cos‘𝐴)) ∈ ℝ)
1413rehalfcld 11317 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → ((1 − (cos‘𝐴)) / 2) ∈ ℝ)
15 cosbnd 14955 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (-1 ≤ (cos‘𝐴) ∧ (cos‘𝐴) ≤ 1))
1615simprd 478 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘𝐴) ≤ 1)
17 subge0 10579 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℝ ∧ (cos‘𝐴) ∈ ℝ) → (0 ≤ (1 − (cos‘𝐴)) ↔ (cos‘𝐴) ≤ 1))
1810, 11, 17sylancr 696 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ (1 − (cos‘𝐴)) ↔ (cos‘𝐴) ≤ 1))
19 halfnneg2 11301 . . . . . . 7 ((1 − (cos‘𝐴)) ∈ ℝ → (0 ≤ (1 − (cos‘𝐴)) ↔ 0 ≤ ((1 − (cos‘𝐴)) / 2)))
2013, 19syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ (1 − (cos‘𝐴)) ↔ 0 ≤ ((1 − (cos‘𝐴)) / 2)))
2118, 20bitr3d 270 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → ((cos‘𝐴) ≤ 1 ↔ 0 ≤ ((1 − (cos‘𝐴)) / 2)))
2216, 21mpbid 222 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ ((1 − (cos‘𝐴)) / 2))
2314, 22resqrtcld 14200 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (√‘((1 − (cos‘𝐴)) / 2)) ∈ ℝ)
247, 23syl 17 . 2 (𝐴 ∈ (0[,](2 · π)) → (√‘((1 − (cos‘𝐴)) / 2)) ∈ ℝ)
251, 4elicc2i 12277 . . . 4 (𝐴 ∈ (0[,](2 · π)) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ (2 · π)))
26 halfnneg2 11301 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ (𝐴 / 2)))
27 2pos 11150 . . . . . . . . . . 11 0 < 2
282, 27pm3.2i 470 . . . . . . . . . 10 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
29 ledivmul 10937 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((𝐴 / 2) ≤ π ↔ 𝐴 ≤ (2 · π)))
303, 28, 29mp3an23 1456 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 / 2) ≤ π ↔ 𝐴 ≤ (2 · π)))
3130bicomd 213 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ (2 · π) ↔ (𝐴 / 2) ≤ π))
3226, 31anbi12d 747 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → ((0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ (2 · π)) ↔ (0 ≤ (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) ≤ π)))
33 rehalfcl 11296 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
3433rexrd 10127 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ*)
35 0xr 10124 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ*
363rexri 10135 . . . . . . . . 9 π ∈ ℝ*
37 elicc4 12278 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ (𝐴 / 2) ∈ ℝ*) → ((𝐴 / 2) ∈ (0[,]π) ↔ (0 ≤ (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) ≤ π)))
3835, 36, 37mp3an12 1454 . . . . . . . 8 ((𝐴 / 2) ∈ ℝ* → ((𝐴 / 2) ∈ (0[,]π) ↔ (0 ≤ (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) ≤ π)))
3934, 38syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 / 2) ∈ (0[,]π) ↔ (0 ≤ (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) ≤ π)))
4032, 39bitr4d 271 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → ((0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ (2 · π)) ↔ (𝐴 / 2) ∈ (0[,]π)))
4140biimpd 219 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → ((0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ (2 · π)) → (𝐴 / 2) ∈ (0[,]π)))
42413impib 1281 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ (2 · π)) → (𝐴 / 2) ∈ (0[,]π))
4325, 42sylbi 207 . . 3 (𝐴 ∈ (0[,](2 · π)) → (𝐴 / 2) ∈ (0[,]π))
44 sinq12ge0 24305 . . 3 ((𝐴 / 2) ∈ (0[,]π) → 0 ≤ (sin‘(𝐴 / 2)))
4543, 44syl 17 . 2 (𝐴 ∈ (0[,](2 · π)) → 0 ≤ (sin‘(𝐴 / 2)))
4614, 22sqrtge0d 14203 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ (√‘((1 − (cos‘𝐴)) / 2)))
477, 46syl 17 . 2 (𝐴 ∈ (0[,](2 · π)) → 0 ≤ (√‘((1 − (cos‘𝐴)) / 2)))
487recnd 10106 . . 3 (𝐴 ∈ (0[,](2 · π)) → 𝐴 ∈ ℂ)
49 ax-1cn 10032 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
50 coscl 14901 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
51 subcl 10318 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ∈ ℂ) → (1 − (cos‘𝐴)) ∈ ℂ)
5249, 50, 51sylancr 696 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (1 − (cos‘𝐴)) ∈ ℂ)
5352halfcld 11315 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((1 − (cos‘𝐴)) / 2) ∈ ℂ)
5453sqsqrtd 14222 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘((1 − (cos‘𝐴)) / 2))↑2) = ((1 − (cos‘𝐴)) / 2))
55 halfcl 11295 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
56 coscl 14901 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → (cos‘(𝐴 / 2)) ∈ ℂ)
5756sqcld 13046 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → ((cos‘(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℂ)
58 2cn 11129 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℂ
59 mulcom 10060 . . . . . . . . . . . 12 ((((cos‘(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (((cos‘(𝐴 / 2))↑2) · 2) = (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)))
6057, 58, 59sylancl 695 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → (((cos‘(𝐴 / 2))↑2) · 2) = (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)))
6160oveq2d 6706 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → ((1 · 2) − (((cos‘(𝐴 / 2))↑2) · 2)) = ((1 · 2) − (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2))))
6258mulid2i 10081 . . . . . . . . . . . 12 (1 · 2) = 2
63 df-2 11117 . . . . . . . . . . . 12 2 = (1 + 1)
6462, 63eqtri 2673 . . . . . . . . . . 11 (1 · 2) = (1 + 1)
6564oveq1i 6700 . . . . . . . . . 10 ((1 · 2) − (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2))) = ((1 + 1) − (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)))
6661, 65syl6eq 2701 . . . . . . . . 9 ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → ((1 · 2) − (((cos‘(𝐴 / 2))↑2) · 2)) = ((1 + 1) − (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2))))
67 subdir 10502 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℂ ∧ ((cos‘(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((1 − ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) · 2) = ((1 · 2) − (((cos‘(𝐴 / 2))↑2) · 2)))
6849, 58, 67mp3an13 1455 . . . . . . . . . 10 (((cos‘(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℂ → ((1 − ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) · 2) = ((1 · 2) − (((cos‘(𝐴 / 2))↑2) · 2)))
6957, 68syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → ((1 − ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) · 2) = ((1 · 2) − (((cos‘(𝐴 / 2))↑2) · 2)))
70 mulcl 10058 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℂ ∧ ((cos‘(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℂ) → (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) ∈ ℂ)
7158, 57, 70sylancr 696 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) ∈ ℂ)
72 subsub3 10351 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℂ ∧ (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (1 − ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − 1)) = ((1 + 1) − (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2))))
7349, 49, 72mp3an13 1455 . . . . . . . . . 10 ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) ∈ ℂ → (1 − ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − 1)) = ((1 + 1) − (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2))))
7471, 73syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → (1 − ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − 1)) = ((1 + 1) − (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2))))
7566, 69, 743eqtr4d 2695 . . . . . . . 8 ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → ((1 − ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) · 2) = (1 − ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − 1)))
76 sincl 14900 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → (sin‘(𝐴 / 2)) ∈ ℂ)
7776sqcld 13046 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → ((sin‘(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℂ)
7877, 57pncand 10431 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → ((((sin‘(𝐴 / 2))↑2) + ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) = ((sin‘(𝐴 / 2))↑2))
79 sincossq 14950 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → (((sin‘(𝐴 / 2))↑2) + ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) = 1)
8079oveq1d 6705 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → ((((sin‘(𝐴 / 2))↑2) + ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) = (1 − ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)))
8178, 80eqtr3d 2687 . . . . . . . . 9 ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → ((sin‘(𝐴 / 2))↑2) = (1 − ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)))
8281oveq1d 6705 . . . . . . . 8 ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → (((sin‘(𝐴 / 2))↑2) · 2) = ((1 − ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) · 2))
83 cos2t 14952 . . . . . . . . 9 ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → (cos‘(2 · (𝐴 / 2))) = ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − 1))
8483oveq2d 6706 . . . . . . . 8 ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → (1 − (cos‘(2 · (𝐴 / 2)))) = (1 − ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − 1)))
8575, 82, 843eqtr4d 2695 . . . . . . 7 ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → (((sin‘(𝐴 / 2))↑2) · 2) = (1 − (cos‘(2 · (𝐴 / 2)))))
8655, 85syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘(𝐴 / 2))↑2) · 2) = (1 − (cos‘(2 · (𝐴 / 2)))))
87 2ne0 11151 . . . . . . . . 9 2 ≠ 0
88 divcan2 10731 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (2 · (𝐴 / 2)) = 𝐴)
8958, 87, 88mp3an23 1456 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (𝐴 / 2)) = 𝐴)
9089fveq2d 6233 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(2 · (𝐴 / 2))) = (cos‘𝐴))
9190oveq2d 6706 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (1 − (cos‘(2 · (𝐴 / 2)))) = (1 − (cos‘𝐴)))
9286, 91eqtrd 2685 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘(𝐴 / 2))↑2) · 2) = (1 − (cos‘𝐴)))
9392oveq1d 6705 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((((sin‘(𝐴 / 2))↑2) · 2) / 2) = ((1 − (cos‘𝐴)) / 2))
9455sincld 14904 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(𝐴 / 2)) ∈ ℂ)
9594sqcld 13046 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℂ)
96 divcan4 10750 . . . . . 6 ((((sin‘(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → ((((sin‘(𝐴 / 2))↑2) · 2) / 2) = ((sin‘(𝐴 / 2))↑2))
9758, 87, 96mp3an23 1456 . . . . 5 (((sin‘(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℂ → ((((sin‘(𝐴 / 2))↑2) · 2) / 2) = ((sin‘(𝐴 / 2))↑2))
9895, 97syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((((sin‘(𝐴 / 2))↑2) · 2) / 2) = ((sin‘(𝐴 / 2))↑2))
9954, 93, 983eqtr2rd 2692 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘(𝐴 / 2))↑2) = ((√‘((1 − (cos‘𝐴)) / 2))↑2))
10048, 99syl 17 . 2 (𝐴 ∈ (0[,](2 · π)) → ((sin‘(𝐴 / 2))↑2) = ((√‘((1 − (cos‘𝐴)) / 2))↑2))
1019, 24, 45, 47, 100sq11d 13085 1 (𝐴 ∈ (0[,](2 · π)) → (sin‘(𝐴 / 2)) = (√‘((1 − (cos‘𝐴)) / 2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wss 3607   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979  *cxr 10111   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304  -cneg 10305   / cdiv 10722  2c2 11108  [,]cicc 12216  cexp 12900  csqrt 14017  sincsin 14838  cosccos 14839  πcpi 14841
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-ef 14842  df-sin 14844  df-cos 14845  df-pi 14847  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-limc 23675  df-dv 23676
This theorem is referenced by:  tan2h  33531
  Copyright terms: Public domain W3C validator