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Theorem siilem1 28046
Description: Lemma for sii 28049. (Contributed by NM, 23-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
siii.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
siii.6 𝑁 = (normCV𝑈)
siii.7 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
siii.9 𝑈 ∈ CPreHilOLD
siii.a 𝐴𝑋
siii.b 𝐵𝑋
sii1.3 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
sii1.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
sii1.c 𝐶 ∈ ℂ
sii1.r (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℝ
sii1.z 0 ≤ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))
Assertion
Ref Expression
siilem1 ((𝐵𝑃𝐴) = (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2)) → (√‘((𝐴𝑃𝐵) · (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2)))) ≤ ((𝑁𝐴) · (𝑁𝐵)))

Proof of Theorem siilem1
StepHypRef Expression
1 siii.1 . . . . . . . . . 10 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2 siii.6 . . . . . . . . . 10 𝑁 = (normCV𝑈)
3 siii.9 . . . . . . . . . . 11 𝑈 ∈ CPreHilOLD
43phnvi 28011 . . . . . . . . . 10 𝑈 ∈ NrmCVec
5 siii.a . . . . . . . . . . 11 𝐴𝑋
6 sii1.c . . . . . . . . . . . . 13 𝐶 ∈ ℂ
76cjcli 14117 . . . . . . . . . . . 12 (∗‘𝐶) ∈ ℂ
8 siii.b . . . . . . . . . . . 12 𝐵𝑋
9 sii1.4 . . . . . . . . . . . . 13 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
101, 9nvscl 27821 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (∗‘𝐶) ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋) → ((∗‘𝐶)𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
114, 7, 8, 10mp3an 1572 . . . . . . . . . . 11 ((∗‘𝐶)𝑆𝐵) ∈ 𝑋
12 sii1.3 . . . . . . . . . . . 12 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
131, 12nvmcl 27841 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋 ∧ ((∗‘𝐶)𝑆𝐵) ∈ 𝑋) → (𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) ∈ 𝑋)
144, 5, 11, 13mp3an 1572 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) ∈ 𝑋
151, 2, 4, 14nvcli 27857 . . . . . . . . 9 (𝑁‘(𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))) ∈ ℝ
1615sqge0i 13158 . . . . . . . 8 0 ≤ ((𝑁‘(𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵)))↑2)
1714, 5, 113pm3.2i 1423 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) ∈ 𝑋𝐴𝑋 ∧ ((∗‘𝐶)𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
18 siii.7 . . . . . . . . . . 11 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
191, 12, 18dipsubdi 28044 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) ∈ 𝑋𝐴𝑋 ∧ ((∗‘𝐶)𝑆𝐵) ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃(𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))) = (((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃𝐴) − ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵))))
203, 17, 19mp2an 672 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃(𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))) = (((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃𝐴) − ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)))
211, 2, 18ipidsq 27905 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) ∈ 𝑋) → ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃(𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))) = ((𝑁‘(𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵)))↑2))
224, 14, 21mp2an 672 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃(𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))) = ((𝑁‘(𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵)))↑2)
237, 8, 113pm3.2i 1423 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((∗‘𝐶) ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋 ∧ ((∗‘𝐶)𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
241, 9, 18dipass 28040 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ ((∗‘𝐶) ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋 ∧ ((∗‘𝐶)𝑆𝐵) ∈ 𝑋)) → (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) = ((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵))))
253, 23, 24mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . 14 (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) = ((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)))
268, 6, 83pm3.2i 1423 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐵𝑋𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋)
271, 9, 18dipassr2 28042 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐵𝑋𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋)) → (𝐵𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) = (𝐶 · (𝐵𝑃𝐵)))
283, 26, 27mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) = (𝐶 · (𝐵𝑃𝐵))
291, 2, 18ipidsq 27905 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋) → (𝐵𝑃𝐵) = ((𝑁𝐵)↑2))
304, 8, 29mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐵𝑃𝐵) = ((𝑁𝐵)↑2)
3130oveq2i 6807 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐶 · (𝐵𝑃𝐵)) = (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2))
3228, 31eqtri 2793 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) = (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2))
3332oveq2i 6807 . . . . . . . . . . . . . 14 ((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵))) = ((∗‘𝐶) · (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2)))
3425, 33eqtri 2793 . . . . . . . . . . . . 13 (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) = ((∗‘𝐶) · (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2)))
3534oveq2i 6807 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) − (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵))) = ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) − ((∗‘𝐶) · (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2))))
3635oveq2i 6807 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁𝐴)↑2) − ((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴))) − ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) − (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)))) = ((((𝑁𝐴)↑2) − ((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴))) − ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) − ((∗‘𝐶) · (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2)))))
371, 2, 4, 5nvcli 27857 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁𝐴) ∈ ℝ
3837recni 10258 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁𝐴) ∈ ℂ
3938sqcli 13151 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁𝐴)↑2) ∈ ℂ
401, 18dipcl 27907 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋𝐴𝑋) → (𝐵𝑃𝐴) ∈ ℂ)
414, 8, 5, 40mp3an 1572 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵𝑃𝐴) ∈ ℂ
427, 41mulcli 10251 . . . . . . . . . . . 12 ((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴)) ∈ ℂ
43 sii1.r . . . . . . . . . . . . 13 (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℝ
4443recni 10258 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℂ
451, 2, 4, 8nvcli 27857 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁𝐵) ∈ ℝ
4645recni 10258 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁𝐵) ∈ ℂ
4746sqcli 13151 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁𝐵)↑2) ∈ ℂ
486, 47mulcli 10251 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2)) ∈ ℂ
497, 48mulcli 10251 . . . . . . . . . . . 12 ((∗‘𝐶) · (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2))) ∈ ℂ
50 sub4 10532 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑁𝐴)↑2) ∈ ℂ ∧ ((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴)) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℂ ∧ ((∗‘𝐶) · (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2))) ∈ ℂ)) → ((((𝑁𝐴)↑2) − ((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴))) − ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) − ((∗‘𝐶) · (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2))))) = ((((𝑁𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) − (((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴)) − ((∗‘𝐶) · (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2))))))
5139, 42, 44, 49, 50mp4an 673 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁𝐴)↑2) − ((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴))) − ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) − ((∗‘𝐶) · (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2))))) = ((((𝑁𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) − (((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴)) − ((∗‘𝐶) · (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2)))))
5236, 51eqtri 2793 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁𝐴)↑2) − ((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴))) − ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) − (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)))) = ((((𝑁𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) − (((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴)) − ((∗‘𝐶) · (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2)))))
535, 11, 53pm3.2i 1423 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴𝑋 ∧ ((∗‘𝐶)𝑆𝐵) ∈ 𝑋𝐴𝑋)
541, 12, 18dipsubdir 28043 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴𝑋 ∧ ((∗‘𝐶)𝑆𝐵) ∈ 𝑋𝐴𝑋)) → ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃𝐴) = ((𝐴𝑃𝐴) − (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃𝐴)))
553, 53, 54mp2an 672 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃𝐴) = ((𝐴𝑃𝐴) − (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃𝐴))
561, 2, 18ipidsq 27905 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴𝑃𝐴) = ((𝑁𝐴)↑2))
574, 5, 56mp2an 672 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴𝑃𝐴) = ((𝑁𝐴)↑2)
587, 8, 53pm3.2i 1423 . . . . . . . . . . . . . 14 ((∗‘𝐶) ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋𝐴𝑋)
591, 9, 18dipass 28040 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ ((∗‘𝐶) ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋𝐴𝑋)) → (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃𝐴) = ((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴)))
603, 58, 59mp2an 672 . . . . . . . . . . . . 13 (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃𝐴) = ((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴))
6157, 60oveq12i 6808 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝑃𝐴) − (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃𝐴)) = (((𝑁𝐴)↑2) − ((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴)))
6255, 61eqtri 2793 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃𝐴) = (((𝑁𝐴)↑2) − ((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴)))
635, 11, 113pm3.2i 1423 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴𝑋 ∧ ((∗‘𝐶)𝑆𝐵) ∈ 𝑋 ∧ ((∗‘𝐶)𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
641, 12, 18dipsubdir 28043 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴𝑋 ∧ ((∗‘𝐶)𝑆𝐵) ∈ 𝑋 ∧ ((∗‘𝐶)𝑆𝐵) ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) = ((𝐴𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) − (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵))))
653, 63, 64mp2an 672 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) = ((𝐴𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) − (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)))
665, 6, 83pm3.2i 1423 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴𝑋𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋)
671, 9, 18dipassr2 28042 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴𝑋𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋)) → (𝐴𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)))
683, 66, 67mp2an 672 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))
6968oveq1i 6806 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) − (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵))) = ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) − (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)))
7065, 69eqtri 2793 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)) = ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) − (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵)))
7162, 70oveq12i 6808 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃𝐴) − ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵))) = ((((𝑁𝐴)↑2) − ((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴))) − ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) − (((∗‘𝐶)𝑆𝐵)𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵))))
727, 41, 48subdii 10685 . . . . . . . . . . 11 ((∗‘𝐶) · ((𝐵𝑃𝐴) − (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2)))) = (((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴)) − ((∗‘𝐶) · (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2))))
7372oveq2i 6807 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) − ((∗‘𝐶) · ((𝐵𝑃𝐴) − (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2))))) = ((((𝑁𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) − (((∗‘𝐶) · (𝐵𝑃𝐴)) − ((∗‘𝐶) · (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2)))))
7452, 71, 733eqtr4i 2803 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃𝐴) − ((𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵))𝑃((∗‘𝐶)𝑆𝐵))) = ((((𝑁𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) − ((∗‘𝐶) · ((𝐵𝑃𝐴) − (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2)))))
7520, 22, 743eqtr3i 2801 . . . . . . . 8 ((𝑁‘(𝐴𝑀((∗‘𝐶)𝑆𝐵)))↑2) = ((((𝑁𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) − ((∗‘𝐶) · ((𝐵𝑃𝐴) − (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2)))))
7616, 75breqtri 4812 . . . . . . 7 0 ≤ ((((𝑁𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) − ((∗‘𝐶) · ((𝐵𝑃𝐴) − (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2)))))
7741, 48subeq0i 10567 . . . . . . . . . 10 (((𝐵𝑃𝐴) − (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2))) = 0 ↔ (𝐵𝑃𝐴) = (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2)))
78 oveq2 6804 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵𝑃𝐴) − (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2))) = 0 → ((∗‘𝐶) · ((𝐵𝑃𝐴) − (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2)))) = ((∗‘𝐶) · 0))
797mul01i 10432 . . . . . . . . . . 11 ((∗‘𝐶) · 0) = 0
8078, 79syl6eq 2821 . . . . . . . . . 10 (((𝐵𝑃𝐴) − (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2))) = 0 → ((∗‘𝐶) · ((𝐵𝑃𝐴) − (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2)))) = 0)
8177, 80sylbir 225 . . . . . . . . 9 ((𝐵𝑃𝐴) = (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2)) → ((∗‘𝐶) · ((𝐵𝑃𝐴) − (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2)))) = 0)
8281oveq2d 6812 . . . . . . . 8 ((𝐵𝑃𝐴) = (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2)) → ((((𝑁𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) − ((∗‘𝐶) · ((𝐵𝑃𝐴) − (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2))))) = ((((𝑁𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) − 0))
8337resqcli 13156 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁𝐴)↑2) ∈ ℝ
8483recni 10258 . . . . . . . . . 10 ((𝑁𝐴)↑2) ∈ ℂ
8584, 44subcli 10563 . . . . . . . . 9 (((𝑁𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) ∈ ℂ
8685subid1i 10559 . . . . . . . 8 ((((𝑁𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) − 0) = (((𝑁𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)))
8782, 86syl6eq 2821 . . . . . . 7 ((𝐵𝑃𝐴) = (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2)) → ((((𝑁𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) − ((∗‘𝐶) · ((𝐵𝑃𝐴) − (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2))))) = (((𝑁𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))))
8876, 87syl5breq 4824 . . . . . 6 ((𝐵𝑃𝐴) = (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2)) → 0 ≤ (((𝑁𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))))
8983, 43subge0i 10787 . . . . . 6 (0 ≤ (((𝑁𝐴)↑2) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) ↔ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ≤ ((𝑁𝐴)↑2))
9088, 89sylib 208 . . . . 5 ((𝐵𝑃𝐴) = (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2)) → (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ≤ ((𝑁𝐴)↑2))
9145resqcli 13156 . . . . . . . 8 ((𝑁𝐵)↑2) ∈ ℝ
9245sqge0i 13158 . . . . . . . 8 0 ≤ ((𝑁𝐵)↑2)
9391, 92pm3.2i 456 . . . . . . 7 (((𝑁𝐵)↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝑁𝐵)↑2))
9443, 83, 933pm3.2i 1423 . . . . . 6 ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℝ ∧ ((𝑁𝐴)↑2) ∈ ℝ ∧ (((𝑁𝐵)↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝑁𝐵)↑2)))
95 lemul1a 11083 . . . . . 6 ((((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℝ ∧ ((𝑁𝐴)↑2) ∈ ℝ ∧ (((𝑁𝐵)↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝑁𝐵)↑2))) ∧ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ≤ ((𝑁𝐴)↑2)) → ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁𝐵)↑2)) ≤ (((𝑁𝐴)↑2) · ((𝑁𝐵)↑2)))
9694, 95mpan 670 . . . . 5 ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ≤ ((𝑁𝐴)↑2) → ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁𝐵)↑2)) ≤ (((𝑁𝐴)↑2) · ((𝑁𝐵)↑2)))
9790, 96syl 17 . . . 4 ((𝐵𝑃𝐴) = (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2)) → ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁𝐵)↑2)) ≤ (((𝑁𝐴)↑2) · ((𝑁𝐵)↑2)))
9838, 46sqmuli 13154 . . . 4 (((𝑁𝐴) · (𝑁𝐵))↑2) = (((𝑁𝐴)↑2) · ((𝑁𝐵)↑2))
9997, 98syl6breqr 4829 . . 3 ((𝐵𝑃𝐴) = (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2)) → ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁𝐵)↑2)) ≤ (((𝑁𝐴) · (𝑁𝐵))↑2))
100 sii1.z . . . . 5 0 ≤ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))
10143, 91mulge0i 10781 . . . . 5 ((0 ≤ (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ∧ 0 ≤ ((𝑁𝐵)↑2)) → 0 ≤ ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁𝐵)↑2)))
102100, 92, 101mp2an 672 . . . 4 0 ≤ ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁𝐵)↑2))
10337, 45remulcli 10260 . . . . 5 ((𝑁𝐴) · (𝑁𝐵)) ∈ ℝ
104103sqge0i 13158 . . . 4 0 ≤ (((𝑁𝐴) · (𝑁𝐵))↑2)
10543, 91remulcli 10260 . . . . 5 ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁𝐵)↑2)) ∈ ℝ
106103resqcli 13156 . . . . 5 (((𝑁𝐴) · (𝑁𝐵))↑2) ∈ ℝ
107105, 106sqrtlei 14336 . . . 4 ((0 ≤ ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁𝐵)↑2)) ∧ 0 ≤ (((𝑁𝐴) · (𝑁𝐵))↑2)) → (((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁𝐵)↑2)) ≤ (((𝑁𝐴) · (𝑁𝐵))↑2) ↔ (√‘((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁𝐵)↑2))) ≤ (√‘(((𝑁𝐴) · (𝑁𝐵))↑2))))
108102, 104, 107mp2an 672 . . 3 (((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁𝐵)↑2)) ≤ (((𝑁𝐴) · (𝑁𝐵))↑2) ↔ (√‘((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁𝐵)↑2))) ≤ (√‘(((𝑁𝐴) · (𝑁𝐵))↑2)))
10999, 108sylib 208 . 2 ((𝐵𝑃𝐴) = (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2)) → (√‘((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁𝐵)↑2))) ≤ (√‘(((𝑁𝐴) · (𝑁𝐵))↑2)))
1101, 18dipcl 27907 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ)
1114, 5, 8, 110mp3an 1572 . . . . . 6 (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ
1126, 111mulcomi 10252 . . . . 5 (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) = ((𝐴𝑃𝐵) · 𝐶)
113112oveq1i 6806 . . . 4 ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁𝐵)↑2)) = (((𝐴𝑃𝐵) · 𝐶) · ((𝑁𝐵)↑2))
11491recni 10258 . . . . 5 ((𝑁𝐵)↑2) ∈ ℂ
115111, 6, 114mulassi 10255 . . . 4 (((𝐴𝑃𝐵) · 𝐶) · ((𝑁𝐵)↑2)) = ((𝐴𝑃𝐵) · (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2)))
116113, 115eqtri 2793 . . 3 ((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁𝐵)↑2)) = ((𝐴𝑃𝐵) · (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2)))
117116fveq2i 6336 . 2 (√‘((𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) · ((𝑁𝐵)↑2))) = (√‘((𝐴𝑃𝐵) · (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2))))
1181, 2nvge0 27868 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → 0 ≤ (𝑁𝐴))
1194, 5, 118mp2an 672 . . . 4 0 ≤ (𝑁𝐴)
1201, 2nvge0 27868 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋) → 0 ≤ (𝑁𝐵))
1214, 8, 120mp2an 672 . . . 4 0 ≤ (𝑁𝐵)
12237, 45mulge0i 10781 . . . 4 ((0 ≤ (𝑁𝐴) ∧ 0 ≤ (𝑁𝐵)) → 0 ≤ ((𝑁𝐴) · (𝑁𝐵)))
123119, 121, 122mp2an 672 . . 3 0 ≤ ((𝑁𝐴) · (𝑁𝐵))
124103sqrtsqi 14322 . . 3 (0 ≤ ((𝑁𝐴) · (𝑁𝐵)) → (√‘(((𝑁𝐴) · (𝑁𝐵))↑2)) = ((𝑁𝐴) · (𝑁𝐵)))
125123, 124ax-mp 5 . 2 (√‘(((𝑁𝐴) · (𝑁𝐵))↑2)) = ((𝑁𝐴) · (𝑁𝐵))
126109, 117, 1253brtr3g 4820 1 ((𝐵𝑃𝐴) = (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2)) → (√‘((𝐴𝑃𝐵) · (𝐶 · ((𝑁𝐵)↑2)))) ≤ ((𝑁𝐴) · (𝑁𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145   class class class wbr 4787  cfv 6030  (class class class)co 6796  cc 10140  cr 10141  0cc0 10142   · cmul 10147  cle 10281  cmin 10472  2c2 11276  cexp 13067  ccj 14044  csqrt 14181  NrmCVeccnv 27779  BaseSetcba 27781   ·𝑠OLD cns 27782  𝑣 cnsb 27784  normCVcnmcv 27785  ·𝑖OLDcdip 27895  CPreHilOLDccphlo 28007
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-inf2 8706  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-pre-sup 10220  ax-addf 10221  ax-mulf 10222
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-iin 4658  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-of 7048  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-supp 7451  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-2o 7718  df-oadd 7721  df-er 7900  df-map 8015  df-ixp 8067  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-fsupp 8436  df-fi 8477  df-sup 8508  df-inf 8509  df-oi 8575  df-card 8969  df-cda 9196  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-4 11287  df-5 11288  df-6 11289  df-7 11290  df-8 11291  df-9 11292  df-n0 11500  df-z 11585  df-dec 11701  df-uz 11894  df-q 11997  df-rp 12036  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-ioo 12384  df-icc 12387  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-clim 14427  df-sum 14625  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-unif 16173  df-hom 16174  df-cco 16175  df-rest 16291  df-topn 16292  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-topgen 16312  df-pt 16313  df-prds 16316  df-xrs 16370  df-qtop 16375  df-imas 16376  df-xps 16378  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544  df-mulg 17749  df-cntz 17957  df-cmn 18402  df-psmet 19953  df-xmet 19954  df-met 19955  df-bl 19956  df-mopn 19957  df-cnfld 19962  df-top 20919  df-topon 20936  df-topsp 20958  df-bases 20971  df-cld 21044  df-ntr 21045  df-cls 21046  df-cn 21252  df-cnp 21253  df-t1 21339  df-haus 21340  df-tx 21586  df-hmeo 21779  df-xms 22345  df-ms 22346  df-tms 22347  df-grpo 27687  df-gid 27688  df-ginv 27689  df-gdiv 27690  df-ablo 27739  df-vc 27754  df-nv 27787  df-va 27790  df-ba 27791  df-sm 27792  df-0v 27793  df-vs 27794  df-nmcv 27795  df-ims 27796  df-dip 27896  df-ph 28008
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