MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  siii Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem siii 27836
Description: Inference from sii 27837. (Contributed by NM, 20-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
siii.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
siii.6 𝑁 = (normCV𝑈)
siii.7 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
siii.9 𝑈 ∈ CPreHilOLD
siii.a 𝐴𝑋
siii.b 𝐵𝑋
Assertion
Ref Expression
siii (abs‘(𝐴𝑃𝐵)) ≤ ((𝑁𝐴) · (𝑁𝐵))

Proof of Theorem siii
StepHypRef Expression
1 oveq2 6698 . . . . 5 (𝐵 = (0vec𝑈) → (𝐴𝑃𝐵) = (𝐴𝑃(0vec𝑈)))
2 siii.9 . . . . . . 7 𝑈 ∈ CPreHilOLD
32phnvi 27799 . . . . . 6 𝑈 ∈ NrmCVec
4 siii.a . . . . . 6 𝐴𝑋
5 siii.1 . . . . . . 7 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
6 eqid 2651 . . . . . . 7 (0vec𝑈) = (0vec𝑈)
7 siii.7 . . . . . . 7 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
85, 6, 7dip0r 27700 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴𝑃(0vec𝑈)) = 0)
93, 4, 8mp2an 708 . . . . 5 (𝐴𝑃(0vec𝑈)) = 0
101, 9syl6eq 2701 . . . 4 (𝐵 = (0vec𝑈) → (𝐴𝑃𝐵) = 0)
1110abs00bd 14075 . . 3 (𝐵 = (0vec𝑈) → (abs‘(𝐴𝑃𝐵)) = 0)
12 siii.6 . . . . . 6 𝑁 = (normCV𝑈)
135, 12nvge0 27656 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → 0 ≤ (𝑁𝐴))
143, 4, 13mp2an 708 . . . 4 0 ≤ (𝑁𝐴)
15 siii.b . . . . 5 𝐵𝑋
165, 12nvge0 27656 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋) → 0 ≤ (𝑁𝐵))
173, 15, 16mp2an 708 . . . 4 0 ≤ (𝑁𝐵)
185, 12, 3, 4nvcli 27645 . . . . 5 (𝑁𝐴) ∈ ℝ
195, 12, 3, 15nvcli 27645 . . . . 5 (𝑁𝐵) ∈ ℝ
2018, 19mulge0i 10613 . . . 4 ((0 ≤ (𝑁𝐴) ∧ 0 ≤ (𝑁𝐵)) → 0 ≤ ((𝑁𝐴) · (𝑁𝐵)))
2114, 17, 20mp2an 708 . . 3 0 ≤ ((𝑁𝐴) · (𝑁𝐵))
2211, 21syl6eqbr 4724 . 2 (𝐵 = (0vec𝑈) → (abs‘(𝐴𝑃𝐵)) ≤ ((𝑁𝐴) · (𝑁𝐵)))
2319recni 10090 . . . . . . . . . . 11 (𝑁𝐵) ∈ ℂ
2423sqeq0i 12985 . . . . . . . . . 10 (((𝑁𝐵)↑2) = 0 ↔ (𝑁𝐵) = 0)
255, 6, 12nvz 27652 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋) → ((𝑁𝐵) = 0 ↔ 𝐵 = (0vec𝑈)))
263, 15, 25mp2an 708 . . . . . . . . . 10 ((𝑁𝐵) = 0 ↔ 𝐵 = (0vec𝑈))
2724, 26bitri 264 . . . . . . . . 9 (((𝑁𝐵)↑2) = 0 ↔ 𝐵 = (0vec𝑈))
2827necon3bii 2875 . . . . . . . 8 (((𝑁𝐵)↑2) ≠ 0 ↔ 𝐵 ≠ (0vec𝑈))
295, 7dipcl 27695 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋𝐴𝑋) → (𝐵𝑃𝐴) ∈ ℂ)
303, 15, 4, 29mp3an 1464 . . . . . . . . 9 (𝐵𝑃𝐴) ∈ ℂ
3119resqcli 12989 . . . . . . . . . 10 ((𝑁𝐵)↑2) ∈ ℝ
3231recni 10090 . . . . . . . . 9 ((𝑁𝐵)↑2) ∈ ℂ
3330, 32divcan1zi 10799 . . . . . . . 8 (((𝑁𝐵)↑2) ≠ 0 → (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁𝐵)↑2)) · ((𝑁𝐵)↑2)) = (𝐵𝑃𝐴))
3428, 33sylbir 225 . . . . . . 7 (𝐵 ≠ (0vec𝑈) → (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁𝐵)↑2)) · ((𝑁𝐵)↑2)) = (𝐵𝑃𝐴))
355, 7dipcj 27697 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (∗‘(𝐴𝑃𝐵)) = (𝐵𝑃𝐴))
363, 4, 15, 35mp3an 1464 . . . . . . 7 (∗‘(𝐴𝑃𝐵)) = (𝐵𝑃𝐴)
3734, 36syl6eqr 2703 . . . . . 6 (𝐵 ≠ (0vec𝑈) → (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁𝐵)↑2)) · ((𝑁𝐵)↑2)) = (∗‘(𝐴𝑃𝐵)))
3837oveq2d 6706 . . . . 5 (𝐵 ≠ (0vec𝑈) → ((𝐴𝑃𝐵) · (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁𝐵)↑2)) · ((𝑁𝐵)↑2))) = ((𝐴𝑃𝐵) · (∗‘(𝐴𝑃𝐵))))
3938fveq2d 6233 . . . 4 (𝐵 ≠ (0vec𝑈) → (√‘((𝐴𝑃𝐵) · (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁𝐵)↑2)) · ((𝑁𝐵)↑2)))) = (√‘((𝐴𝑃𝐵) · (∗‘(𝐴𝑃𝐵)))))
405, 7dipcl 27695 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ)
413, 4, 15, 40mp3an 1464 . . . . 5 (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ
42 absval 14022 . . . . 5 ((𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ → (abs‘(𝐴𝑃𝐵)) = (√‘((𝐴𝑃𝐵) · (∗‘(𝐴𝑃𝐵)))))
4341, 42ax-mp 5 . . . 4 (abs‘(𝐴𝑃𝐵)) = (√‘((𝐴𝑃𝐵) · (∗‘(𝐴𝑃𝐵))))
4439, 43syl6reqr 2704 . . 3 (𝐵 ≠ (0vec𝑈) → (abs‘(𝐴𝑃𝐵)) = (√‘((𝐴𝑃𝐵) · (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁𝐵)↑2)) · ((𝑁𝐵)↑2)))))
4534eqcomd 2657 . . . 4 (𝐵 ≠ (0vec𝑈) → (𝐵𝑃𝐴) = (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁𝐵)↑2)) · ((𝑁𝐵)↑2)))
4630, 32divclzi 10798 . . . . . 6 (((𝑁𝐵)↑2) ≠ 0 → ((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁𝐵)↑2)) ∈ ℂ)
4728, 46sylbir 225 . . . . 5 (𝐵 ≠ (0vec𝑈) → ((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁𝐵)↑2)) ∈ ℂ)
485, 7ipipcj 27698 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐴𝑃𝐵) · (𝐵𝑃𝐴)) = ((abs‘(𝐴𝑃𝐵))↑2))
493, 4, 15, 48mp3an 1464 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑃𝐵) · (𝐵𝑃𝐴)) = ((abs‘(𝐴𝑃𝐵))↑2)
5041, 30, 49mulcomli 10085 . . . . . . . 8 ((𝐵𝑃𝐴) · (𝐴𝑃𝐵)) = ((abs‘(𝐴𝑃𝐵))↑2)
5150oveq1i 6700 . . . . . . 7 (((𝐵𝑃𝐴) · (𝐴𝑃𝐵)) / ((𝑁𝐵)↑2)) = (((abs‘(𝐴𝑃𝐵))↑2) / ((𝑁𝐵)↑2))
52 div23 10742 . . . . . . . . . 10 (((𝐵𝑃𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ ∧ (((𝑁𝐵)↑2) ∈ ℂ ∧ ((𝑁𝐵)↑2) ≠ 0)) → (((𝐵𝑃𝐴) · (𝐴𝑃𝐵)) / ((𝑁𝐵)↑2)) = (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁𝐵)↑2)) · (𝐴𝑃𝐵)))
5330, 41, 52mp3an12 1454 . . . . . . . . 9 ((((𝑁𝐵)↑2) ∈ ℂ ∧ ((𝑁𝐵)↑2) ≠ 0) → (((𝐵𝑃𝐴) · (𝐴𝑃𝐵)) / ((𝑁𝐵)↑2)) = (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁𝐵)↑2)) · (𝐴𝑃𝐵)))
5432, 53mpan 706 . . . . . . . 8 (((𝑁𝐵)↑2) ≠ 0 → (((𝐵𝑃𝐴) · (𝐴𝑃𝐵)) / ((𝑁𝐵)↑2)) = (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁𝐵)↑2)) · (𝐴𝑃𝐵)))
5528, 54sylbir 225 . . . . . . 7 (𝐵 ≠ (0vec𝑈) → (((𝐵𝑃𝐴) · (𝐴𝑃𝐵)) / ((𝑁𝐵)↑2)) = (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁𝐵)↑2)) · (𝐴𝑃𝐵)))
5651, 55syl5reqr 2700 . . . . . 6 (𝐵 ≠ (0vec𝑈) → (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁𝐵)↑2)) · (𝐴𝑃𝐵)) = (((abs‘(𝐴𝑃𝐵))↑2) / ((𝑁𝐵)↑2)))
5741abscli 14178 . . . . . . . . 9 (abs‘(𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℝ
5857resqcli 12989 . . . . . . . 8 ((abs‘(𝐴𝑃𝐵))↑2) ∈ ℝ
5958, 31redivclzi 10829 . . . . . . 7 (((𝑁𝐵)↑2) ≠ 0 → (((abs‘(𝐴𝑃𝐵))↑2) / ((𝑁𝐵)↑2)) ∈ ℝ)
6028, 59sylbir 225 . . . . . 6 (𝐵 ≠ (0vec𝑈) → (((abs‘(𝐴𝑃𝐵))↑2) / ((𝑁𝐵)↑2)) ∈ ℝ)
6156, 60eqeltrd 2730 . . . . 5 (𝐵 ≠ (0vec𝑈) → (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁𝐵)↑2)) · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℝ)
6226necon3bii 2875 . . . . . . . 8 ((𝑁𝐵) ≠ 0 ↔ 𝐵 ≠ (0vec𝑈))
6319sqgt0i 12990 . . . . . . . 8 ((𝑁𝐵) ≠ 0 → 0 < ((𝑁𝐵)↑2))
6462, 63sylbir 225 . . . . . . 7 (𝐵 ≠ (0vec𝑈) → 0 < ((𝑁𝐵)↑2))
6557sqge0i 12991 . . . . . . . 8 0 ≤ ((abs‘(𝐴𝑃𝐵))↑2)
66 divge0 10930 . . . . . . . 8 (((((abs‘(𝐴𝑃𝐵))↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((abs‘(𝐴𝑃𝐵))↑2)) ∧ (((𝑁𝐵)↑2) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝑁𝐵)↑2))) → 0 ≤ (((abs‘(𝐴𝑃𝐵))↑2) / ((𝑁𝐵)↑2)))
6758, 65, 66mpanl12 718 . . . . . . 7 ((((𝑁𝐵)↑2) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝑁𝐵)↑2)) → 0 ≤ (((abs‘(𝐴𝑃𝐵))↑2) / ((𝑁𝐵)↑2)))
6831, 64, 67sylancr 696 . . . . . 6 (𝐵 ≠ (0vec𝑈) → 0 ≤ (((abs‘(𝐴𝑃𝐵))↑2) / ((𝑁𝐵)↑2)))
6968, 56breqtrrd 4713 . . . . 5 (𝐵 ≠ (0vec𝑈) → 0 ≤ (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁𝐵)↑2)) · (𝐴𝑃𝐵)))
70 eqid 2651 . . . . . 6 ( −𝑣𝑈) = ( −𝑣𝑈)
71 eqid 2651 . . . . . 6 ( ·𝑠OLD𝑈) = ( ·𝑠OLD𝑈)
725, 12, 7, 2, 4, 15, 70, 71siilem2 27835 . . . . 5 ((((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁𝐵)↑2)) ∈ ℂ ∧ (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁𝐵)↑2)) · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁𝐵)↑2)) · (𝐴𝑃𝐵))) → ((𝐵𝑃𝐴) = (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁𝐵)↑2)) · ((𝑁𝐵)↑2)) → (√‘((𝐴𝑃𝐵) · (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁𝐵)↑2)) · ((𝑁𝐵)↑2)))) ≤ ((𝑁𝐴) · (𝑁𝐵))))
7347, 61, 69, 72syl3anc 1366 . . . 4 (𝐵 ≠ (0vec𝑈) → ((𝐵𝑃𝐴) = (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁𝐵)↑2)) · ((𝑁𝐵)↑2)) → (√‘((𝐴𝑃𝐵) · (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁𝐵)↑2)) · ((𝑁𝐵)↑2)))) ≤ ((𝑁𝐴) · (𝑁𝐵))))
7445, 73mpd 15 . . 3 (𝐵 ≠ (0vec𝑈) → (√‘((𝐴𝑃𝐵) · (((𝐵𝑃𝐴) / ((𝑁𝐵)↑2)) · ((𝑁𝐵)↑2)))) ≤ ((𝑁𝐴) · (𝑁𝐵)))
7544, 74eqbrtrd 4707 . 2 (𝐵 ≠ (0vec𝑈) → (abs‘(𝐴𝑃𝐵)) ≤ ((𝑁𝐴) · (𝑁𝐵)))
7622, 75pm2.61ine 2906 1 (abs‘(𝐴𝑃𝐵)) ≤ ((𝑁𝐴) · (𝑁𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974   · cmul 9979   < clt 10112  cle 10113   / cdiv 10722  2c2 11108  cexp 12900  ccj 13880  csqrt 14017  abscabs 14018  NrmCVeccnv 27567  BaseSetcba 27569   ·𝑠OLD cns 27570  0veccn0v 27571  𝑣 cnsb 27572  normCVcnmcv 27573  ·𝑖OLDcdip 27683  CPreHilOLDccphlo 27795
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-sum 14461  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-t1 21166  df-haus 21167  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-grpo 27475  df-gid 27476  df-ginv 27477  df-gdiv 27478  df-ablo 27527  df-vc 27542  df-nv 27575  df-va 27578  df-ba 27579  df-sm 27580  df-0v 27581  df-vs 27582  df-nmcv 27583  df-ims 27584  df-dip 27684  df-ph 27796
This theorem is referenced by:  sii  27837  bcsiHIL  28165
  Copyright terms: Public domain W3C validator