Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  signsvtp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem signsvtp 31000
Description: Adding a letter of the same sign as the highest coefficient does not change the sign. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Oct-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
signsv.p = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsv.w 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⟩}
signsv.t 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓𝑖))))))
signsv.v 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
signsvf.e (𝜑𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}))
signsvf.0 (𝜑 → (𝐸‘0) ≠ 0)
signsvf.f (𝜑𝐹 = (𝐸 ++ ⟨“𝐴”⟩))
signsvf.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
signsvf.n 𝑁 = (♯‘𝐸)
signsvt.b 𝐵 = ((𝑇𝐸)‘(𝑁 − 1))
Assertion
Ref Expression
signsvtp ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (𝑉𝐹) = (𝑉𝐸))
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,   𝑓,𝑖,𝑛,𝐹   𝑓,𝑊,𝑖,𝑛   𝑓,𝑎,𝑖,𝑗,𝑏,𝑛,𝐴   𝐸,𝑎,𝑏,𝑓,𝑖,𝑗,𝑛   𝑇,𝑎,𝑏,𝑓,𝑗,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝐵(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   (𝑓,𝑖,𝑗,𝑛)   𝑇(𝑖)   𝐹(𝑗,𝑎,𝑏)   𝑁(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑉(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑊(𝑗,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem signsvtp
StepHypRef Expression
1 signsvf.f . . . . 5 (𝜑𝐹 = (𝐸 ++ ⟨“𝐴”⟩))
21fveq2d 6337 . . . 4 (𝜑 → (𝑉𝐹) = (𝑉‘(𝐸 ++ ⟨“𝐴”⟩)))
3 signsvf.e . . . . 5 (𝜑𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}))
4 signsvf.0 . . . . 5 (𝜑 → (𝐸‘0) ≠ 0)
5 signsvf.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
6 signsv.p . . . . . 6 = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
7 signsv.w . . . . . 6 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⟩}
8 signsv.t . . . . . 6 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓𝑖))))))
9 signsv.v . . . . . 6 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
106, 7, 8, 9signsvfn 30999 . . . . 5 (((𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐸‘0) ≠ 0) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑉‘(𝐸 ++ ⟨“𝐴”⟩)) = ((𝑉𝐸) + if((((𝑇𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1)) · 𝐴) < 0, 1, 0)))
113, 4, 5, 10syl21anc 1475 . . . 4 (𝜑 → (𝑉‘(𝐸 ++ ⟨“𝐴”⟩)) = ((𝑉𝐸) + if((((𝑇𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1)) · 𝐴) < 0, 1, 0)))
122, 11eqtrd 2805 . . 3 (𝜑 → (𝑉𝐹) = ((𝑉𝐸) + if((((𝑇𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1)) · 𝐴) < 0, 1, 0)))
1312adantr 466 . 2 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (𝑉𝐹) = ((𝑉𝐸) + if((((𝑇𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1)) · 𝐴) < 0, 1, 0)))
14 0red 10247 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 0 ∈ ℝ)
153adantr 466 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}))
1615eldifad 3735 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 𝐸 ∈ Word ℝ)
176, 7, 8, 9signstf 30983 . . . . . . . 8 (𝐸 ∈ Word ℝ → (𝑇𝐸) ∈ Word ℝ)
18 wrdf 13506 . . . . . . . 8 ((𝑇𝐸) ∈ Word ℝ → (𝑇𝐸):(0..^(♯‘(𝑇𝐸)))⟶ℝ)
1916, 17, 183syl 18 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (𝑇𝐸):(0..^(♯‘(𝑇𝐸)))⟶ℝ)
20 eldifsn 4454 . . . . . . . . . . 11 (𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ↔ (𝐸 ∈ Word ℝ ∧ 𝐸 ≠ ∅))
213, 20sylib 208 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐸 ∈ Word ℝ ∧ 𝐸 ≠ ∅))
2221adantr 466 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (𝐸 ∈ Word ℝ ∧ 𝐸 ≠ ∅))
23 lennncl 13521 . . . . . . . . 9 ((𝐸 ∈ Word ℝ ∧ 𝐸 ≠ ∅) → (♯‘𝐸) ∈ ℕ)
24 fzo0end 12768 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝐸) ∈ ℕ → ((♯‘𝐸) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐸)))
2522, 23, 243syl 18 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → ((♯‘𝐸) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐸)))
266, 7, 8, 9signstlen 30984 . . . . . . . . . 10 (𝐸 ∈ Word ℝ → (♯‘(𝑇𝐸)) = (♯‘𝐸))
2716, 26syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (♯‘(𝑇𝐸)) = (♯‘𝐸))
2827oveq2d 6812 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (0..^(♯‘(𝑇𝐸))) = (0..^(♯‘𝐸)))
2925, 28eleqtrrd 2853 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → ((♯‘𝐸) − 1) ∈ (0..^(♯‘(𝑇𝐸))))
3019, 29ffvelrnd 6505 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → ((𝑇𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1)) ∈ ℝ)
315adantr 466 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
3230, 31remulcld 10276 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (((𝑇𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1)) · 𝐴) ∈ ℝ)
33 simpr 471 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 0 < (𝐴 · 𝐵))
34 signsvt.b . . . . . . . . . . 11 𝐵 = ((𝑇𝐸)‘(𝑁 − 1))
35 signsvf.n . . . . . . . . . . . . 13 𝑁 = (♯‘𝐸)
3635oveq1i 6806 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 − 1) = ((♯‘𝐸) − 1)
3736fveq2i 6336 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇𝐸)‘(𝑁 − 1)) = ((𝑇𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1))
3834, 37eqtri 2793 . . . . . . . . . 10 𝐵 = ((𝑇𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1))
3938, 30syl5eqel 2854 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
4039recnd 10274 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℂ)
4131recnd 10274 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℂ)
4240, 41mulcomd 10267 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (𝐵 · 𝐴) = (𝐴 · 𝐵))
4333, 42breqtrrd 4815 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 0 < (𝐵 · 𝐴))
4438oveq1i 6806 . . . . . 6 (𝐵 · 𝐴) = (((𝑇𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1)) · 𝐴)
4543, 44syl6breq 4828 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 0 < (((𝑇𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1)) · 𝐴))
4614, 32, 45ltnsymd 10392 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → ¬ (((𝑇𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1)) · 𝐴) < 0)
4746iffalsed 4237 . . 3 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → if((((𝑇𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1)) · 𝐴) < 0, 1, 0) = 0)
4847oveq2d 6812 . 2 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → ((𝑉𝐸) + if((((𝑇𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1)) · 𝐴) < 0, 1, 0)) = ((𝑉𝐸) + 0))
496, 7, 8, 9signsvvf 30996 . . . . . 6 𝑉:Word ℝ⟶ℕ0
5049a1i 11 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 𝑉:Word ℝ⟶ℕ0)
5150, 16ffvelrnd 6505 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (𝑉𝐸) ∈ ℕ0)
5251nn0cnd 11560 . . 3 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (𝑉𝐸) ∈ ℂ)
5352addid1d 10442 . 2 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → ((𝑉𝐸) + 0) = (𝑉𝐸))
5413, 48, 533eqtrd 2809 1 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (𝑉𝐹) = (𝑉𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  cdif 3720  c0 4063  ifcif 4226  {csn 4317  {cpr 4319  {ctp 4321  cop 4323   class class class wbr 4787  cmpt 4864  wf 6026  cfv 6030  (class class class)co 6796  cmpt2 6798  cr 10141  0cc0 10142  1c1 10143   + caddc 10145   · cmul 10147   < clt 10280  cmin 10472  -cneg 10473  cn 11226  0cn0 11499  ...cfz 12533  ..^cfzo 12673  chash 13321  Word cword 13487   ++ cconcat 13489  ⟨“cs1 13490  sgncsgn 14034  Σcsu 14624  ndxcnx 16061  Basecbs 16064  +gcplusg 16149   Σg cgsu 16309
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-inf2 8706  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-pre-sup 10220
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-supp 7451  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-sup 8508  df-oi 8575  df-card 8969  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-n0 11500  df-xnn0 11571  df-z 11585  df-uz 11894  df-rp 12036  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-word 13495  df-lsw 13496  df-concat 13497  df-s1 13498  df-substr 13499  df-sgn 14035  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-clim 14427  df-sum 14625  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-plusg 16162  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-mulg 17749  df-cntz 17957
This theorem is referenced by:  signsvfpn  31002
  Copyright terms: Public domain W3C validator