Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  signsvfpn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem signsvfpn 30996
 Description: Adding a letter of the same sign as the highest coefficient does not change the sign. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Oct-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
signsv.p = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsv.w 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⟩}
signsv.t 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓𝑖))))))
signsv.v 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
signsvf.e (𝜑𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}))
signsvf.0 (𝜑 → (𝐸‘0) ≠ 0)
signsvf.f (𝜑𝐹 = (𝐸 ++ ⟨“𝐴”⟩))
signsvf.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
signsvf.n 𝑁 = (♯‘𝐸)
signsvf.b 𝐵 = (𝐸‘(𝑁 − 1))
Assertion
Ref Expression
signsvfpn ((𝜑 ∧ 0 < (𝐵 · 𝐴)) → (𝑉𝐹) = (𝑉𝐸))
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,   𝑓,𝑖,𝑛,𝐹   𝑓,𝑊,𝑖,𝑛   𝑓,𝑎,𝑖,𝑗,𝑛,𝐴,𝑏   𝐸,𝑎,𝑏,𝑓,𝑖,𝑗,𝑛   𝑁,𝑎,𝑏,𝑓,𝑖,𝑛   𝑇,𝑎,𝑏,𝑓,𝑗,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝐵(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   (𝑓,𝑖,𝑗,𝑛)   𝑇(𝑖)   𝐹(𝑗,𝑎,𝑏)   𝑁(𝑗)   𝑉(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑊(𝑗,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem signsvfpn
StepHypRef Expression
1 signsvf.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
21recnd 10269 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
3 signsvf.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (𝐸‘(𝑁 − 1))
4 signsvf.e . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}))
54eldifad 3733 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐸 ∈ Word ℝ)
6 wrdf 13505 . . . . . . . . . . . 12 (𝐸 ∈ Word ℝ → 𝐸:(0..^(♯‘𝐸))⟶ℝ)
75, 6syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐸:(0..^(♯‘𝐸))⟶ℝ)
8 signsvf.n . . . . . . . . . . . . 13 𝑁 = (♯‘𝐸)
98oveq1i 6802 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 − 1) = ((♯‘𝐸) − 1)
10 eldifsn 4451 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ↔ (𝐸 ∈ Word ℝ ∧ 𝐸 ≠ ∅))
114, 10sylib 208 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐸 ∈ Word ℝ ∧ 𝐸 ≠ ∅))
12 lennncl 13520 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐸 ∈ Word ℝ ∧ 𝐸 ≠ ∅) → (♯‘𝐸) ∈ ℕ)
13 fzo0end 12767 . . . . . . . . . . . . 13 ((♯‘𝐸) ∈ ℕ → ((♯‘𝐸) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐸)))
1411, 12, 133syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((♯‘𝐸) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐸)))
159, 14syl5eqel 2853 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐸)))
167, 15ffvelrnd 6503 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐸‘(𝑁 − 1)) ∈ ℝ)
1716recnd 10269 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐸‘(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
183, 17syl5eqel 2853 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
192, 18mulcomd 10262 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
2019breq2d 4796 . . . . . 6 (𝜑 → (0 < (𝐴 · 𝐵) ↔ 0 < (𝐵 · 𝐴)))
213, 16syl5eqel 2853 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
22 sgnmulsgp 30946 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 < (𝐴 · 𝐵) ↔ 0 < ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵))))
231, 21, 22syl2anc 565 . . . . . 6 (𝜑 → (0 < (𝐴 · 𝐵) ↔ 0 < ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵))))
2420, 23bitr3d 270 . . . . 5 (𝜑 → (0 < (𝐵 · 𝐴) ↔ 0 < ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵))))
2524biimpa 462 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐵 · 𝐴)) → 0 < ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵)))
264adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐵 · 𝐴)) → 𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}))
2718adantr 466 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐵 · 𝐴)) → 𝐵 ∈ ℂ)
282adantr 466 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐵 · 𝐴)) → 𝐴 ∈ ℂ)
29 simpr 471 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐵 · 𝐴)) → 0 < (𝐵 · 𝐴))
3029gt0ne0d 10793 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐵 · 𝐴)) → (𝐵 · 𝐴) ≠ 0)
3127, 28, 30mulne0bad 10883 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐵 · 𝐴)) → 𝐵 ≠ 0)
323, 31syl5eqner 3017 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐵 · 𝐴)) → (𝐸‘(𝑁 − 1)) ≠ 0)
33 signsv.p . . . . . . . . . 10 = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
34 signsv.w . . . . . . . . . 10 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⟩}
35 signsv.t . . . . . . . . . 10 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓𝑖))))))
36 signsv.v . . . . . . . . . 10 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
3733, 34, 35, 36, 8signsvtn0 30981 . . . . . . . . 9 ((𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐸‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → ((𝑇𝐸)‘(𝑁 − 1)) = (sgn‘(𝐸‘(𝑁 − 1))))
383fveq2i 6335 . . . . . . . . 9 (sgn‘𝐵) = (sgn‘(𝐸‘(𝑁 − 1)))
3937, 38syl6eqr 2822 . . . . . . . 8 ((𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐸‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → ((𝑇𝐸)‘(𝑁 − 1)) = (sgn‘𝐵))
4026, 32, 39syl2anc 565 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐵 · 𝐴)) → ((𝑇𝐸)‘(𝑁 − 1)) = (sgn‘𝐵))
4140fveq2d 6336 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐵 · 𝐴)) → (sgn‘((𝑇𝐸)‘(𝑁 − 1))) = (sgn‘(sgn‘𝐵)))
4221adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐵 · 𝐴)) → 𝐵 ∈ ℝ)
4342rexrd 10290 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐵 · 𝐴)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
44 sgnsgn 30944 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ* → (sgn‘(sgn‘𝐵)) = (sgn‘𝐵))
4543, 44syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐵 · 𝐴)) → (sgn‘(sgn‘𝐵)) = (sgn‘𝐵))
4641, 45eqtrd 2804 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐵 · 𝐴)) → (sgn‘((𝑇𝐸)‘(𝑁 − 1))) = (sgn‘𝐵))
4746oveq2d 6808 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐵 · 𝐴)) → ((sgn‘𝐴) · (sgn‘((𝑇𝐸)‘(𝑁 − 1)))) = ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵)))
4825, 47breqtrrd 4812 . . 3 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐵 · 𝐴)) → 0 < ((sgn‘𝐴) · (sgn‘((𝑇𝐸)‘(𝑁 − 1)))))
491adantr 466 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐵 · 𝐴)) → 𝐴 ∈ ℝ)
50 sgnclre 30935 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ → (sgn‘𝐵) ∈ ℝ)
5142, 50syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐵 · 𝐴)) → (sgn‘𝐵) ∈ ℝ)
5240, 51eqeltrd 2849 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐵 · 𝐴)) → ((𝑇𝐸)‘(𝑁 − 1)) ∈ ℝ)
53 sgnmulsgp 30946 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑇𝐸)‘(𝑁 − 1)) ∈ ℝ) → (0 < (𝐴 · ((𝑇𝐸)‘(𝑁 − 1))) ↔ 0 < ((sgn‘𝐴) · (sgn‘((𝑇𝐸)‘(𝑁 − 1))))))
5449, 52, 53syl2anc 565 . . 3 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐵 · 𝐴)) → (0 < (𝐴 · ((𝑇𝐸)‘(𝑁 − 1))) ↔ 0 < ((sgn‘𝐴) · (sgn‘((𝑇𝐸)‘(𝑁 − 1))))))
5548, 54mpbird 247 . 2 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐵 · 𝐴)) → 0 < (𝐴 · ((𝑇𝐸)‘(𝑁 − 1))))
56 signsvf.0 . . 3 (𝜑 → (𝐸‘0) ≠ 0)
57 signsvf.f . . 3 (𝜑𝐹 = (𝐸 ++ ⟨“𝐴”⟩))
58 eqid 2770 . . 3 ((𝑇𝐸)‘(𝑁 − 1)) = ((𝑇𝐸)‘(𝑁 − 1))
5933, 34, 35, 36, 4, 56, 57, 1, 8, 58signsvtp 30994 . 2 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · ((𝑇𝐸)‘(𝑁 − 1)))) → (𝑉𝐹) = (𝑉𝐸))
6055, 59syldan 571 1 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐵 · 𝐴)) → (𝑉𝐹) = (𝑉𝐸))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   = wceq 1630   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2942   ∖ cdif 3718  ∅c0 4061  ifcif 4223  {csn 4314  {cpr 4316  {ctp 4318  ⟨cop 4320   class class class wbr 4784   ↦ cmpt 4861  ⟶wf 6027  ‘cfv 6031  (class class class)co 6792   ↦ cmpt2 6794  ℂcc 10135  ℝcr 10136  0cc0 10137  1c1 10138   · cmul 10142  ℝ*cxr 10274   < clt 10275   − cmin 10467  -cneg 10468  ℕcn 11221  ...cfz 12532  ..^cfzo 12672  ♯chash 13320  Word cword 13486   ++ cconcat 13488  ⟨“cs1 13489  sgncsgn 14033  Σcsu 14623  ndxcnx 16060  Basecbs 16063  +gcplusg 16148   Σg cgsu 16308 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-inf2 8701  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-fal 1636  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-supp 7446  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-oadd 7716  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-sup 8503  df-oi 8570  df-card 8964  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-n0 11494  df-xnn0 11565  df-z 11579  df-uz 11888  df-rp 12035  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-seq 13008  df-exp 13067  df-hash 13321  df-word 13494  df-lsw 13495  df-concat 13496  df-s1 13497  df-substr 13498  df-sgn 14034  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-clim 14426  df-sum 14624  df-struct 16065  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-plusg 16161  df-0g 16309  df-gsum 16310  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502  df-mulg 17748  df-cntz 17956 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator