Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  signsvf1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem signsvf1 30992
 Description: In a single-letter word, which represents a constant polynomial, there is no change of sign. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Oct-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
signsv.p = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsv.w 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⟩}
signsv.t 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓𝑖))))))
signsv.v 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
Assertion
Ref Expression
signsvf1 (𝐾 ∈ ℝ → (𝑉‘⟨“𝐾”⟩) = 0)
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,   𝑓,𝑖,𝑛,𝐾   𝑓,𝑊,𝑖,𝑛   𝑓,𝑗   𝑇,𝑓   𝑗,𝐾
Allowed substitution hints:   (𝑓,𝑖,𝑗,𝑛)   𝑇(𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝐾(𝑎,𝑏)   𝑉(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑊(𝑗,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem signsvf1
StepHypRef Expression
1 s1cl 13581 . . 3 (𝐾 ∈ ℝ → ⟨“𝐾”⟩ ∈ Word ℝ)
2 signsv.p . . . 4 = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
3 signsv.w . . . 4 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⟩}
4 signsv.t . . . 4 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓𝑖))))))
5 signsv.v . . . 4 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
62, 3, 4, 5signsvvfval 30989 . . 3 (⟨“𝐾”⟩ ∈ Word ℝ → (𝑉‘⟨“𝐾”⟩) = Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘⟨“𝐾”⟩))if(((𝑇‘⟨“𝐾”⟩)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘⟨“𝐾”⟩)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
71, 6syl 17 . 2 (𝐾 ∈ ℝ → (𝑉‘⟨“𝐾”⟩) = Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘⟨“𝐾”⟩))if(((𝑇‘⟨“𝐾”⟩)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘⟨“𝐾”⟩)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
8 s1len 13585 . . . . . 6 (♯‘⟨“𝐾”⟩) = 1
98oveq2i 6803 . . . . 5 (1..^(♯‘⟨“𝐾”⟩)) = (1..^1)
10 fzo0 12699 . . . . 5 (1..^1) = ∅
119, 10eqtri 2792 . . . 4 (1..^(♯‘⟨“𝐾”⟩)) = ∅
1211sumeq1i 14635 . . 3 Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘⟨“𝐾”⟩))if(((𝑇‘⟨“𝐾”⟩)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘⟨“𝐾”⟩)‘(𝑗 − 1)), 1, 0) = Σ𝑗 ∈ ∅ if(((𝑇‘⟨“𝐾”⟩)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘⟨“𝐾”⟩)‘(𝑗 − 1)), 1, 0)
13 sum0 14659 . . 3 Σ𝑗 ∈ ∅ if(((𝑇‘⟨“𝐾”⟩)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘⟨“𝐾”⟩)‘(𝑗 − 1)), 1, 0) = 0
1412, 13eqtri 2792 . 2 Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘⟨“𝐾”⟩))if(((𝑇‘⟨“𝐾”⟩)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘⟨“𝐾”⟩)‘(𝑗 − 1)), 1, 0) = 0
157, 14syl6eq 2820 1 (𝐾 ∈ ℝ → (𝑉‘⟨“𝐾”⟩) = 0)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1630   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2942  ∅c0 4061  ifcif 4223  {cpr 4316  {ctp 4318  ⟨cop 4320   ↦ cmpt 4861  ‘cfv 6031  (class class class)co 6792   ↦ cmpt2 6794  ℝcr 10136  0cc0 10137  1c1 10138   − cmin 10467  -cneg 10468  ...cfz 12532  ..^cfzo 12672  ♯chash 13320  Word cword 13486  ⟨“cs1 13489  sgncsgn 14033  Σcsu 14623  ndxcnx 16060  Basecbs 16063  +gcplusg 16148   Σg cgsu 16308 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-inf2 8701  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-fal 1636  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-oadd 7716  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-sup 8503  df-oi 8570  df-card 8964  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-rp 12035  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-seq 13008  df-exp 13067  df-hash 13321  df-word 13494  df-s1 13497  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-clim 14426  df-sum 14624 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator