Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  signstfvn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem signstfvn 30955
Description: Zero-skipping sign in a word compared to a shorter word. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Oct-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
signsv.p = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsv.w 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⟩}
signsv.t 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓𝑖))))))
signsv.v 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
Assertion
Ref Expression
signstfvn ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → ((𝑇‘(𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩))‘(♯‘𝐹)) = (((𝑇𝐹)‘((♯‘𝐹) − 1)) (sgn‘𝐾)))
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,   𝑓,𝑖,𝑛,𝐹   𝑓,𝐾,𝑖,𝑛   𝑓,𝑊,𝑖,𝑛
Allowed substitution hints:   (𝑓,𝑖,𝑗,𝑛)   𝑇(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝐹(𝑗,𝑎,𝑏)   𝐾(𝑗,𝑎,𝑏)   𝑉(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑊(𝑗,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem signstfvn
StepHypRef Expression
1 signsv.p . . . . 5 = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
2 signsv.w . . . . 5 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⟩}
31, 2signswbase 30940 . . . 4 {-1, 0, 1} = (Base‘𝑊)
41, 2signswmnd 30943 . . . . 5 𝑊 ∈ Mnd
54a1i 11 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → 𝑊 ∈ Mnd)
6 eldifi 3875 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) → 𝐹 ∈ Word ℝ)
7 lencl 13510 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ Word ℝ → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
86, 7syl 17 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
9 eldifsn 4462 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ↔ (𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐹 ≠ ∅))
10 hasheq0 13346 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ Word ℝ → ((♯‘𝐹) = 0 ↔ 𝐹 = ∅))
1110necon3bid 2976 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ Word ℝ → ((♯‘𝐹) ≠ 0 ↔ 𝐹 ≠ ∅))
1211biimpar 503 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐹 ≠ ∅) → (♯‘𝐹) ≠ 0)
139, 12sylbi 207 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) → (♯‘𝐹) ≠ 0)
14 elnnne0 11498 . . . . . . . 8 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ≠ 0))
158, 13, 14sylanbrc 701 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ)
1615adantr 472 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ)
17 nnm1nn0 11526 . . . . . 6 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0)
1816, 17syl 17 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0)
19 nn0uz 11915 . . . . 5 0 = (ℤ‘0)
2018, 19syl6eleq 2849 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ (ℤ‘0))
21 s1cl 13572 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℝ → ⟨“𝐾”⟩ ∈ Word ℝ)
22 ccatcl 13546 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ ⟨“𝐾”⟩ ∈ Word ℝ) → (𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩) ∈ Word ℝ)
236, 21, 22syl2an 495 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩) ∈ Word ℝ)
2423adantr 472 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ (0...((♯‘𝐹) − 1))) → (𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩) ∈ Word ℝ)
25 wrdf 13496 . . . . . . . 8 ((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩) ∈ Word ℝ → (𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩):(0..^(♯‘(𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)))⟶ℝ)
2624, 25syl 17 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ (0...((♯‘𝐹) − 1))) → (𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩):(0..^(♯‘(𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)))⟶ℝ)
278adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
2827nn0zd 11672 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (♯‘𝐹) ∈ ℤ)
29 fzoval 12665 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝐹) ∈ ℤ → (0..^(♯‘𝐹)) = (0...((♯‘𝐹) − 1)))
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (0..^(♯‘𝐹)) = (0...((♯‘𝐹) − 1)))
31 fzossfz 12682 . . . . . . . . . 10 (0..^(♯‘𝐹)) ⊆ (0...(♯‘𝐹))
3230, 31syl6eqssr 3797 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (0...((♯‘𝐹) − 1)) ⊆ (0...(♯‘𝐹)))
33 ccatlen 13547 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ ⟨“𝐾”⟩ ∈ Word ℝ) → (♯‘(𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)) = ((♯‘𝐹) + (♯‘⟨“𝐾”⟩)))
346, 21, 33syl2an 495 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (♯‘(𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)) = ((♯‘𝐹) + (♯‘⟨“𝐾”⟩)))
35 s1len 13576 . . . . . . . . . . . . 13 (♯‘⟨“𝐾”⟩) = 1
3635oveq2i 6824 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘𝐹) + (♯‘⟨“𝐾”⟩)) = ((♯‘𝐹) + 1)
3734, 36syl6eq 2810 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (♯‘(𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)) = ((♯‘𝐹) + 1))
3837oveq2d 6829 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (0..^(♯‘(𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩))) = (0..^((♯‘𝐹) + 1)))
3928peano2zd 11677 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → ((♯‘𝐹) + 1) ∈ ℤ)
40 fzoval 12665 . . . . . . . . . . 11 (((♯‘𝐹) + 1) ∈ ℤ → (0..^((♯‘𝐹) + 1)) = (0...(((♯‘𝐹) + 1) − 1)))
4139, 40syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (0..^((♯‘𝐹) + 1)) = (0...(((♯‘𝐹) + 1) − 1)))
4227nn0cnd 11545 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (♯‘𝐹) ∈ ℂ)
43 1cnd 10248 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℂ)
4442, 43pncand 10585 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (((♯‘𝐹) + 1) − 1) = (♯‘𝐹))
4544oveq2d 6829 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (0...(((♯‘𝐹) + 1) − 1)) = (0...(♯‘𝐹)))
4638, 41, 453eqtrd 2798 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (0..^(♯‘(𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩))) = (0...(♯‘𝐹)))
4732, 46sseqtr4d 3783 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (0...((♯‘𝐹) − 1)) ⊆ (0..^(♯‘(𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩))))
4847sselda 3744 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ (0...((♯‘𝐹) − 1))) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩))))
4926, 48ffvelrnd 6523 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ (0...((♯‘𝐹) − 1))) → ((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘𝑖) ∈ ℝ)
5049rexrd 10281 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ (0...((♯‘𝐹) − 1))) → ((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘𝑖) ∈ ℝ*)
51 sgncl 30909 . . . . 5 (((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘𝑖) ∈ ℝ* → (sgn‘((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘𝑖)) ∈ {-1, 0, 1})
5250, 51syl 17 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ (0...((♯‘𝐹) − 1))) → (sgn‘((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘𝑖)) ∈ {-1, 0, 1})
531, 2signswplusg 30941 . . . 4 = (+g𝑊)
54 simpr 479 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → 𝐾 ∈ ℝ)
5554rexrd 10281 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → 𝐾 ∈ ℝ*)
56 sgncl 30909 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℝ* → (sgn‘𝐾) ∈ {-1, 0, 1})
5755, 56syl 17 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (sgn‘𝐾) ∈ {-1, 0, 1})
58 simpr 479 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 = (((♯‘𝐹) − 1) + 1)) → 𝑖 = (((♯‘𝐹) − 1) + 1))
5942, 43npcand 10588 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (((♯‘𝐹) − 1) + 1) = (♯‘𝐹))
6059adantr 472 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 = (((♯‘𝐹) − 1) + 1)) → (((♯‘𝐹) − 1) + 1) = (♯‘𝐹))
6158, 60eqtrd 2794 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 = (((♯‘𝐹) − 1) + 1)) → 𝑖 = (♯‘𝐹))
6261fveq2d 6356 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 = (((♯‘𝐹) − 1) + 1)) → ((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘𝑖) = ((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘(♯‘𝐹)))
636adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ Word ℝ)
6454, 21syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → ⟨“𝐾”⟩ ∈ Word ℝ)
65 c0ex 10226 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ V
6665snid 4353 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ {0}
67 fzo01 12744 . . . . . . . . . . . 12 (0..^1) = {0}
6866, 67eleqtrri 2838 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ (0..^1)
6935oveq2i 6824 . . . . . . . . . . 11 (0..^(♯‘⟨“𝐾”⟩)) = (0..^1)
7068, 69eleqtrri 2838 . . . . . . . . . 10 0 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝐾”⟩))
7170a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → 0 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝐾”⟩)))
72 ccatval3 13551 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ ⟨“𝐾”⟩ ∈ Word ℝ ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝐾”⟩))) → ((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘(0 + (♯‘𝐹))) = (⟨“𝐾”⟩‘0))
7363, 64, 71, 72syl3anc 1477 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → ((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘(0 + (♯‘𝐹))) = (⟨“𝐾”⟩‘0))
7442addid2d 10429 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (0 + (♯‘𝐹)) = (♯‘𝐹))
7574fveq2d 6356 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → ((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘(0 + (♯‘𝐹))) = ((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘(♯‘𝐹)))
76 s1fv 13581 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℝ → (⟨“𝐾”⟩‘0) = 𝐾)
7754, 76syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (⟨“𝐾”⟩‘0) = 𝐾)
7873, 75, 773eqtr3d 2802 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → ((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘(♯‘𝐹)) = 𝐾)
7978adantr 472 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 = (((♯‘𝐹) − 1) + 1)) → ((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘(♯‘𝐹)) = 𝐾)
8062, 79eqtrd 2794 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 = (((♯‘𝐹) − 1) + 1)) → ((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘𝑖) = 𝐾)
8180fveq2d 6356 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 = (((♯‘𝐹) − 1) + 1)) → (sgn‘((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘𝑖)) = (sgn‘𝐾))
823, 5, 20, 52, 53, 57, 81gsumnunsn 30924 . . 3 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...(((♯‘𝐹) − 1) + 1)) ↦ (sgn‘((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘𝑖)))) = ((𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...((♯‘𝐹) − 1)) ↦ (sgn‘((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘𝑖)))) (sgn‘𝐾)))
8359oveq2d 6829 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (0...(((♯‘𝐹) − 1) + 1)) = (0...(♯‘𝐹)))
8483mpteq1d 4890 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑖 ∈ (0...(((♯‘𝐹) − 1) + 1)) ↦ (sgn‘((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘𝑖))) = (𝑖 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ↦ (sgn‘((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘𝑖))))
8584oveq2d 6829 . . 3 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...(((♯‘𝐹) − 1) + 1)) ↦ (sgn‘((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘𝑖)))) = (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ↦ (sgn‘((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘𝑖)))))
8663adantr 472 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ (0...((♯‘𝐹) − 1))) → 𝐹 ∈ Word ℝ)
8764adantr 472 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ (0...((♯‘𝐹) − 1))) → ⟨“𝐾”⟩ ∈ Word ℝ)
8830eleq2d 2825 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↔ 𝑖 ∈ (0...((♯‘𝐹) − 1))))
8988biimpar 503 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ (0...((♯‘𝐹) − 1))) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
90 ccatval1 13549 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ ⟨“𝐾”⟩ ∈ Word ℝ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘𝑖) = (𝐹𝑖))
9186, 87, 89, 90syl3anc 1477 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ (0...((♯‘𝐹) − 1))) → ((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘𝑖) = (𝐹𝑖))
9291fveq2d 6356 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ (0...((♯‘𝐹) − 1))) → (sgn‘((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘𝑖)) = (sgn‘(𝐹𝑖)))
9392mpteq2dva 4896 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑖 ∈ (0...((♯‘𝐹) − 1)) ↦ (sgn‘((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘𝑖))) = (𝑖 ∈ (0...((♯‘𝐹) − 1)) ↦ (sgn‘(𝐹𝑖))))
9493oveq2d 6829 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...((♯‘𝐹) − 1)) ↦ (sgn‘((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘𝑖)))) = (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...((♯‘𝐹) − 1)) ↦ (sgn‘(𝐹𝑖)))))
9594oveq1d 6828 . . 3 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → ((𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...((♯‘𝐹) − 1)) ↦ (sgn‘((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘𝑖)))) (sgn‘𝐾)) = ((𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...((♯‘𝐹) − 1)) ↦ (sgn‘(𝐹𝑖)))) (sgn‘𝐾)))
9682, 85, 953eqtr3d 2802 . 2 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ↦ (sgn‘((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘𝑖)))) = ((𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...((♯‘𝐹) − 1)) ↦ (sgn‘(𝐹𝑖)))) (sgn‘𝐾)))
97 eqidd 2761 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (♯‘𝐹) = (♯‘𝐹))
9897olcd 407 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → ((♯‘𝐹) ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∨ (♯‘𝐹) = (♯‘𝐹)))
9927, 19syl6eleq 2849 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (♯‘𝐹) ∈ (ℤ‘0))
100 fzosplitsni 12773 . . . . . 6 ((♯‘𝐹) ∈ (ℤ‘0) → ((♯‘𝐹) ∈ (0..^((♯‘𝐹) + 1)) ↔ ((♯‘𝐹) ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∨ (♯‘𝐹) = (♯‘𝐹))))
10199, 100syl 17 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → ((♯‘𝐹) ∈ (0..^((♯‘𝐹) + 1)) ↔ ((♯‘𝐹) ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∨ (♯‘𝐹) = (♯‘𝐹))))
10298, 101mpbird 247 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (♯‘𝐹) ∈ (0..^((♯‘𝐹) + 1)))
103102, 38eleqtrrd 2842 . . 3 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (♯‘𝐹) ∈ (0..^(♯‘(𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩))))
104 signsv.t . . . 4 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓𝑖))))))
105 signsv.v . . . 4 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
1061, 2, 104, 105signstfval 30950 . . 3 (((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩) ∈ Word ℝ ∧ (♯‘𝐹) ∈ (0..^(♯‘(𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)))) → ((𝑇‘(𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩))‘(♯‘𝐹)) = (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ↦ (sgn‘((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘𝑖)))))
10723, 103, 106syl2anc 696 . 2 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → ((𝑇‘(𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩))‘(♯‘𝐹)) = (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ↦ (sgn‘((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘𝑖)))))
108 fzo0end 12754 . . . . . 6 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
10915, 108syl 17 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
1101, 2, 104, 105signstfval 30950 . . . . 5 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝑇𝐹)‘((♯‘𝐹) − 1)) = (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...((♯‘𝐹) − 1)) ↦ (sgn‘(𝐹𝑖)))))
1116, 109, 110syl2anc 696 . . . 4 (𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) → ((𝑇𝐹)‘((♯‘𝐹) − 1)) = (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...((♯‘𝐹) − 1)) ↦ (sgn‘(𝐹𝑖)))))
112111adantr 472 . . 3 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → ((𝑇𝐹)‘((♯‘𝐹) − 1)) = (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...((♯‘𝐹) − 1)) ↦ (sgn‘(𝐹𝑖)))))
113112oveq1d 6828 . 2 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (((𝑇𝐹)‘((♯‘𝐹) − 1)) (sgn‘𝐾)) = ((𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...((♯‘𝐹) − 1)) ↦ (sgn‘(𝐹𝑖)))) (sgn‘𝐾)))
11496, 107, 1133eqtr4d 2804 1 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → ((𝑇‘(𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩))‘(♯‘𝐹)) = (((𝑇𝐹)‘((♯‘𝐹) − 1)) (sgn‘𝐾)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  cdif 3712  c0 4058  ifcif 4230  {csn 4321  {cpr 4323  {ctp 4325  cop 4327  cmpt 4881  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6813  cmpt2 6815  cr 10127  0cc0 10128  1c1 10129   + caddc 10131  *cxr 10265  cmin 10458  -cneg 10459  cn 11212  0cn0 11484  cz 11569  cuz 11879  ...cfz 12519  ..^cfzo 12659  chash 13311  Word cword 13477   ++ cconcat 13479  ⟨“cs1 13480  sgncsgn 14025  Σcsu 14615  ndxcnx 16056  Basecbs 16059  +gcplusg 16143   Σg cgsu 16303  Mndcmnd 17495
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-card 8955  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-seq 12996  df-hash 13312  df-word 13485  df-concat 13487  df-s1 13488  df-sgn 14026  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-plusg 16156  df-0g 16304  df-gsum 16305  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496
This theorem is referenced by:  signsvtn0  30956  signstfvneq0  30958  signstfveq0  30963  signsvfn  30968
  Copyright terms: Public domain W3C validator