Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  signstfveq0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem signstfveq0 30994
 Description: In case the last letter is zero, the zero skipping sign is the same as the previous letter. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Oct-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
signsv.p = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsv.w 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⟩}
signsv.t 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓𝑖))))))
signsv.v 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
signstfveq0.1 𝑁 = (♯‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
signstfveq0 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ((𝑇𝐹)‘(𝑁 − 1)) = ((𝑇𝐹)‘(𝑁 − 2)))
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,   𝑓,𝑖,𝑛,𝐹   𝑓,𝑊,𝑖,𝑛   𝐹,𝑎,𝑏,𝑓,𝑖,𝑛   𝑁,𝑎   𝑓,𝑏,𝑖,𝑛,𝑁   𝑇,𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   (𝑓,𝑖,𝑗,𝑛)   𝑇(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛)   𝐹(𝑗)   𝑁(𝑗)   𝑉(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑊(𝑗,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem signstfveq0
StepHypRef Expression
1 simpll 750 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}))
21eldifad 3735 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 𝐹 ∈ Word ℝ)
3 swrdcl 13627 . . . . 5 (𝐹 ∈ Word ℝ → (𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩) ∈ Word ℝ)
42, 3syl 17 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩) ∈ Word ℝ)
5 1nn0 11510 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℕ0
65a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 1 ∈ ℕ0)
76nn0red 11554 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 1 ∈ ℝ)
8 2re 11292 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ
98a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 2 ∈ ℝ)
10 signstfveq0.1 . . . . . . . . . . . . 13 𝑁 = (♯‘𝐹)
11 lencl 13520 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 ∈ Word ℝ → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
122, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
1310, 12syl5eqel 2854 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
1413nn0red 11554 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 𝑁 ∈ ℝ)
15 1le2 11443 . . . . . . . . . . . 12 1 ≤ 2
1615a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 1 ≤ 2)
17 signsv.p . . . . . . . . . . . . . 14 = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
18 signsv.w . . . . . . . . . . . . . 14 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⟩}
19 signsv.t . . . . . . . . . . . . . 14 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓𝑖))))))
20 signsv.v . . . . . . . . . . . . . 14 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
2117, 18, 19, 20, 10signstfveq0a 30993 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 𝑁 ∈ (ℤ‘2))
22 eluz2 11894 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁))
2321, 22sylib 208 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁))
2423simp3d 1138 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 2 ≤ 𝑁)
257, 9, 14, 16, 24letrd 10396 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 1 ≤ 𝑁)
26 fznn0 12639 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 ∈ (0...𝑁) ↔ (1 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁)))
2713, 26syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (1 ∈ (0...𝑁) ↔ (1 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁)))
286, 25, 27mpbir2and 692 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 1 ∈ (0...𝑁))
29 fznn0sub2 12654 . . . . . . . . 9 (1 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ (0...𝑁))
3028, 29syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝑁 − 1) ∈ (0...𝑁))
3110oveq2i 6804 . . . . . . . 8 (0...𝑁) = (0...(♯‘𝐹))
3230, 31syl6eleq 2860 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝑁 − 1) ∈ (0...(♯‘𝐹)))
33 swrd0len 13630 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ (𝑁 − 1) ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (♯‘(𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩)) = (𝑁 − 1))
342, 32, 33syl2anc 573 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (♯‘(𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩)) = (𝑁 − 1))
35 uz2m1nn 11966 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
3621, 35syl 17 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
3734, 36eqeltrd 2850 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (♯‘(𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩)) ∈ ℕ)
38 nnne0 11255 . . . . . 6 ((♯‘(𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩)) ∈ ℕ → (♯‘(𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩)) ≠ 0)
39 fveq2 6332 . . . . . . . 8 ((𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩) = ∅ → (♯‘(𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩)) = (♯‘∅))
40 hash0 13360 . . . . . . . 8 (♯‘∅) = 0
4139, 40syl6eq 2821 . . . . . . 7 ((𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩) = ∅ → (♯‘(𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩)) = 0)
4241necon3i 2975 . . . . . 6 ((♯‘(𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩)) ≠ 0 → (𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩) ≠ ∅)
4338, 42syl 17 . . . . 5 ((♯‘(𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩)) ∈ ℕ → (𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩) ≠ ∅)
4437, 43syl 17 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩) ≠ ∅)
45 eldifsn 4453 . . . 4 ((𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩) ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ↔ ((𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩) ∈ Word ℝ ∧ (𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩) ≠ ∅))
464, 44, 45sylanbrc 572 . . 3 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩) ∈ (Word ℝ ∖ {∅}))
47 simpr 471 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0)
48 0re 10242 . . . 4 0 ∈ ℝ
4947, 48syl6eqel 2858 . . 3 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝐹‘(𝑁 − 1)) ∈ ℝ)
5017, 18, 19, 20signstfvn 30986 . . 3 (((𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩) ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ∈ ℝ) → ((𝑇‘((𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩) ++ ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩))‘(♯‘(𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩))) = (((𝑇‘(𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩))‘((♯‘(𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩)) − 1)) (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1)))))
5146, 49, 50syl2anc 573 . 2 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ((𝑇‘((𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩) ++ ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩))‘(♯‘(𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩))) = (((𝑇‘(𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩))‘((♯‘(𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩)) − 1)) (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1)))))
5210oveq1i 6803 . . . . . . . . 9 (𝑁 − 1) = ((♯‘𝐹) − 1)
5352opeq2i 4543 . . . . . . . 8 ⟨0, (𝑁 − 1)⟩ = ⟨0, ((♯‘𝐹) − 1)⟩
5453oveq2i 6804 . . . . . . 7 (𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩) = (𝐹 substr ⟨0, ((♯‘𝐹) − 1)⟩)
5554a1i 11 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩) = (𝐹 substr ⟨0, ((♯‘𝐹) − 1)⟩))
56 lsw 13548 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) → (lastS‘𝐹) = (𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))
5756ad2antrr 705 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (lastS‘𝐹) = (𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))
5810eqcomi 2780 . . . . . . . . . . 11 (♯‘𝐹) = 𝑁
5958oveq1i 6803 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝐹) − 1) = (𝑁 − 1)
6059fveq2i 6335 . . . . . . . . 9 (𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)) = (𝐹‘(𝑁 − 1))
6157, 60syl6eq 2821 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (lastS‘𝐹) = (𝐹‘(𝑁 − 1)))
6261s1eqd 13581 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ⟨“(lastS‘𝐹)”⟩ = ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩)
6362eqcomd 2777 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩ = ⟨“(lastS‘𝐹)”⟩)
6455, 63oveq12d 6811 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ((𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩) ++ ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩) = ((𝐹 substr ⟨0, ((♯‘𝐹) − 1)⟩) ++ ⟨“(lastS‘𝐹)”⟩))
65 eldifsn 4453 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ↔ (𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐹 ≠ ∅))
661, 65sylib 208 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐹 ≠ ∅))
67 swrdccatwrd 13677 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐹 ≠ ∅) → ((𝐹 substr ⟨0, ((♯‘𝐹) − 1)⟩) ++ ⟨“(lastS‘𝐹)”⟩) = 𝐹)
6866, 67syl 17 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ((𝐹 substr ⟨0, ((♯‘𝐹) − 1)⟩) ++ ⟨“(lastS‘𝐹)”⟩) = 𝐹)
6964, 68eqtrd 2805 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ((𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩) ++ ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩) = 𝐹)
7069fveq2d 6336 . . 3 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝑇‘((𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩) ++ ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩)) = (𝑇𝐹))
7170, 34fveq12d 6338 . 2 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ((𝑇‘((𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩) ++ ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩))‘(♯‘(𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩))) = ((𝑇𝐹)‘(𝑁 − 1)))
7213nn0cnd 11555 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 𝑁 ∈ ℂ)
73 1cnd 10258 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 1 ∈ ℂ)
7472, 73, 73subsub4d 10625 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ((𝑁 − 1) − 1) = (𝑁 − (1 + 1)))
75 1p1e2 11336 . . . . . . . . . 10 (1 + 1) = 2
7675oveq2i 6804 . . . . . . . . 9 (𝑁 − (1 + 1)) = (𝑁 − 2)
7774, 76syl6eq 2821 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ((𝑁 − 1) − 1) = (𝑁 − 2))
78 fzo0end 12768 . . . . . . . . 9 ((𝑁 − 1) ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) − 1) ∈ (0..^(𝑁 − 1)))
7936, 78syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ((𝑁 − 1) − 1) ∈ (0..^(𝑁 − 1)))
8077, 79eqeltrrd 2851 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝑁 − 2) ∈ (0..^(𝑁 − 1)))
8134oveq2d 6809 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (0..^(♯‘(𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩))) = (0..^(𝑁 − 1)))
8280, 81eleqtrrd 2853 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝑁 − 2) ∈ (0..^(♯‘(𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩))))
8317, 18, 19, 20signstfvp 30988 . . . . . 6 (((𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩) ∈ Word ℝ ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 2) ∈ (0..^(♯‘(𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩)))) → ((𝑇‘((𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩) ++ ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩))‘(𝑁 − 2)) = ((𝑇‘(𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩))‘(𝑁 − 2)))
844, 49, 82, 83syl3anc 1476 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ((𝑇‘((𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩) ++ ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩))‘(𝑁 − 2)) = ((𝑇‘(𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩))‘(𝑁 − 2)))
8569eqcomd 2777 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 𝐹 = ((𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩) ++ ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩))
8685fveq2d 6336 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝑇𝐹) = (𝑇‘((𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩) ++ ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩)))
8786fveq1d 6334 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ((𝑇𝐹)‘(𝑁 − 2)) = ((𝑇‘((𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩) ++ ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩))‘(𝑁 − 2)))
8834oveq1d 6808 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ((♯‘(𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩)) − 1) = ((𝑁 − 1) − 1))
8988, 74eqtrd 2805 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ((♯‘(𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩)) − 1) = (𝑁 − (1 + 1)))
9089, 76syl6eq 2821 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ((♯‘(𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩)) − 1) = (𝑁 − 2))
9190fveq2d 6336 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ((𝑇‘(𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩))‘((♯‘(𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩)) − 1)) = ((𝑇‘(𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩))‘(𝑁 − 2)))
9284, 87, 913eqtr4rd 2816 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ((𝑇‘(𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩))‘((♯‘(𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩)) − 1)) = ((𝑇𝐹)‘(𝑁 − 2)))
93 fveq2 6332 . . . . . 6 ((𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0 → (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1))) = (sgn‘0))
94 sgn0 14037 . . . . . 6 (sgn‘0) = 0
9593, 94syl6eq 2821 . . . . 5 ((𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0 → (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1))) = 0)
9695adantl 467 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1))) = 0)
9792, 96oveq12d 6811 . . 3 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (((𝑇‘(𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩))‘((♯‘(𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩)) − 1)) (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1)))) = (((𝑇𝐹)‘(𝑁 − 2)) 0))
98 uznn0sub 11921 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ0)
9921, 98syl 17 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ0)
100 eluz2nn 11928 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
10121, 100syl 17 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 𝑁 ∈ ℕ)
102 2rp 12040 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ+
103102a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 2 ∈ ℝ+)
10414, 103ltsubrpd 12107 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝑁 − 2) < 𝑁)
105 elfzo0 12717 . . . . . . 7 ((𝑁 − 2) ∈ (0..^𝑁) ↔ ((𝑁 − 2) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑁 − 2) < 𝑁))
10699, 101, 104, 105syl3anbrc 1428 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝑁 − 2) ∈ (0..^𝑁))
10710oveq2i 6804 . . . . . 6 (0..^𝑁) = (0..^(♯‘𝐹))
108106, 107syl6eleq 2860 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝑁 − 2) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
10917, 18, 19, 20signstcl 30982 . . . . 5 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ (𝑁 − 2) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝑇𝐹)‘(𝑁 − 2)) ∈ {-1, 0, 1})
1102, 108, 109syl2anc 573 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ((𝑇𝐹)‘(𝑁 − 2)) ∈ {-1, 0, 1})
11117, 18signswrid 30975 . . . 4 (((𝑇𝐹)‘(𝑁 − 2)) ∈ {-1, 0, 1} → (((𝑇𝐹)‘(𝑁 − 2)) 0) = ((𝑇𝐹)‘(𝑁 − 2)))
112110, 111syl 17 . . 3 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (((𝑇𝐹)‘(𝑁 − 2)) 0) = ((𝑇𝐹)‘(𝑁 − 2)))
11397, 112eqtrd 2805 . 2 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (((𝑇‘(𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩))‘((♯‘(𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩)) − 1)) (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1)))) = ((𝑇𝐹)‘(𝑁 − 2)))
11451, 71, 1133eqtr3d 2813 1 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ((𝑇𝐹)‘(𝑁 − 1)) = ((𝑇𝐹)‘(𝑁 − 2)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   ∧ w3a 1071   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2943   ∖ cdif 3720  ∅c0 4063  ifcif 4225  {csn 4316  {cpr 4318  {ctp 4320  ⟨cop 4322   class class class wbr 4786   ↦ cmpt 4863  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793   ↦ cmpt2 6795  ℝcr 10137  0cc0 10138  1c1 10139   + caddc 10141   < clt 10276   ≤ cle 10277   − cmin 10468  -cneg 10469  ℕcn 11222  2c2 11272  ℕ0cn0 11494  ℤcz 11579  ℤ≥cuz 11888  ℝ+crp 12035  ...cfz 12533  ..^cfzo 12673  ♯chash 13321  Word cword 13487  lastSclsw 13488   ++ cconcat 13489  ⟨“cs1 13490   substr csubstr 13491  sgncsgn 14034  Σcsu 14624  ndxcnx 16061  Basecbs 16064  +gcplusg 16149   Σg cgsu 16309 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-card 8965  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-rp 12036  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-hash 13322  df-word 13495  df-lsw 13496  df-concat 13497  df-s1 13498  df-substr 13499  df-sgn 14035  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-plusg 16162  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator