Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  signstfvc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem signstfvc 30981
Description: Zero-skipping sign in a word compared to a shorter word. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Oct-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
signsv.p = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsv.w 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⟩}
signsv.t 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓𝑖))))))
signsv.v 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
Assertion
Ref Expression
signstfvc ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐺 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝑇‘(𝐹 ++ 𝐺))‘𝑁) = ((𝑇𝐹)‘𝑁))
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,   𝑓,𝑖,𝑛,𝐹   𝑓,𝑊,𝑖,𝑛   𝑖,𝑁,𝑛
Allowed substitution hints:   (𝑓,𝑖,𝑗,𝑛)   𝑇(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝐹(𝑗,𝑎,𝑏)   𝐺(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑁(𝑓,𝑗,𝑎,𝑏)   𝑉(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑊(𝑗,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem signstfvc
Dummy variables 𝑒 𝑔 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6822 . . . . . . . 8 (𝑔 = ∅ → (𝐹 ++ 𝑔) = (𝐹 ++ ∅))
21fveq2d 6357 . . . . . . 7 (𝑔 = ∅ → (𝑇‘(𝐹 ++ 𝑔)) = (𝑇‘(𝐹 ++ ∅)))
32fveq1d 6355 . . . . . 6 (𝑔 = ∅ → ((𝑇‘(𝐹 ++ 𝑔))‘𝑁) = ((𝑇‘(𝐹 ++ ∅))‘𝑁))
43eqeq1d 2762 . . . . 5 (𝑔 = ∅ → (((𝑇‘(𝐹 ++ 𝑔))‘𝑁) = ((𝑇𝐹)‘𝑁) ↔ ((𝑇‘(𝐹 ++ ∅))‘𝑁) = ((𝑇𝐹)‘𝑁)))
54imbi2d 329 . . . 4 (𝑔 = ∅ → (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝑇‘(𝐹 ++ 𝑔))‘𝑁) = ((𝑇𝐹)‘𝑁)) ↔ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝑇‘(𝐹 ++ ∅))‘𝑁) = ((𝑇𝐹)‘𝑁))))
6 oveq2 6822 . . . . . . . 8 (𝑔 = 𝑒 → (𝐹 ++ 𝑔) = (𝐹 ++ 𝑒))
76fveq2d 6357 . . . . . . 7 (𝑔 = 𝑒 → (𝑇‘(𝐹 ++ 𝑔)) = (𝑇‘(𝐹 ++ 𝑒)))
87fveq1d 6355 . . . . . 6 (𝑔 = 𝑒 → ((𝑇‘(𝐹 ++ 𝑔))‘𝑁) = ((𝑇‘(𝐹 ++ 𝑒))‘𝑁))
98eqeq1d 2762 . . . . 5 (𝑔 = 𝑒 → (((𝑇‘(𝐹 ++ 𝑔))‘𝑁) = ((𝑇𝐹)‘𝑁) ↔ ((𝑇‘(𝐹 ++ 𝑒))‘𝑁) = ((𝑇𝐹)‘𝑁)))
109imbi2d 329 . . . 4 (𝑔 = 𝑒 → (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝑇‘(𝐹 ++ 𝑔))‘𝑁) = ((𝑇𝐹)‘𝑁)) ↔ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝑇‘(𝐹 ++ 𝑒))‘𝑁) = ((𝑇𝐹)‘𝑁))))
11 oveq2 6822 . . . . . . . 8 (𝑔 = (𝑒 ++ ⟨“𝑘”⟩) → (𝐹 ++ 𝑔) = (𝐹 ++ (𝑒 ++ ⟨“𝑘”⟩)))
1211fveq2d 6357 . . . . . . 7 (𝑔 = (𝑒 ++ ⟨“𝑘”⟩) → (𝑇‘(𝐹 ++ 𝑔)) = (𝑇‘(𝐹 ++ (𝑒 ++ ⟨“𝑘”⟩))))
1312fveq1d 6355 . . . . . 6 (𝑔 = (𝑒 ++ ⟨“𝑘”⟩) → ((𝑇‘(𝐹 ++ 𝑔))‘𝑁) = ((𝑇‘(𝐹 ++ (𝑒 ++ ⟨“𝑘”⟩)))‘𝑁))
1413eqeq1d 2762 . . . . 5 (𝑔 = (𝑒 ++ ⟨“𝑘”⟩) → (((𝑇‘(𝐹 ++ 𝑔))‘𝑁) = ((𝑇𝐹)‘𝑁) ↔ ((𝑇‘(𝐹 ++ (𝑒 ++ ⟨“𝑘”⟩)))‘𝑁) = ((𝑇𝐹)‘𝑁)))
1514imbi2d 329 . . . 4 (𝑔 = (𝑒 ++ ⟨“𝑘”⟩) → (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝑇‘(𝐹 ++ 𝑔))‘𝑁) = ((𝑇𝐹)‘𝑁)) ↔ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝑇‘(𝐹 ++ (𝑒 ++ ⟨“𝑘”⟩)))‘𝑁) = ((𝑇𝐹)‘𝑁))))
16 oveq2 6822 . . . . . . . 8 (𝑔 = 𝐺 → (𝐹 ++ 𝑔) = (𝐹 ++ 𝐺))
1716fveq2d 6357 . . . . . . 7 (𝑔 = 𝐺 → (𝑇‘(𝐹 ++ 𝑔)) = (𝑇‘(𝐹 ++ 𝐺)))
1817fveq1d 6355 . . . . . 6 (𝑔 = 𝐺 → ((𝑇‘(𝐹 ++ 𝑔))‘𝑁) = ((𝑇‘(𝐹 ++ 𝐺))‘𝑁))
1918eqeq1d 2762 . . . . 5 (𝑔 = 𝐺 → (((𝑇‘(𝐹 ++ 𝑔))‘𝑁) = ((𝑇𝐹)‘𝑁) ↔ ((𝑇‘(𝐹 ++ 𝐺))‘𝑁) = ((𝑇𝐹)‘𝑁)))
2019imbi2d 329 . . . 4 (𝑔 = 𝐺 → (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝑇‘(𝐹 ++ 𝑔))‘𝑁) = ((𝑇𝐹)‘𝑁)) ↔ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝑇‘(𝐹 ++ 𝐺))‘𝑁) = ((𝑇𝐹)‘𝑁))))
21 ccatrid 13579 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ Word ℝ → (𝐹 ++ ∅) = 𝐹)
2221fveq2d 6357 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Word ℝ → (𝑇‘(𝐹 ++ ∅)) = (𝑇𝐹))
2322fveq1d 6355 . . . . 5 (𝐹 ∈ Word ℝ → ((𝑇‘(𝐹 ++ ∅))‘𝑁) = ((𝑇𝐹)‘𝑁))
2423adantr 472 . . . 4 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝑇‘(𝐹 ++ ∅))‘𝑁) = ((𝑇𝐹)‘𝑁))
25 simprl 811 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → 𝐹 ∈ Word ℝ)
26 simpll 807 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → 𝑒 ∈ Word ℝ)
27 simplr 809 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → 𝑘 ∈ ℝ)
2827s1cld 13593 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → ⟨“𝑘”⟩ ∈ Word ℝ)
29 ccatass 13580 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑒 ∈ Word ℝ ∧ ⟨“𝑘”⟩ ∈ Word ℝ) → ((𝐹 ++ 𝑒) ++ ⟨“𝑘”⟩) = (𝐹 ++ (𝑒 ++ ⟨“𝑘”⟩)))
3025, 26, 28, 29syl3anc 1477 . . . . . . . . . . 11 (((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → ((𝐹 ++ 𝑒) ++ ⟨“𝑘”⟩) = (𝐹 ++ (𝑒 ++ ⟨“𝑘”⟩)))
3130fveq2d 6357 . . . . . . . . . 10 (((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (𝑇‘((𝐹 ++ 𝑒) ++ ⟨“𝑘”⟩)) = (𝑇‘(𝐹 ++ (𝑒 ++ ⟨“𝑘”⟩))))
3231fveq1d 6355 . . . . . . . . 9 (((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → ((𝑇‘((𝐹 ++ 𝑒) ++ ⟨“𝑘”⟩))‘𝑁) = ((𝑇‘(𝐹 ++ (𝑒 ++ ⟨“𝑘”⟩)))‘𝑁))
33 ccatcl 13566 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑒 ∈ Word ℝ) → (𝐹 ++ 𝑒) ∈ Word ℝ)
3425, 26, 33syl2anc 696 . . . . . . . . . 10 (((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (𝐹 ++ 𝑒) ∈ Word ℝ)
35 lencl 13530 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ Word ℝ → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
3625, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
3736nn0zd 11692 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (♯‘𝐹) ∈ ℤ)
38 lencl 13530 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 ++ 𝑒) ∈ Word ℝ → (♯‘(𝐹 ++ 𝑒)) ∈ ℕ0)
3934, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (♯‘(𝐹 ++ 𝑒)) ∈ ℕ0)
4039nn0zd 11692 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (♯‘(𝐹 ++ 𝑒)) ∈ ℤ)
4136nn0red 11564 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (♯‘𝐹) ∈ ℝ)
42 lencl 13530 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑒 ∈ Word ℝ → (♯‘𝑒) ∈ ℕ0)
4326, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (♯‘𝑒) ∈ ℕ0)
44 nn0addge1 11551 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((♯‘𝐹) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑒) ∈ ℕ0) → (♯‘𝐹) ≤ ((♯‘𝐹) + (♯‘𝑒)))
4541, 43, 44syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (♯‘𝐹) ≤ ((♯‘𝐹) + (♯‘𝑒)))
46 ccatlen 13567 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑒 ∈ Word ℝ) → (♯‘(𝐹 ++ 𝑒)) = ((♯‘𝐹) + (♯‘𝑒)))
4725, 26, 46syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (♯‘(𝐹 ++ 𝑒)) = ((♯‘𝐹) + (♯‘𝑒)))
4845, 47breqtrrd 4832 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (♯‘𝐹) ≤ (♯‘(𝐹 ++ 𝑒)))
49 eluz2 11905 . . . . . . . . . . . . 13 ((♯‘(𝐹 ++ 𝑒)) ∈ (ℤ‘(♯‘𝐹)) ↔ ((♯‘𝐹) ∈ ℤ ∧ (♯‘(𝐹 ++ 𝑒)) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐹) ≤ (♯‘(𝐹 ++ 𝑒))))
5037, 40, 48, 49syl3anbrc 1429 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (♯‘(𝐹 ++ 𝑒)) ∈ (ℤ‘(♯‘𝐹)))
51 fzoss2 12710 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘(𝐹 ++ 𝑒)) ∈ (ℤ‘(♯‘𝐹)) → (0..^(♯‘𝐹)) ⊆ (0..^(♯‘(𝐹 ++ 𝑒))))
5250, 51syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (0..^(♯‘𝐹)) ⊆ (0..^(♯‘(𝐹 ++ 𝑒))))
53 simprr 813 . . . . . . . . . . 11 (((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
5452, 53sseldd 3745 . . . . . . . . . 10 (((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘(𝐹 ++ 𝑒))))
55 signsv.p . . . . . . . . . . 11 = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
56 signsv.w . . . . . . . . . . 11 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⟩}
57 signsv.t . . . . . . . . . . 11 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓𝑖))))))
58 signsv.v . . . . . . . . . . 11 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
5955, 56, 57, 58signstfvp 30978 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ++ 𝑒) ∈ Word ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘(𝐹 ++ 𝑒)))) → ((𝑇‘((𝐹 ++ 𝑒) ++ ⟨“𝑘”⟩))‘𝑁) = ((𝑇‘(𝐹 ++ 𝑒))‘𝑁))
6034, 27, 54, 59syl3anc 1477 . . . . . . . . 9 (((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → ((𝑇‘((𝐹 ++ 𝑒) ++ ⟨“𝑘”⟩))‘𝑁) = ((𝑇‘(𝐹 ++ 𝑒))‘𝑁))
6132, 60eqtr3d 2796 . . . . . . . 8 (((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → ((𝑇‘(𝐹 ++ (𝑒 ++ ⟨“𝑘”⟩)))‘𝑁) = ((𝑇‘(𝐹 ++ 𝑒))‘𝑁))
6261adantr 472 . . . . . . 7 ((((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) ∧ ((𝑇‘(𝐹 ++ 𝑒))‘𝑁) = ((𝑇𝐹)‘𝑁)) → ((𝑇‘(𝐹 ++ (𝑒 ++ ⟨“𝑘”⟩)))‘𝑁) = ((𝑇‘(𝐹 ++ 𝑒))‘𝑁))
63 simpr 479 . . . . . . 7 ((((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) ∧ ((𝑇‘(𝐹 ++ 𝑒))‘𝑁) = ((𝑇𝐹)‘𝑁)) → ((𝑇‘(𝐹 ++ 𝑒))‘𝑁) = ((𝑇𝐹)‘𝑁))
6462, 63eqtrd 2794 . . . . . 6 ((((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ (𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) ∧ ((𝑇‘(𝐹 ++ 𝑒))‘𝑁) = ((𝑇𝐹)‘𝑁)) → ((𝑇‘(𝐹 ++ (𝑒 ++ ⟨“𝑘”⟩)))‘𝑁) = ((𝑇𝐹)‘𝑁))
6564exp31 631 . . . . 5 ((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (((𝑇‘(𝐹 ++ 𝑒))‘𝑁) = ((𝑇𝐹)‘𝑁) → ((𝑇‘(𝐹 ++ (𝑒 ++ ⟨“𝑘”⟩)))‘𝑁) = ((𝑇𝐹)‘𝑁))))
6665a2d 29 . . . 4 ((𝑒 ∈ Word ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝑇‘(𝐹 ++ 𝑒))‘𝑁) = ((𝑇𝐹)‘𝑁)) → ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝑇‘(𝐹 ++ (𝑒 ++ ⟨“𝑘”⟩)))‘𝑁) = ((𝑇𝐹)‘𝑁))))
675, 10, 15, 20, 24, 66wrdind 13696 . . 3 (𝐺 ∈ Word ℝ → ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝑇‘(𝐹 ++ 𝐺))‘𝑁) = ((𝑇𝐹)‘𝑁)))
68673impib 1109 . 2 ((𝐺 ∈ Word ℝ ∧ 𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝑇‘(𝐹 ++ 𝐺))‘𝑁) = ((𝑇𝐹)‘𝑁))
69683com12 1118 1 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐺 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝑇‘(𝐹 ++ 𝐺))‘𝑁) = ((𝑇𝐹)‘𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  wss 3715  c0 4058  ifcif 4230  {cpr 4323  {ctp 4325  cop 4327   class class class wbr 4804  cmpt 4881  cfv 6049  (class class class)co 6814  cmpt2 6816  cr 10147  0cc0 10148  1c1 10149   + caddc 10151  cle 10287  cmin 10478  -cneg 10479  0cn0 11504  cz 11589  cuz 11899  ...cfz 12539  ..^cfzo 12679  chash 13331  Word cword 13497   ++ cconcat 13499  ⟨“cs1 13500  sgncsgn 14045  Σcsu 14635  ndxcnx 16076  Basecbs 16079  +gcplusg 16163   Σg cgsu 16323
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-card 8975  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-n0 11505  df-xnn0 11576  df-z 11590  df-uz 11900  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-hash 13332  df-word 13505  df-lsw 13506  df-concat 13507  df-s1 13508  df-substr 13509
This theorem is referenced by:  signstres  30982
  Copyright terms: Public domain W3C validator