Theorem signshlen 31008

Description: Length of 𝐻, corresponding to the word 𝐹 multiplied by (𝑥 − 𝐶). (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Oct-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
signsv.p	⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsv.w	⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩}
signsv.t	⊢ 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓‘𝑖))))))
signsv.v	⊢ 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇‘𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
signs.h	⊢ 𝐻 = ((⟨“0”⟩ ++ 𝐹) ∘𝑓 − ((𝐹 ++ ⟨“0”⟩)∘𝑓/𝑐 · 𝐶))

Assertion

Ref	Expression
signshlen	⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (♯‘𝐻) = ((♯‘𝐹) + 1))

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏, ⨣   𝑓,𝑖,𝑛,𝐹   𝑓,𝑊,𝑖,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   ⨣ (𝑓,𝑖,𝑗,𝑛)   𝑇(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝐹(𝑗,𝑎,𝑏)   𝐻(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑉(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑊(𝑗,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem signshlen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		signsv.p	. . . 4 ⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
2		signsv.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩}
3		signsv.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓‘𝑖))))))
4		signsv.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇‘𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
5		signs.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = ((⟨“0”⟩ ++ 𝐹) ∘𝑓 − ((𝐹 ++ ⟨“0”⟩)∘𝑓/𝑐 · 𝐶))
6	1, 2, 3, 4, 5	signshf 31006	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐻:(0..^((♯‘𝐹) + 1))⟶ℝ)
7		ffn 6184	. . 3 ⊢ (𝐻:(0..^((♯‘𝐹) + 1))⟶ℝ → 𝐻 Fn (0..^((♯‘𝐹) + 1)))
8		hashfn 13369	. . 3 ⊢ (𝐻 Fn (0..^((♯‘𝐹) + 1)) → (♯‘𝐻) = (♯‘(0..^((♯‘𝐹) + 1))))
9	6, 7, 8	3syl 18	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (♯‘𝐻) = (♯‘(0..^((♯‘𝐹) + 1))))
10		lencl 13523	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Word ℝ → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
11	10	adantr 473	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
12		1nn0 11508	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
13	12	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℕ0)
14	11, 13	nn0addcld 11555	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((♯‘𝐹) + 1) ∈ ℕ0)
15		hashfzo0 13422	. . 3 ⊢ (((♯‘𝐹) + 1) ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^((♯‘𝐹) + 1))) = ((♯‘𝐹) + 1))
16	14, 15	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (♯‘(0..^((♯‘𝐹) + 1))) = ((♯‘𝐹) + 1))
17	9, 16	eqtrd 2803	1 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (♯‘𝐻) = ((♯‘𝐹) + 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1629   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2941  ifcif 4222  {cpr 4315  {ctp 4317  ⟨cop 4319   ↦ cmpt 4860   Fn wfn 6025  ⟶wf 6026  ‘cfv 6030  (class class class)co 6791   ↦ cmpt2 6793   ∘_𝑓 cof 7040  ℝcr 10135  0cc0 10136  1c1 10137   + caddc 10139   · cmul 10141   − cmin 10466  -cneg 10467  ℕ₀cn0 11492  ℝ⁺crp 12034  ...cfz 12532  ..^cfzo 12672  ♯chash 13324  Word cword 13490   ++ cconcat 13492  ⟨“cs1 13493  sgncsgn 14037  Σcsu 14627  ndxcnx 16067  Basecbs 16070  +_gcplusg 16155   Σ_g cgsu 16315  ∘_𝑓/𝑐cofc 30498

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1868  ax-4 1883  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2145  ax-9 2152  ax-10 2172  ax-11 2188  ax-12 2201  ax-13 2406  ax-ext 2749  ax-rep 4901  ax-sep 4911  ax-nul 4919  ax-pow 4970  ax-pr 5033  ax-un 7094  ax-cnex 10192  ax-resscn 10193  ax-1cn 10194  ax-icn 10195  ax-addcl 10196  ax-addrcl 10197  ax-mulcl 10198  ax-mulrcl 10199  ax-mulcom 10200  ax-addass 10201  ax-mulass 10202  ax-distr 10203  ax-i2m1 10204  ax-1ne0 10205  ax-1rid 10206  ax-rnegex 10207  ax-rrecex 10208  ax-cnre 10209  ax-pre-lttri 10210  ax-pre-lttrn 10211  ax-pre-ltadd 10212  ax-pre-mulgt0 10213

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1632  df-ex 1851  df-nf 1856  df-sb 2048  df-eu 2620  df-mo 2621  df-clab 2756  df-cleq 2762  df-clel 2765  df-nfc 2900  df-ne 2942  df-nel 3045  df-ral 3064  df-rex 3065  df-reu 3066  df-rab 3068  df-v 3350  df-sbc 3585  df-csb 3680  df-dif 3723  df-un 3725  df-in 3727  df-ss 3734  df-pss 3736  df-nul 4061  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4572  df-int 4609  df-iun 4653  df-br 4784  df-opab 4844  df-mpt 4861  df-tr 4884  df-id 5156  df-eprel 5161  df-po 5169  df-so 5170  df-fr 5207  df-we 5209  df-xp 5254  df-rel 5255  df-cnv 5256  df-co 5257  df-dm 5258  df-rn 5259  df-res 5260  df-ima 5261  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6752  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-of 7042  df-om 7211  df-1st 7313  df-2nd 7314  df-wrecs 7557  df-recs 7619  df-rdg 7657  df-1o 7711  df-oadd 7715  df-er 7894  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-fin 8111  df-card 8963  df-pnf 10276  df-mnf 10277  df-xr 10278  df-ltxr 10279  df-le 10280  df-sub 10468  df-neg 10469  df-nn 11221  df-n0 11493  df-z 11578  df-uz 11888  df-rp 12035  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-hash 13325  df-word 13498  df-concat 13500  df-s1 13501  df-ofc 30499

This theorem is referenced by:  signshnz  31009