Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  signshf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem signshf 30995
 Description: 𝐻, corresponding to the word 𝐹 multiplied by (𝑥 − 𝐶), as a function. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
signsv.p = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsv.w 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⟩}
signsv.t 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓𝑖))))))
signsv.v 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
signs.h 𝐻 = ((⟨“0”⟩ ++ 𝐹) ∘𝑓 − ((𝐹 ++ ⟨“0”⟩)∘𝑓/𝑐 · 𝐶))
Assertion
Ref Expression
signshf ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐻:(0..^((♯‘𝐹) + 1))⟶ℝ)
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,   𝑓,𝑖,𝑛,𝐹   𝑓,𝑊,𝑖,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   (𝑓,𝑖,𝑗,𝑛)   𝑇(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝐹(𝑗,𝑎,𝑏)   𝐻(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑉(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑊(𝑗,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem signshf
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resubcl 10557 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥𝑦) ∈ ℝ)
21adantl 473 . . 3 (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥𝑦) ∈ ℝ)
3 0red 10253 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 0 ∈ ℝ)
43s1cld 13593 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ⟨“0”⟩ ∈ Word ℝ)
5 simpl 474 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐹 ∈ Word ℝ)
6 ccatcl 13566 . . . . . 6 ((⟨“0”⟩ ∈ Word ℝ ∧ 𝐹 ∈ Word ℝ) → (⟨“0”⟩ ++ 𝐹) ∈ Word ℝ)
74, 5, 6syl2anc 696 . . . . 5 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (⟨“0”⟩ ++ 𝐹) ∈ Word ℝ)
8 wrdf 13516 . . . . 5 ((⟨“0”⟩ ++ 𝐹) ∈ Word ℝ → (⟨“0”⟩ ++ 𝐹):(0..^(♯‘(⟨“0”⟩ ++ 𝐹)))⟶ℝ)
97, 8syl 17 . . . 4 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (⟨“0”⟩ ++ 𝐹):(0..^(♯‘(⟨“0”⟩ ++ 𝐹)))⟶ℝ)
10 ccatlen 13567 . . . . . . . . 9 ((⟨“0”⟩ ∈ Word ℝ ∧ 𝐹 ∈ Word ℝ) → (♯‘(⟨“0”⟩ ++ 𝐹)) = ((♯‘⟨“0”⟩) + (♯‘𝐹)))
114, 5, 10syl2anc 696 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (♯‘(⟨“0”⟩ ++ 𝐹)) = ((♯‘⟨“0”⟩) + (♯‘𝐹)))
12 s1len 13596 . . . . . . . . 9 (♯‘⟨“0”⟩) = 1
1312oveq1i 6824 . . . . . . . 8 ((♯‘⟨“0”⟩) + (♯‘𝐹)) = (1 + (♯‘𝐹))
1411, 13syl6eq 2810 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (♯‘(⟨“0”⟩ ++ 𝐹)) = (1 + (♯‘𝐹)))
15 1cnd 10268 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℂ)
16 wrdfin 13529 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ Word ℝ → 𝐹 ∈ Fin)
17 hashcl 13359 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ Fin → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
185, 16, 173syl 18 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
1918nn0cnd 11565 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (♯‘𝐹) ∈ ℂ)
2015, 19addcomd 10450 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (1 + (♯‘𝐹)) = ((♯‘𝐹) + 1))
2114, 20eqtrd 2794 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (♯‘(⟨“0”⟩ ++ 𝐹)) = ((♯‘𝐹) + 1))
2221oveq2d 6830 . . . . 5 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (0..^(♯‘(⟨“0”⟩ ++ 𝐹))) = (0..^((♯‘𝐹) + 1)))
2322feq2d 6192 . . . 4 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((⟨“0”⟩ ++ 𝐹):(0..^(♯‘(⟨“0”⟩ ++ 𝐹)))⟶ℝ ↔ (⟨“0”⟩ ++ 𝐹):(0..^((♯‘𝐹) + 1))⟶ℝ))
249, 23mpbid 222 . . 3 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (⟨“0”⟩ ++ 𝐹):(0..^((♯‘𝐹) + 1))⟶ℝ)
25 remulcl 10233 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
2625adantl 473 . . . 4 (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
27 ccatcl 13566 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ ⟨“0”⟩ ∈ Word ℝ) → (𝐹 ++ ⟨“0”⟩) ∈ Word ℝ)
284, 27syldan 488 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐹 ++ ⟨“0”⟩) ∈ Word ℝ)
29 wrdf 13516 . . . . . 6 ((𝐹 ++ ⟨“0”⟩) ∈ Word ℝ → (𝐹 ++ ⟨“0”⟩):(0..^(♯‘(𝐹 ++ ⟨“0”⟩)))⟶ℝ)
3028, 29syl 17 . . . . 5 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐹 ++ ⟨“0”⟩):(0..^(♯‘(𝐹 ++ ⟨“0”⟩)))⟶ℝ)
31 ccatlen 13567 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ ⟨“0”⟩ ∈ Word ℝ) → (♯‘(𝐹 ++ ⟨“0”⟩)) = ((♯‘𝐹) + (♯‘⟨“0”⟩)))
324, 31syldan 488 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (♯‘(𝐹 ++ ⟨“0”⟩)) = ((♯‘𝐹) + (♯‘⟨“0”⟩)))
3312oveq2i 6825 . . . . . . . 8 ((♯‘𝐹) + (♯‘⟨“0”⟩)) = ((♯‘𝐹) + 1)
3432, 33syl6eq 2810 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (♯‘(𝐹 ++ ⟨“0”⟩)) = ((♯‘𝐹) + 1))
3534oveq2d 6830 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (0..^(♯‘(𝐹 ++ ⟨“0”⟩))) = (0..^((♯‘𝐹) + 1)))
3635feq2d 6192 . . . . 5 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐹 ++ ⟨“0”⟩):(0..^(♯‘(𝐹 ++ ⟨“0”⟩)))⟶ℝ ↔ (𝐹 ++ ⟨“0”⟩):(0..^((♯‘𝐹) + 1))⟶ℝ))
3730, 36mpbid 222 . . . 4 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐹 ++ ⟨“0”⟩):(0..^((♯‘𝐹) + 1))⟶ℝ)
38 ovexd 6844 . . . 4 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (0..^((♯‘𝐹) + 1)) ∈ V)
39 simpr 479 . . . . 5 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ+)
4039rpred 12085 . . . 4 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ)
4126, 37, 38, 40ofcf 30495 . . 3 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐹 ++ ⟨“0”⟩)∘𝑓/𝑐 · 𝐶):(0..^((♯‘𝐹) + 1))⟶ℝ)
42 inidm 3965 . . 3 ((0..^((♯‘𝐹) + 1)) ∩ (0..^((♯‘𝐹) + 1))) = (0..^((♯‘𝐹) + 1))
432, 24, 41, 38, 38, 42off 7078 . 2 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((⟨“0”⟩ ++ 𝐹) ∘𝑓 − ((𝐹 ++ ⟨“0”⟩)∘𝑓/𝑐 · 𝐶)):(0..^((♯‘𝐹) + 1))⟶ℝ)
44 signs.h . . 3 𝐻 = ((⟨“0”⟩ ++ 𝐹) ∘𝑓 − ((𝐹 ++ ⟨“0”⟩)∘𝑓/𝑐 · 𝐶))
4544feq1i 6197 . 2 (𝐻:(0..^((♯‘𝐹) + 1))⟶ℝ ↔ ((⟨“0”⟩ ++ 𝐹) ∘𝑓 − ((𝐹 ++ ⟨“0”⟩)∘𝑓/𝑐 · 𝐶)):(0..^((♯‘𝐹) + 1))⟶ℝ)
4643, 45sylibr 224 1 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐻:(0..^((♯‘𝐹) + 1))⟶ℝ)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932  Vcvv 3340  ifcif 4230  {cpr 4323  {ctp 4325  ⟨cop 4327   ↦ cmpt 4881  ⟶wf 6045  ‘cfv 6049  (class class class)co 6814   ↦ cmpt2 6816   ∘𝑓 cof 7061  Fincfn 8123  ℝcr 10147  0cc0 10148  1c1 10149   + caddc 10151   · cmul 10153   − cmin 10478  -cneg 10479  ℕ0cn0 11504  ℝ+crp 12045  ...cfz 12539  ..^cfzo 12679  ♯chash 13331  Word cword 13497   ++ cconcat 13499  ⟨“cs1 13500  sgncsgn 14045  Σcsu 14635  ndxcnx 16076  Basecbs 16079  +gcplusg 16163   Σg cgsu 16323  ∘𝑓/𝑐cofc 30487 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-of 7063  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-card 8975  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-rp 12046  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-hash 13332  df-word 13505  df-concat 13507  df-s1 13508  df-ofc 30488 This theorem is referenced by:  signshwrd  30996  signshlen  30997
 Copyright terms: Public domain W3C validator