Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sigapisys Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sigapisys 30558
Description: All sigma-algebras are pi-systems. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Jun-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
ispisys.p 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠}
Assertion
Ref Expression
sigapisys (sigAlgebra‘𝑂) ⊆ 𝑃
Distinct variable group:   𝑂,𝑠
Allowed substitution hint:   𝑃(𝑠)

Proof of Theorem sigapisys
Dummy variables 𝑡 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sigasspw 30519 . . . . 5 (𝑡 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) → 𝑡 ⊆ 𝒫 𝑂)
2 selpw 4305 . . . . 5 (𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂𝑡 ⊆ 𝒫 𝑂)
31, 2sylibr 224 . . . 4 (𝑡 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) → 𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂)
4 elrnsiga 30529 . . . . . . 7 (𝑡 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) → 𝑡 ran sigAlgebra)
54adantr 466 . . . . . 6 ((𝑡 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) ∧ 𝑥 ∈ ((𝒫 𝑡 ∩ Fin) ∖ {∅})) → 𝑡 ran sigAlgebra)
6 eldifsn 4454 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ((𝒫 𝑡 ∩ Fin) ∖ {∅}) ↔ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑡 ∩ Fin) ∧ 𝑥 ≠ ∅))
76biimpi 206 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ((𝒫 𝑡 ∩ Fin) ∖ {∅}) → (𝑥 ∈ (𝒫 𝑡 ∩ Fin) ∧ 𝑥 ≠ ∅))
87adantl 467 . . . . . . . 8 ((𝑡 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) ∧ 𝑥 ∈ ((𝒫 𝑡 ∩ Fin) ∖ {∅})) → (𝑥 ∈ (𝒫 𝑡 ∩ Fin) ∧ 𝑥 ≠ ∅))
98simpld 482 . . . . . . 7 ((𝑡 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) ∧ 𝑥 ∈ ((𝒫 𝑡 ∩ Fin) ∖ {∅})) → 𝑥 ∈ (𝒫 𝑡 ∩ Fin))
109elin1d 3953 . . . . . 6 ((𝑡 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) ∧ 𝑥 ∈ ((𝒫 𝑡 ∩ Fin) ∖ {∅})) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡)
119elin2d 3954 . . . . . . 7 ((𝑡 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) ∧ 𝑥 ∈ ((𝒫 𝑡 ∩ Fin) ∖ {∅})) → 𝑥 ∈ Fin)
12 fict 8718 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ Fin → 𝑥 ≼ ω)
1311, 12syl 17 . . . . . 6 ((𝑡 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) ∧ 𝑥 ∈ ((𝒫 𝑡 ∩ Fin) ∖ {∅})) → 𝑥 ≼ ω)
148simprd 483 . . . . . 6 ((𝑡 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) ∧ 𝑥 ∈ ((𝒫 𝑡 ∩ Fin) ∖ {∅})) → 𝑥 ≠ ∅)
15 sigaclci 30535 . . . . . 6 (((𝑡 ran sigAlgebra ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → 𝑥𝑡)
165, 10, 13, 14, 15syl22anc 1477 . . . . 5 ((𝑡 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) ∧ 𝑥 ∈ ((𝒫 𝑡 ∩ Fin) ∖ {∅})) → 𝑥𝑡)
1716ralrimiva 3115 . . . 4 (𝑡 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) → ∀𝑥 ∈ ((𝒫 𝑡 ∩ Fin) ∖ {∅}) 𝑥𝑡)
183, 17jca 501 . . 3 (𝑡 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) → (𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝒫 𝑡 ∩ Fin) ∖ {∅}) 𝑥𝑡))
19 ispisys.p . . . 4 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠}
2019ispisys2 30556 . . 3 (𝑡𝑃 ↔ (𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝒫 𝑡 ∩ Fin) ∖ {∅}) 𝑥𝑡))
2118, 20sylibr 224 . 2 (𝑡 ∈ (sigAlgebra‘𝑂) → 𝑡𝑃)
2221ssriv 3756 1 (sigAlgebra‘𝑂) ⊆ 𝑃
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  wral 3061  {crab 3065  cdif 3720  cin 3722  wss 3723  c0 4063  𝒫 cpw 4298  {csn 4317   cuni 4575   cint 4612   class class class wbr 4787  ran crn 5251  cfv 6030  ωcom 7216  cdom 8111  Fincfn 8113  ficfi 8476  sigAlgebracsiga 30510
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-inf2 8706  ax-ac2 9491
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-iin 4658  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7900  df-map 8015  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-fi 8477  df-card 8969  df-acn 8972  df-ac 9143  df-siga 30511
This theorem is referenced by:  sigapildsys  30565
  Copyright terms: Public domain W3C validator