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Theorem sigapildsyslem 30581
Description: Lemma for sigapildsys 30582. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Jun-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
dynkin.p 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠}
dynkin.l 𝐿 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠 (𝑂𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥𝑠))}
sigapildsyslem.n 𝑛𝜑
sigapildsyslem.1 (𝜑𝑡 ∈ (𝑃𝐿))
sigapildsyslem.2 (𝜑𝐴𝑡)
sigapildsyslem.3 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
sigapildsyslem.4 ((𝜑𝑛𝑁) → 𝐵𝑡)
Assertion
Ref Expression
sigapildsyslem (𝜑 → (𝐴 𝑛𝑁 𝐵) ∈ 𝑡)
Distinct variable groups:   𝑛,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦   𝑛,𝐿,𝑡,𝑥,𝑦   𝑂,𝑠,𝑡,𝑥   𝑃,𝑛,𝑡,𝑥,𝑦   𝐴,𝑛   𝑥,𝐵   𝑛,𝑁,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑡,𝑛,𝑠)   𝐴(𝑥,𝑦,𝑡,𝑠)   𝐵(𝑦,𝑡,𝑛,𝑠)   𝑃(𝑠)   𝐿(𝑠)   𝑁(𝑦,𝑡,𝑠)   𝑂(𝑦,𝑛)

Proof of Theorem sigapildsyslem
StepHypRef Expression
1 iuneq1 4679 . . . . . . 7 (𝑁 = ∅ → 𝑛𝑁 𝐵 = 𝑛 ∈ ∅ 𝐵)
2 0iun 4722 . . . . . . 7 𝑛 ∈ ∅ 𝐵 = ∅
31, 2syl6eq 2824 . . . . . 6 (𝑁 = ∅ → 𝑛𝑁 𝐵 = ∅)
43difeq2d 3886 . . . . 5 (𝑁 = ∅ → (𝐴 𝑛𝑁 𝐵) = (𝐴 ∖ ∅))
5 dif0 4108 . . . . 5 (𝐴 ∖ ∅) = 𝐴
64, 5syl6eq 2824 . . . 4 (𝑁 = ∅ → (𝐴 𝑛𝑁 𝐵) = 𝐴)
76adantl 468 . . 3 ((𝜑𝑁 = ∅) → (𝐴 𝑛𝑁 𝐵) = 𝐴)
8 sigapildsyslem.2 . . . 4 (𝜑𝐴𝑡)
98adantr 467 . . 3 ((𝜑𝑁 = ∅) → 𝐴𝑡)
107, 9eqeltrd 2853 . 2 ((𝜑𝑁 = ∅) → (𝐴 𝑛𝑁 𝐵) ∈ 𝑡)
11 iindif2 4734 . . . 4 (𝑁 ≠ ∅ → 𝑛𝑁 (𝐴𝐵) = (𝐴 𝑛𝑁 𝐵))
1211adantl 468 . . 3 ((𝜑𝑁 ≠ ∅) → 𝑛𝑁 (𝐴𝐵) = (𝐴 𝑛𝑁 𝐵))
13 sigapildsyslem.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝑡 ∈ (𝑃𝐿))
1413adantr 467 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ≠ ∅) → 𝑡 ∈ (𝑃𝐿))
1514elin1d 3960 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ≠ ∅) → 𝑡𝑃)
16 dynkin.p . . . . . . 7 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠}
1716ispisys 30572 . . . . . 6 (𝑡𝑃 ↔ (𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (fi‘𝑡) ⊆ 𝑡))
1815, 17sylib 209 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ≠ ∅) → (𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (fi‘𝑡) ⊆ 𝑡))
1918simprd 484 . . . 4 ((𝜑𝑁 ≠ ∅) → (fi‘𝑡) ⊆ 𝑡)
20 sigapildsyslem.n . . . . . . 7 𝑛𝜑
21 nfv 1998 . . . . . . 7 𝑛 𝑁 ≠ ∅
2220, 21nfan 1983 . . . . . 6 𝑛(𝜑𝑁 ≠ ∅)
2318simpld 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑁 ≠ ∅) → 𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂)
2423elpwid 4319 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑁 ≠ ∅) → 𝑡 ⊆ 𝒫 𝑂)
258adantr 467 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑁 ≠ ∅) → 𝐴𝑡)
2624, 25sseldd 3759 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑁 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ 𝒫 𝑂)
2726elpwid 4319 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑁 ≠ ∅) → 𝐴𝑂)
2827adantr 467 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑁 ≠ ∅) ∧ 𝑛𝑁) → 𝐴𝑂)
29 difin2 4048 . . . . . . . . 9 (𝐴𝑂 → (𝐴𝐵) = ((𝑂𝐵) ∩ 𝐴))
3028, 29syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑁 ≠ ∅) ∧ 𝑛𝑁) → (𝐴𝐵) = ((𝑂𝐵) ∩ 𝐴))
3119adantr 467 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑁 ≠ ∅) ∧ 𝑛𝑁) → (fi‘𝑡) ⊆ 𝑡)
3214adantr 467 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑁 ≠ ∅) ∧ 𝑛𝑁) → 𝑡 ∈ (𝑃𝐿))
3314elin2d 3961 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑁 ≠ ∅) → 𝑡𝐿)
34 dynkin.l . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐿 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠 (𝑂𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥𝑠))}
3534isldsys 30576 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡𝐿 ↔ (𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (∅ ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥𝑡 (𝑂𝑥) ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑡((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥𝑡))))
3633, 35sylib 209 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑁 ≠ ∅) → (𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (∅ ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥𝑡 (𝑂𝑥) ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑡((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥𝑡))))
3736simprd 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑁 ≠ ∅) → (∅ ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥𝑡 (𝑂𝑥) ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑡((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥𝑡)))
3837simp2d 1164 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑁 ≠ ∅) → ∀𝑥𝑡 (𝑂𝑥) ∈ 𝑡)
3938adantr 467 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑁 ≠ ∅) ∧ 𝑛𝑁) → ∀𝑥𝑡 (𝑂𝑥) ∈ 𝑡)
40 sigapildsyslem.4 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛𝑁) → 𝐵𝑡)
4140adantlr 695 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑁 ≠ ∅) ∧ 𝑛𝑁) → 𝐵𝑡)
42 nfv 1998 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥(𝑂𝐵) ∈ 𝑡
43 difeq2 3880 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝐵 → (𝑂𝑥) = (𝑂𝐵))
4443eleq1d 2838 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝐵 → ((𝑂𝑥) ∈ 𝑡 ↔ (𝑂𝐵) ∈ 𝑡))
4542, 44rspc 3459 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵𝑡 → (∀𝑥𝑡 (𝑂𝑥) ∈ 𝑡 → (𝑂𝐵) ∈ 𝑡))
4641, 45syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑁 ≠ ∅) ∧ 𝑛𝑁) → (∀𝑥𝑡 (𝑂𝑥) ∈ 𝑡 → (𝑂𝐵) ∈ 𝑡))
4739, 46mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑁 ≠ ∅) ∧ 𝑛𝑁) → (𝑂𝐵) ∈ 𝑡)
4825adantr 467 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑁 ≠ ∅) ∧ 𝑛𝑁) → 𝐴𝑡)
49 inelfi 8501 . . . . . . . . . 10 ((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ (𝑂𝐵) ∈ 𝑡𝐴𝑡) → ((𝑂𝐵) ∩ 𝐴) ∈ (fi‘𝑡))
5032, 47, 48, 49syl3anc 1480 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑁 ≠ ∅) ∧ 𝑛𝑁) → ((𝑂𝐵) ∩ 𝐴) ∈ (fi‘𝑡))
5131, 50sseldd 3759 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑁 ≠ ∅) ∧ 𝑛𝑁) → ((𝑂𝐵) ∩ 𝐴) ∈ 𝑡)
5230, 51eqeltrd 2853 . . . . . . 7 (((𝜑𝑁 ≠ ∅) ∧ 𝑛𝑁) → (𝐴𝐵) ∈ 𝑡)
5352ex 398 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ≠ ∅) → (𝑛𝑁 → (𝐴𝐵) ∈ 𝑡))
5422, 53ralrimi 3109 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ≠ ∅) → ∀𝑛𝑁 (𝐴𝐵) ∈ 𝑡)
55 simpr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ≠ ∅) → 𝑁 ≠ ∅)
56 sigapildsyslem.3 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
5756adantr 467 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ≠ ∅) → 𝑁 ∈ Fin)
58 vex 3358 . . . . . 6 𝑡 ∈ V
59 iinfi 8500 . . . . . 6 ((𝑡 ∈ V ∧ (∀𝑛𝑁 (𝐴𝐵) ∈ 𝑡𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑁 ∈ Fin)) → 𝑛𝑁 (𝐴𝐵) ∈ (fi‘𝑡))
6058, 59mpan 671 . . . . 5 ((∀𝑛𝑁 (𝐴𝐵) ∈ 𝑡𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝑛𝑁 (𝐴𝐵) ∈ (fi‘𝑡))
6154, 55, 57, 60syl3anc 1480 . . . 4 ((𝜑𝑁 ≠ ∅) → 𝑛𝑁 (𝐴𝐵) ∈ (fi‘𝑡))
6219, 61sseldd 3759 . . 3 ((𝜑𝑁 ≠ ∅) → 𝑛𝑁 (𝐴𝐵) ∈ 𝑡)
6312, 62eqeltrrd 2854 . 2 ((𝜑𝑁 ≠ ∅) → (𝐴 𝑛𝑁 𝐵) ∈ 𝑡)
6410, 63pm2.61dane 3033 1 (𝜑 → (𝐴 𝑛𝑁 𝐵) ∈ 𝑡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1098   = wceq 1634  wnf 1859  wcel 2148  wne 2946  wral 3064  {crab 3068  Vcvv 3355  cdif 3726  cin 3728  wss 3729  c0 4073  𝒫 cpw 4307   cuni 4585   ciun 4665   ciin 4666  Disj wdisj 4765   class class class wbr 4797  cfv 6042  ωcom 7233  cdom 8128  Fincfn 8130  ficfi 8493
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1873  ax-4 1888  ax-5 1994  ax-6 2060  ax-7 2096  ax-8 2150  ax-9 2157  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2206  ax-13 2411  ax-ext 2754  ax-sep 4928  ax-nul 4936  ax-pow 4988  ax-pr 5048  ax-un 7117
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 384  df-or 864  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1637  df-ex 1856  df-nf 1861  df-sb 2053  df-eu 2625  df-mo 2626  df-clab 2761  df-cleq 2767  df-clel 2770  df-nfc 2905  df-ne 2947  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rab 3073  df-v 3357  df-sbc 3594  df-csb 3689  df-dif 3732  df-un 3734  df-in 3736  df-ss 3743  df-pss 3745  df-nul 4074  df-if 4236  df-pw 4309  df-sn 4327  df-pr 4329  df-tp 4331  df-op 4333  df-uni 4586  df-int 4623  df-iun 4667  df-iin 4668  df-br 4798  df-opab 4860  df-mpt 4877  df-tr 4900  df-id 5171  df-eprel 5176  df-po 5184  df-so 5185  df-fr 5222  df-we 5224  df-xp 5269  df-rel 5270  df-cnv 5271  df-co 5272  df-dm 5273  df-rn 5274  df-res 5275  df-ima 5276  df-pred 5834  df-ord 5880  df-on 5881  df-lim 5882  df-suc 5883  df-iota 6005  df-fun 6044  df-fn 6045  df-f 6046  df-f1 6047  df-fo 6048  df-f1o 6049  df-fv 6050  df-ov 6815  df-oprab 6816  df-mpt2 6817  df-om 7234  df-wrecs 7580  df-recs 7642  df-rdg 7680  df-1o 7734  df-oadd 7738  df-er 7917  df-en 8131  df-dom 8132  df-fin 8134  df-fi 8494
This theorem is referenced by:  sigapildsys  30582
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