Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sibf0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sibf0 30524
Description: The constant zero function is a simple function. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Mar-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
sitgval.b 𝐵 = (Base‘𝑊)
sitgval.j 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
sitgval.s 𝑆 = (sigaGen‘𝐽)
sitgval.0 0 = (0g𝑊)
sitgval.x · = ( ·𝑠𝑊)
sitgval.h 𝐻 = (ℝHom‘(Scalar‘𝑊))
sitgval.1 (𝜑𝑊𝑉)
sitgval.2 (𝜑𝑀 ran measures)
sibf0.1 (𝜑𝑊 ∈ TopSp)
sibf0.2 (𝜑𝑊 ∈ Mnd)
Assertion
Ref Expression
sibf0 (𝜑 → ( dom 𝑀 × { 0 }) ∈ dom (𝑊sitg𝑀))

Proof of Theorem sibf0
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sitgval.2 . . . 4 (𝜑𝑀 ran measures)
2 dmmeas 30392 . . . 4 (𝑀 ran measures → dom 𝑀 ran sigAlgebra)
31, 2syl 17 . . 3 (𝜑 → dom 𝑀 ran sigAlgebra)
4 sitgval.s . . . 4 𝑆 = (sigaGen‘𝐽)
5 sitgval.j . . . . . . 7 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
6 fvex 6239 . . . . . . 7 (TopOpen‘𝑊) ∈ V
75, 6eqeltri 2726 . . . . . 6 𝐽 ∈ V
87a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝐽 ∈ V)
98sgsiga 30333 . . . 4 (𝜑 → (sigaGen‘𝐽) ∈ ran sigAlgebra)
104, 9syl5eqel 2734 . . 3 (𝜑𝑆 ran sigAlgebra)
11 fconstmpt 5197 . . . 4 ( dom 𝑀 × { 0 }) = (𝑥 dom 𝑀0 )
1211a1i 11 . . 3 (𝜑 → ( dom 𝑀 × { 0 }) = (𝑥 dom 𝑀0 ))
13 sibf0.2 . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ Mnd)
14 sitgval.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑊)
15 sitgval.0 . . . . . 6 0 = (0g𝑊)
1614, 15mndidcl 17355 . . . . 5 (𝑊 ∈ Mnd → 0𝐵)
1713, 16syl 17 . . . 4 (𝜑0𝐵)
18 sibf0.1 . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ TopSp)
1914, 5tpsuni 20788 . . . . . 6 (𝑊 ∈ TopSp → 𝐵 = 𝐽)
2018, 19syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐵 = 𝐽)
214unieqi 4477 . . . . . 6 𝑆 = (sigaGen‘𝐽)
22 unisg 30334 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ V → (sigaGen‘𝐽) = 𝐽)
237, 22mp1i 13 . . . . . 6 (𝜑 (sigaGen‘𝐽) = 𝐽)
2421, 23syl5eq 2697 . . . . 5 (𝜑 𝑆 = 𝐽)
2520, 24eqtr4d 2688 . . . 4 (𝜑𝐵 = 𝑆)
2617, 25eleqtrd 2732 . . 3 (𝜑0 𝑆)
273, 10, 12, 26mbfmcst 30449 . 2 (𝜑 → ( dom 𝑀 × { 0 }) ∈ (dom 𝑀MblFnM𝑆))
28 xpeq1 5157 . . . . . . . 8 ( dom 𝑀 = ∅ → ( dom 𝑀 × { 0 }) = (∅ × { 0 }))
29 0xp 5233 . . . . . . . 8 (∅ × { 0 }) = ∅
3028, 29syl6eq 2701 . . . . . . 7 ( dom 𝑀 = ∅ → ( dom 𝑀 × { 0 }) = ∅)
3130rneqd 5385 . . . . . 6 ( dom 𝑀 = ∅ → ran ( dom 𝑀 × { 0 }) = ran ∅)
32 rn0 5409 . . . . . 6 ran ∅ = ∅
3331, 32syl6eq 2701 . . . . 5 ( dom 𝑀 = ∅ → ran ( dom 𝑀 × { 0 }) = ∅)
34 0fin 8229 . . . . 5 ∅ ∈ Fin
3533, 34syl6eqel 2738 . . . 4 ( dom 𝑀 = ∅ → ran ( dom 𝑀 × { 0 }) ∈ Fin)
36 rnxp 5599 . . . . 5 ( dom 𝑀 ≠ ∅ → ran ( dom 𝑀 × { 0 }) = { 0 })
37 snfi 8079 . . . . 5 { 0 } ∈ Fin
3836, 37syl6eqel 2738 . . . 4 ( dom 𝑀 ≠ ∅ → ran ( dom 𝑀 × { 0 }) ∈ Fin)
3935, 38pm2.61ine 2906 . . 3 ran ( dom 𝑀 × { 0 }) ∈ Fin
4039a1i 11 . 2 (𝜑 → ran ( dom 𝑀 × { 0 }) ∈ Fin)
41 noel 3952 . . . . . 6 ¬ 𝑥 ∈ ∅
4233difeq1d 3760 . . . . . . . . 9 ( dom 𝑀 = ∅ → (ran ( dom 𝑀 × { 0 }) ∖ { 0 }) = (∅ ∖ { 0 }))
43 0dif 4010 . . . . . . . . 9 (∅ ∖ { 0 }) = ∅
4442, 43syl6eq 2701 . . . . . . . 8 ( dom 𝑀 = ∅ → (ran ( dom 𝑀 × { 0 }) ∖ { 0 }) = ∅)
4536difeq1d 3760 . . . . . . . . 9 ( dom 𝑀 ≠ ∅ → (ran ( dom 𝑀 × { 0 }) ∖ { 0 }) = ({ 0 } ∖ { 0 }))
46 difid 3981 . . . . . . . . 9 ({ 0 } ∖ { 0 }) = ∅
4745, 46syl6eq 2701 . . . . . . . 8 ( dom 𝑀 ≠ ∅ → (ran ( dom 𝑀 × { 0 }) ∖ { 0 }) = ∅)
4844, 47pm2.61ine 2906 . . . . . . 7 (ran ( dom 𝑀 × { 0 }) ∖ { 0 }) = ∅
4948eleq2i 2722 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (ran ( dom 𝑀 × { 0 }) ∖ { 0 }) ↔ 𝑥 ∈ ∅)
5041, 49mtbir 312 . . . . 5 ¬ 𝑥 ∈ (ran ( dom 𝑀 × { 0 }) ∖ { 0 })
5150pm2.21i 116 . . . 4 (𝑥 ∈ (ran ( dom 𝑀 × { 0 }) ∖ { 0 }) → (𝑀‘(( dom 𝑀 × { 0 }) “ {𝑥})) ∈ (0[,)+∞))
5251adantl 481 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (ran ( dom 𝑀 × { 0 }) ∖ { 0 })) → (𝑀‘(( dom 𝑀 × { 0 }) “ {𝑥})) ∈ (0[,)+∞))
5352ralrimiva 2995 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (ran ( dom 𝑀 × { 0 }) ∖ { 0 })(𝑀‘(( dom 𝑀 × { 0 }) “ {𝑥})) ∈ (0[,)+∞))
54 sitgval.x . . 3 · = ( ·𝑠𝑊)
55 sitgval.h . . 3 𝐻 = (ℝHom‘(Scalar‘𝑊))
56 sitgval.1 . . 3 (𝜑𝑊𝑉)
5714, 5, 4, 15, 54, 55, 56, 1issibf 30523 . 2 (𝜑 → (( dom 𝑀 × { 0 }) ∈ dom (𝑊sitg𝑀) ↔ (( dom 𝑀 × { 0 }) ∈ (dom 𝑀MblFnM𝑆) ∧ ran ( dom 𝑀 × { 0 }) ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ (ran ( dom 𝑀 × { 0 }) ∖ { 0 })(𝑀‘(( dom 𝑀 × { 0 }) “ {𝑥})) ∈ (0[,)+∞))))
5827, 40, 53, 57mpbir3and 1264 1 (𝜑 → ( dom 𝑀 × { 0 }) ∈ dom (𝑊sitg𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  Vcvv 3231  cdif 3604  c0 3948  {csn 4210   cuni 4468  cmpt 4762   × cxp 5141  ccnv 5142  dom cdm 5143  ran crn 5144  cima 5146  cfv 5926  (class class class)co 6690  Fincfn 7997  0cc0 9974  +∞cpnf 10109  [,)cico 12215  Basecbs 15904  Scalarcsca 15991   ·𝑠 cvsca 15992  TopOpenctopn 16129  0gc0g 16147  Mndcmnd 17341  TopSpctps 20784  ℝHomcrrh 30165  sigAlgebracsiga 30298  sigaGencsigagen 30329  measurescmeas 30386  MblFnMcmbfm 30440  sitgcsitg 30519
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1o 7605  df-map 7901  df-en 7998  df-fin 8001  df-0g 16149  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-esum 30218  df-siga 30299  df-sigagen 30330  df-meas 30387  df-mbfm 30441  df-sitg 30520
This theorem is referenced by:  sitg0  30536
  Copyright terms: Public domain W3C validator