Theorem shsval3i 28548

Description: An alternate way to express subspace sum. (Contributed by NM, 25-Nov-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
shlesb1.1	⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
shlesb1.2	⊢ 𝐵 ∈ Sℋ

Assertion

Ref	Expression
shsval3i	⊢ (𝐴 +ℋ 𝐵) = (span‘(𝐴 ∪ 𝐵))

Proof of Theorem shsval3i

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shlesb1.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
2		shlesb1.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
3	1, 2	shsval2i 28547	. 2 ⊢ (𝐴 +ℋ 𝐵) = ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑥}
4	1	shssii 28371	. . . 4 ⊢ 𝐴 ⊆ ℋ
5	2	shssii 28371	. . . 4 ⊢ 𝐵 ⊆ ℋ
6	4, 5	unssi 3923	. . 3 ⊢ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ ℋ
7		spanval 28493	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ ℋ → (span‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑥})
8	6, 7	ax-mp 5	. 2 ⊢ (span‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑥}
9	3, 8	eqtr4i 2777	1 ⊢ (𝐴 +ℋ 𝐵) = (span‘(𝐴 ∪ 𝐵))

Syntax hints:   = wceq 1624   ∈ wcel 2131  {crab 3046   ∪ cun 3705   ⊆ wss 3707  ∩ cint 4619  ‘cfv 6041  (class class class)co 6805   ℋchil 28077   S_ℋ csh 28086   +_ℋ cph 28089  spancspn 28090

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197  ax-pre-sup 10198  ax-addf 10199  ax-mulf 10200  ax-hilex 28157  ax-hfvadd 28158  ax-hvcom 28159  ax-hvass 28160  ax-hv0cl 28161  ax-hvaddid 28162  ax-hfvmul 28163  ax-hvmulid 28164  ax-hvmulass 28165  ax-hvdistr1 28166  ax-hvdistr2 28167  ax-hvmul0 28168  ax-hfi 28237  ax-his1 28240  ax-his2 28241  ax-his3 28242  ax-his4 28243

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-er 7903  df-map 8017  df-pm 8018  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-sup 8505  df-inf 8506  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-div 10869  df-nn 11205  df-2 11263  df-3 11264  df-4 11265  df-n0 11477  df-z 11562  df-uz 11872  df-q 11974  df-rp 12018  df-xneg 12131  df-xadd 12132  df-xmul 12133  df-icc 12367  df-seq 12988  df-exp 13047  df-cj 14030  df-re 14031  df-im 14032  df-sqrt 14166  df-abs 14167  df-topgen 16298  df-psmet 19932  df-xmet 19933  df-met 19934  df-bl 19935  df-mopn 19936  df-top 20893  df-topon 20910  df-bases 20944  df-lm 21227  df-haus 21313  df-grpo 27648  df-gid 27649  df-ginv 27650  df-gdiv 27651  df-ablo 27700  df-vc 27715  df-nv 27748  df-va 27751  df-ba 27752  df-sm 27753  df-0v 27754  df-vs 27755  df-nmcv 27756  df-ims 27757  df-hnorm 28126  df-hvsub 28129  df-hlim 28130  df-sh 28365  df-ch 28379  df-ch0 28411  df-shs 28468  df-span 28469

This theorem is referenced by:  shs0i  28609