HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shsval2i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem shsval2i 28577
Description: An alternate way to express subspace sum. (Contributed by NM, 25-Nov-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
shlesb1.1 𝐴S
shlesb1.2 𝐵S
Assertion
Ref Expression
shsval2i (𝐴 + 𝐵) = {𝑥S ∣ (𝐴𝐵) ⊆ 𝑥}
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem shsval2i
StepHypRef Expression
1 ssun1 3920 . . . . 5 𝐴 ⊆ (𝐴𝐵)
2 ssintub 4648 . . . . 5 (𝐴𝐵) ⊆ {𝑥S ∣ (𝐴𝐵) ⊆ 𝑥}
31, 2sstri 3754 . . . 4 𝐴 {𝑥S ∣ (𝐴𝐵) ⊆ 𝑥}
4 ssun2 3921 . . . . 5 𝐵 ⊆ (𝐴𝐵)
54, 2sstri 3754 . . . 4 𝐵 {𝑥S ∣ (𝐴𝐵) ⊆ 𝑥}
63, 5pm3.2i 470 . . 3 (𝐴 {𝑥S ∣ (𝐴𝐵) ⊆ 𝑥} ∧ 𝐵 {𝑥S ∣ (𝐴𝐵) ⊆ 𝑥})
7 shlesb1.1 . . . 4 𝐴S
8 shlesb1.2 . . . 4 𝐵S
9 ssrab2 3829 . . . . 5 {𝑥S ∣ (𝐴𝐵) ⊆ 𝑥} ⊆ S
107, 8shscli 28507 . . . . . . 7 (𝐴 + 𝐵) ∈ S
117, 8shunssi 28558 . . . . . . 7 (𝐴𝐵) ⊆ (𝐴 + 𝐵)
12 sseq2 3769 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝐴 + 𝐵) → ((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥 ↔ (𝐴𝐵) ⊆ (𝐴 + 𝐵)))
1312rspcev 3450 . . . . . . 7 (((𝐴 + 𝐵) ∈ S ∧ (𝐴𝐵) ⊆ (𝐴 + 𝐵)) → ∃𝑥S (𝐴𝐵) ⊆ 𝑥)
1410, 11, 13mp2an 710 . . . . . 6 𝑥S (𝐴𝐵) ⊆ 𝑥
15 rabn0 4102 . . . . . 6 ({𝑥S ∣ (𝐴𝐵) ⊆ 𝑥} ≠ ∅ ↔ ∃𝑥S (𝐴𝐵) ⊆ 𝑥)
1614, 15mpbir 221 . . . . 5 {𝑥S ∣ (𝐴𝐵) ⊆ 𝑥} ≠ ∅
17 shintcl 28520 . . . . 5 (({𝑥S ∣ (𝐴𝐵) ⊆ 𝑥} ⊆ S ∧ {𝑥S ∣ (𝐴𝐵) ⊆ 𝑥} ≠ ∅) → {𝑥S ∣ (𝐴𝐵) ⊆ 𝑥} ∈ S )
189, 16, 17mp2an 710 . . . 4 {𝑥S ∣ (𝐴𝐵) ⊆ 𝑥} ∈ S
197, 8, 18shslubi 28575 . . 3 ((𝐴 {𝑥S ∣ (𝐴𝐵) ⊆ 𝑥} ∧ 𝐵 {𝑥S ∣ (𝐴𝐵) ⊆ 𝑥}) ↔ (𝐴 + 𝐵) ⊆ {𝑥S ∣ (𝐴𝐵) ⊆ 𝑥})
206, 19mpbi 220 . 2 (𝐴 + 𝐵) ⊆ {𝑥S ∣ (𝐴𝐵) ⊆ 𝑥}
2112elrab 3505 . . . 4 ((𝐴 + 𝐵) ∈ {𝑥S ∣ (𝐴𝐵) ⊆ 𝑥} ↔ ((𝐴 + 𝐵) ∈ S ∧ (𝐴𝐵) ⊆ (𝐴 + 𝐵)))
2210, 11, 21mpbir2an 993 . . 3 (𝐴 + 𝐵) ∈ {𝑥S ∣ (𝐴𝐵) ⊆ 𝑥}
23 intss1 4645 . . 3 ((𝐴 + 𝐵) ∈ {𝑥S ∣ (𝐴𝐵) ⊆ 𝑥} → {𝑥S ∣ (𝐴𝐵) ⊆ 𝑥} ⊆ (𝐴 + 𝐵))
2422, 23ax-mp 5 . 2 {𝑥S ∣ (𝐴𝐵) ⊆ 𝑥} ⊆ (𝐴 + 𝐵)
2520, 24eqssi 3761 1 (𝐴 + 𝐵) = {𝑥S ∣ (𝐴𝐵) ⊆ 𝑥}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 383   = wceq 1632  wcel 2140  wne 2933  wrex 3052  {crab 3055  cun 3714  wss 3716  c0 4059   cint 4628  (class class class)co 6815   S csh 28116   + cph 28119
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226  ax-pre-sup 10227  ax-addf 10228  ax-mulf 10229  ax-hilex 28187  ax-hfvadd 28188  ax-hvcom 28189  ax-hvass 28190  ax-hv0cl 28191  ax-hvaddid 28192  ax-hfvmul 28193  ax-hvmulid 28194  ax-hvmulass 28195  ax-hvdistr1 28196  ax-hvdistr2 28197  ax-hvmul0 28198  ax-hfi 28267  ax-his1 28270  ax-his2 28271  ax-his3 28272  ax-his4 28273
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-int 4629  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-om 7233  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-er 7914  df-map 8028  df-pm 8029  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-sup 8516  df-inf 8517  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-div 10898  df-nn 11234  df-2 11292  df-3 11293  df-4 11294  df-n0 11506  df-z 11591  df-uz 11901  df-q 12003  df-rp 12047  df-xneg 12160  df-xadd 12161  df-xmul 12162  df-icc 12396  df-seq 13017  df-exp 13076  df-cj 14059  df-re 14060  df-im 14061  df-sqrt 14195  df-abs 14196  df-topgen 16327  df-psmet 19961  df-xmet 19962  df-met 19963  df-bl 19964  df-mopn 19965  df-top 20922  df-topon 20939  df-bases 20973  df-lm 21256  df-haus 21342  df-grpo 27678  df-gid 27679  df-ginv 27680  df-gdiv 27681  df-ablo 27730  df-vc 27745  df-nv 27778  df-va 27781  df-ba 27782  df-sm 27783  df-0v 27784  df-vs 27785  df-nmcv 27786  df-ims 27787  df-hnorm 28156  df-hvsub 28159  df-hlim 28160  df-sh 28395  df-ch 28409  df-ch0 28441  df-shs 28498
This theorem is referenced by:  shsval3i  28578
  Copyright terms: Public domain W3C validator