HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shsubcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem shsubcl 28417
Description: Closure of vector subtraction in a subspace of a Hilbert space. (Contributed by NM, 18-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
shsubcl ((𝐻S𝐴𝐻𝐵𝐻) → (𝐴 𝐵) ∈ 𝐻)

Proof of Theorem shsubcl
StepHypRef Expression
1 shss 28407 . . . . . 6 (𝐻S𝐻 ⊆ ℋ)
21sseld 3751 . . . . 5 (𝐻S → (𝐴𝐻𝐴 ∈ ℋ))
31sseld 3751 . . . . 5 (𝐻S → (𝐵𝐻𝐵 ∈ ℋ))
42, 3anim12d 596 . . . 4 (𝐻S → ((𝐴𝐻𝐵𝐻) → (𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ)))
543impib 1108 . . 3 ((𝐻S𝐴𝐻𝐵𝐻) → (𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ))
6 hvsubval 28213 . . 3 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 𝐵) = (𝐴 + (-1 · 𝐵)))
75, 6syl 17 . 2 ((𝐻S𝐴𝐻𝐵𝐻) → (𝐴 𝐵) = (𝐴 + (-1 · 𝐵)))
8 neg1cn 11326 . . . . 5 -1 ∈ ℂ
9 shmulcl 28415 . . . . 5 ((𝐻S ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝐻) → (-1 · 𝐵) ∈ 𝐻)
108, 9mp3an2 1560 . . . 4 ((𝐻S𝐵𝐻) → (-1 · 𝐵) ∈ 𝐻)
11103adant2 1125 . . 3 ((𝐻S𝐴𝐻𝐵𝐻) → (-1 · 𝐵) ∈ 𝐻)
12 shaddcl 28414 . . 3 ((𝐻S𝐴𝐻 ∧ (-1 · 𝐵) ∈ 𝐻) → (𝐴 + (-1 · 𝐵)) ∈ 𝐻)
1311, 12syld3an3 1515 . 2 ((𝐻S𝐴𝐻𝐵𝐻) → (𝐴 + (-1 · 𝐵)) ∈ 𝐻)
147, 13eqeltrd 2850 1 ((𝐻S𝐴𝐻𝐵𝐻) → (𝐴 𝐵) ∈ 𝐻)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  (class class class)co 6793  cc 10136  1c1 10139  -cneg 10469  chil 28116   + cva 28117   · csm 28118   cmv 28122   S csh 28125
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-hilex 28196  ax-hfvadd 28197  ax-hfvmul 28202
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-po 5170  df-so 5171  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-ltxr 10281  df-sub 10470  df-neg 10471  df-hvsub 28168  df-sh 28404
This theorem is referenced by:  hhssmetdval  28475  shuni  28499  shsvs  28522  omlsilem  28601  pjoc1i  28630  chscllem2  28837  sumspansn  28848  spansncvi  28851  pjss2i  28879  pjssmii  28880  pjocini  28897  sumdmdii  29614  cdjreui  29631
  Copyright terms: Public domain W3C validator