HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shsel3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem shsel3 28515
Description: Membership in the subspace sum of two Hilbert subspaces, using vector subtraction. (Contributed by NM, 20-Jan-2007.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
shsel3 ((𝐴S𝐵S ) → (𝐶 ∈ (𝐴 + 𝐵) ↔ ∃𝑥𝐴𝑦𝐵 𝐶 = (𝑥 𝑦)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦

Proof of Theorem shsel3
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 shsel 28514 . 2 ((𝐴S𝐵S ) → (𝐶 ∈ (𝐴 + 𝐵) ↔ ∃𝑥𝐴𝑧𝐵 𝐶 = (𝑥 + 𝑧)))
2 id 22 . . . . . . . 8 (𝐶 = (𝑥 + 𝑧) → 𝐶 = (𝑥 + 𝑧))
3 shel 28409 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴S𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℋ)
4 shel 28409 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵S𝑧𝐵) → 𝑧 ∈ ℋ)
5 hvaddsubval 28231 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑥 + 𝑧) = (𝑥 (-1 · 𝑧)))
63, 4, 5syl2an 496 . . . . . . . . . 10 (((𝐴S𝑥𝐴) ∧ (𝐵S𝑧𝐵)) → (𝑥 + 𝑧) = (𝑥 (-1 · 𝑧)))
76an4s 901 . . . . . . . . 9 (((𝐴S𝐵S ) ∧ (𝑥𝐴𝑧𝐵)) → (𝑥 + 𝑧) = (𝑥 (-1 · 𝑧)))
87anassrs 680 . . . . . . . 8 ((((𝐴S𝐵S ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑧𝐵) → (𝑥 + 𝑧) = (𝑥 (-1 · 𝑧)))
92, 8sylan9eqr 2825 . . . . . . 7 (((((𝐴S𝐵S ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝐶 = (𝑥 + 𝑧)) → 𝐶 = (𝑥 (-1 · 𝑧)))
10 neg1cn 11324 . . . . . . . . . . 11 -1 ∈ ℂ
11 shmulcl 28416 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵S ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝑧𝐵) → (-1 · 𝑧) ∈ 𝐵)
1210, 11mp3an2 1558 . . . . . . . . . 10 ((𝐵S𝑧𝐵) → (-1 · 𝑧) ∈ 𝐵)
1312adantll 749 . . . . . . . . 9 (((𝐴S𝐵S ) ∧ 𝑧𝐵) → (-1 · 𝑧) ∈ 𝐵)
1413adantlr 750 . . . . . . . 8 ((((𝐴S𝐵S ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑧𝐵) → (-1 · 𝑧) ∈ 𝐵)
15 oveq2 6799 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (-1 · 𝑧) → (𝑥 𝑦) = (𝑥 (-1 · 𝑧)))
1615eqeq2d 2779 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (-1 · 𝑧) → (𝐶 = (𝑥 𝑦) ↔ 𝐶 = (𝑥 (-1 · 𝑧))))
1716rspcev 3457 . . . . . . . 8 (((-1 · 𝑧) ∈ 𝐵𝐶 = (𝑥 (-1 · 𝑧))) → ∃𝑦𝐵 𝐶 = (𝑥 𝑦))
1814, 17sylan 490 . . . . . . 7 (((((𝐴S𝐵S ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝐶 = (𝑥 (-1 · 𝑧))) → ∃𝑦𝐵 𝐶 = (𝑥 𝑦))
199, 18syldan 489 . . . . . 6 (((((𝐴S𝐵S ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝐶 = (𝑥 + 𝑧)) → ∃𝑦𝐵 𝐶 = (𝑥 𝑦))
2019ex 448 . . . . 5 ((((𝐴S𝐵S ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑧𝐵) → (𝐶 = (𝑥 + 𝑧) → ∃𝑦𝐵 𝐶 = (𝑥 𝑦)))
2120rexlimdva 3177 . . . 4 (((𝐴S𝐵S ) ∧ 𝑥𝐴) → (∃𝑧𝐵 𝐶 = (𝑥 + 𝑧) → ∃𝑦𝐵 𝐶 = (𝑥 𝑦)))
22 id 22 . . . . . . . 8 (𝐶 = (𝑥 𝑦) → 𝐶 = (𝑥 𝑦))
23 shel 28409 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵S𝑦𝐵) → 𝑦 ∈ ℋ)
24 hvsubval 28214 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 𝑦) = (𝑥 + (-1 · 𝑦)))
253, 23, 24syl2an 496 . . . . . . . . . 10 (((𝐴S𝑥𝐴) ∧ (𝐵S𝑦𝐵)) → (𝑥 𝑦) = (𝑥 + (-1 · 𝑦)))
2625an4s 901 . . . . . . . . 9 (((𝐴S𝐵S ) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵)) → (𝑥 𝑦) = (𝑥 + (-1 · 𝑦)))
2726anassrs 680 . . . . . . . 8 ((((𝐴S𝐵S ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑥 𝑦) = (𝑥 + (-1 · 𝑦)))
2822, 27sylan9eqr 2825 . . . . . . 7 (((((𝐴S𝐵S ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝐶 = (𝑥 𝑦)) → 𝐶 = (𝑥 + (-1 · 𝑦)))
29 shmulcl 28416 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵S ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝐵) → (-1 · 𝑦) ∈ 𝐵)
3010, 29mp3an2 1558 . . . . . . . . . 10 ((𝐵S𝑦𝐵) → (-1 · 𝑦) ∈ 𝐵)
3130adantll 749 . . . . . . . . 9 (((𝐴S𝐵S ) ∧ 𝑦𝐵) → (-1 · 𝑦) ∈ 𝐵)
3231adantlr 750 . . . . . . . 8 ((((𝐴S𝐵S ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → (-1 · 𝑦) ∈ 𝐵)
33 oveq2 6799 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = (-1 · 𝑦) → (𝑥 + 𝑧) = (𝑥 + (-1 · 𝑦)))
3433eqeq2d 2779 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (-1 · 𝑦) → (𝐶 = (𝑥 + 𝑧) ↔ 𝐶 = (𝑥 + (-1 · 𝑦))))
3534rspcev 3457 . . . . . . . 8 (((-1 · 𝑦) ∈ 𝐵𝐶 = (𝑥 + (-1 · 𝑦))) → ∃𝑧𝐵 𝐶 = (𝑥 + 𝑧))
3632, 35sylan 490 . . . . . . 7 (((((𝐴S𝐵S ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝐶 = (𝑥 + (-1 · 𝑦))) → ∃𝑧𝐵 𝐶 = (𝑥 + 𝑧))
3728, 36syldan 489 . . . . . 6 (((((𝐴S𝐵S ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝐶 = (𝑥 𝑦)) → ∃𝑧𝐵 𝐶 = (𝑥 + 𝑧))
3837ex 448 . . . . 5 ((((𝐴S𝐵S ) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → (𝐶 = (𝑥 𝑦) → ∃𝑧𝐵 𝐶 = (𝑥 + 𝑧)))
3938rexlimdva 3177 . . . 4 (((𝐴S𝐵S ) ∧ 𝑥𝐴) → (∃𝑦𝐵 𝐶 = (𝑥 𝑦) → ∃𝑧𝐵 𝐶 = (𝑥 + 𝑧)))
4021, 39impbid 202 . . 3 (((𝐴S𝐵S ) ∧ 𝑥𝐴) → (∃𝑧𝐵 𝐶 = (𝑥 + 𝑧) ↔ ∃𝑦𝐵 𝐶 = (𝑥 𝑦)))
4140rexbidva 3195 . 2 ((𝐴S𝐵S ) → (∃𝑥𝐴𝑧𝐵 𝐶 = (𝑥 + 𝑧) ↔ ∃𝑥𝐴𝑦𝐵 𝐶 = (𝑥 𝑦)))
421, 41bitrd 268 1 ((𝐴S𝐵S ) → (𝐶 ∈ (𝐴 + 𝐵) ↔ ∃𝑥𝐴𝑦𝐵 𝐶 = (𝑥 𝑦)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1629  wcel 2143  wrex 3060  (class class class)co 6791  cc 10134  1c1 10137  -cneg 10467  chil 28117   + cva 28118   · csm 28119   cmv 28123   S csh 28126   + cph 28129
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1868  ax-4 1883  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2145  ax-9 2152  ax-10 2172  ax-11 2188  ax-12 2201  ax-13 2406  ax-ext 2749  ax-rep 4901  ax-sep 4911  ax-nul 4919  ax-pow 4970  ax-pr 5033  ax-un 7094  ax-resscn 10193  ax-1cn 10194  ax-icn 10195  ax-addcl 10196  ax-addrcl 10197  ax-mulcl 10198  ax-mulrcl 10199  ax-mulcom 10200  ax-addass 10201  ax-mulass 10202  ax-distr 10203  ax-i2m1 10204  ax-1ne0 10205  ax-1rid 10206  ax-rnegex 10207  ax-rrecex 10208  ax-cnre 10209  ax-pre-lttri 10210  ax-pre-lttrn 10211  ax-pre-ltadd 10212  ax-hilex 28197  ax-hfvadd 28198  ax-hvcom 28199  ax-hvass 28200  ax-hv0cl 28201  ax-hvaddid 28202  ax-hfvmul 28203  ax-hvmulid 28204  ax-hvmulass 28205  ax-hvdistr2 28207  ax-hvmul0 28208
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1632  df-ex 1851  df-nf 1856  df-sb 2048  df-eu 2620  df-mo 2621  df-clab 2756  df-cleq 2762  df-clel 2765  df-nfc 2900  df-ne 2942  df-nel 3045  df-ral 3064  df-rex 3065  df-reu 3066  df-rab 3068  df-v 3350  df-sbc 3585  df-csb 3680  df-dif 3723  df-un 3725  df-in 3727  df-ss 3734  df-nul 4061  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-op 4320  df-uni 4572  df-iun 4653  df-br 4784  df-opab 4844  df-mpt 4861  df-id 5156  df-po 5169  df-so 5170  df-xp 5254  df-rel 5255  df-cnv 5256  df-co 5257  df-dm 5258  df-rn 5259  df-res 5260  df-ima 5261  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6752  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-er 7894  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-pnf 10276  df-mnf 10277  df-ltxr 10279  df-sub 10468  df-neg 10469  df-grpo 27688  df-ablo 27740  df-hvsub 28169  df-sh 28405  df-shs 28508
This theorem is referenced by:  pjimai  29376
  Copyright terms: Public domain W3C validator