HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shscom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem shscom 28518
Description: Commutative law for subspace sum. (Contributed by NM, 15-Dec-2004.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
shscom ((𝐴S𝐵S ) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))

Proof of Theorem shscom
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 shel 28408 . . . . . . . . 9 ((𝐴S𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℋ)
2 shel 28408 . . . . . . . . 9 ((𝐵S𝑧𝐵) → 𝑧 ∈ ℋ)
31, 2anim12i 600 . . . . . . . 8 (((𝐴S𝑦𝐴) ∧ (𝐵S𝑧𝐵)) → (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ))
43an4s 639 . . . . . . 7 (((𝐴S𝐵S ) ∧ (𝑦𝐴𝑧𝐵)) → (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ))
5 ax-hvcom 28198 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑦 + 𝑧) = (𝑧 + 𝑦))
64, 5syl 17 . . . . . 6 (((𝐴S𝐵S ) ∧ (𝑦𝐴𝑧𝐵)) → (𝑦 + 𝑧) = (𝑧 + 𝑦))
76eqeq2d 2781 . . . . 5 (((𝐴S𝐵S ) ∧ (𝑦𝐴𝑧𝐵)) → (𝑥 = (𝑦 + 𝑧) ↔ 𝑥 = (𝑧 + 𝑦)))
872rexbidva 3204 . . . 4 ((𝐴S𝐵S ) → (∃𝑦𝐴𝑧𝐵 𝑥 = (𝑦 + 𝑧) ↔ ∃𝑦𝐴𝑧𝐵 𝑥 = (𝑧 + 𝑦)))
9 rexcom 3247 . . . 4 (∃𝑦𝐴𝑧𝐵 𝑥 = (𝑧 + 𝑦) ↔ ∃𝑧𝐵𝑦𝐴 𝑥 = (𝑧 + 𝑦))
108, 9syl6bb 276 . . 3 ((𝐴S𝐵S ) → (∃𝑦𝐴𝑧𝐵 𝑥 = (𝑦 + 𝑧) ↔ ∃𝑧𝐵𝑦𝐴 𝑥 = (𝑧 + 𝑦)))
11 shsel 28513 . . 3 ((𝐴S𝐵S ) → (𝑥 ∈ (𝐴 + 𝐵) ↔ ∃𝑦𝐴𝑧𝐵 𝑥 = (𝑦 + 𝑧)))
12 shsel 28513 . . . 4 ((𝐵S𝐴S ) → (𝑥 ∈ (𝐵 + 𝐴) ↔ ∃𝑧𝐵𝑦𝐴 𝑥 = (𝑧 + 𝑦)))
1312ancoms 455 . . 3 ((𝐴S𝐵S ) → (𝑥 ∈ (𝐵 + 𝐴) ↔ ∃𝑧𝐵𝑦𝐴 𝑥 = (𝑧 + 𝑦)))
1410, 11, 133bitr4d 300 . 2 ((𝐴S𝐵S ) → (𝑥 ∈ (𝐴 + 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ (𝐵 + 𝐴)))
1514eqrdv 2769 1 ((𝐴S𝐵S ) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wrex 3062  (class class class)co 6793  chil 28116   + cva 28117   S csh 28125   + cph 28128
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-hilex 28196  ax-hfvadd 28197  ax-hvcom 28198  ax-hvass 28199  ax-hv0cl 28200  ax-hvaddid 28201  ax-hfvmul 28202  ax-hvmulid 28203  ax-hvdistr2 28206  ax-hvmul0 28207
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-po 5170  df-so 5171  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-ltxr 10281  df-sub 10470  df-neg 10471  df-grpo 27687  df-ablo 27739  df-hvsub 28168  df-sh 28404  df-shs 28507
This theorem is referenced by:  shsel2  28521  shsub2  28524  shscomi  28562  pjpjpre  28618  chscllem1  28836  chscllem2  28837  chscllem3  28838  chscllem4  28839
  Copyright terms: Public domain W3C validator