HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shscli Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem shscli 28304
Description: Closure of subspace sum. (Contributed by NM, 15-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
shscl.1 𝐴S
shscl.2 𝐵S
Assertion
Ref Expression
shscli (𝐴 + 𝐵) ∈ S

Proof of Theorem shscli
Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 𝑧 𝑤 𝑔 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 shscl.1 . . . 4 𝐴S
2 shscl.2 . . . 4 𝐵S
3 shsss 28300 . . . 4 ((𝐴S𝐵S ) → (𝐴 + 𝐵) ⊆ ℋ)
41, 2, 3mp2an 708 . . 3 (𝐴 + 𝐵) ⊆ ℋ
5 sh0 28201 . . . . . 6 (𝐴S → 0𝐴)
61, 5ax-mp 5 . . . . 5 0𝐴
7 sh0 28201 . . . . . 6 (𝐵S → 0𝐵)
82, 7ax-mp 5 . . . . 5 0𝐵
9 ax-hv0cl 27988 . . . . . . 7 0 ∈ ℋ
109hvaddid2i 28014 . . . . . 6 (0 + 0) = 0
1110eqcomi 2660 . . . . 5 0 = (0 + 0)
12 rspceov 6732 . . . . 5 ((0𝐴 ∧ 0𝐵 ∧ 0 = (0 + 0)) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐵 0 = (𝑥 + 𝑦))
136, 8, 11, 12mp3an 1464 . . . 4 𝑥𝐴𝑦𝐵 0 = (𝑥 + 𝑦)
141, 2shseli 28303 . . . 4 (0 ∈ (𝐴 + 𝐵) ↔ ∃𝑥𝐴𝑦𝐵 0 = (𝑥 + 𝑦))
1513, 14mpbir 221 . . 3 0 ∈ (𝐴 + 𝐵)
164, 15pm3.2i 470 . 2 ((𝐴 + 𝐵) ⊆ ℋ ∧ 0 ∈ (𝐴 + 𝐵))
171, 2shseli 28303 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝐴 + 𝐵) ↔ ∃𝑧𝐴𝑤𝐵 𝑥 = (𝑧 + 𝑤))
181, 2shseli 28303 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵) ↔ ∃𝑣𝐴𝑢𝐵 𝑦 = (𝑣 + 𝑢))
19 shaddcl 28202 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴S𝑧𝐴𝑣𝐴) → (𝑧 + 𝑣) ∈ 𝐴)
201, 19mp3an1 1451 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧𝐴𝑣𝐴) → (𝑧 + 𝑣) ∈ 𝐴)
2120ad2ant2r 798 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑧𝐴𝑤𝐵) ∧ (𝑣𝐴𝑢𝐵)) → (𝑧 + 𝑣) ∈ 𝐴)
2221ad2ant2r 798 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑧𝐴𝑤𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑤)) ∧ ((𝑣𝐴𝑢𝐵) ∧ 𝑦 = (𝑣 + 𝑢))) → (𝑧 + 𝑣) ∈ 𝐴)
23 shaddcl 28202 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐵S𝑤𝐵𝑢𝐵) → (𝑤 + 𝑢) ∈ 𝐵)
242, 23mp3an1 1451 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑤𝐵𝑢𝐵) → (𝑤 + 𝑢) ∈ 𝐵)
2524ad2ant2l 797 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑧𝐴𝑤𝐵) ∧ (𝑣𝐴𝑢𝐵)) → (𝑤 + 𝑢) ∈ 𝐵)
2625ad2ant2r 798 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑧𝐴𝑤𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑤)) ∧ ((𝑣𝐴𝑢𝐵) ∧ 𝑦 = (𝑣 + 𝑢))) → (𝑤 + 𝑢) ∈ 𝐵)
27 oveq12 6699 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 = (𝑧 + 𝑤) ∧ 𝑦 = (𝑣 + 𝑢)) → (𝑥 + 𝑦) = ((𝑧 + 𝑤) + (𝑣 + 𝑢)))
2827ad2ant2l 797 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑧𝐴𝑤𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑤)) ∧ ((𝑣𝐴𝑢𝐵) ∧ 𝑦 = (𝑣 + 𝑢))) → (𝑥 + 𝑦) = ((𝑧 + 𝑤) + (𝑣 + 𝑢)))
291sheli 28199 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧𝐴𝑧 ∈ ℋ)
301sheli 28199 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑣𝐴𝑣 ∈ ℋ)
3129, 30anim12i 589 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑧𝐴𝑣𝐴) → (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ))
322sheli 28199 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤𝐵𝑤 ∈ ℋ)
332sheli 28199 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑢𝐵𝑢 ∈ ℋ)
3432, 33anim12i 589 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑤𝐵𝑢𝐵) → (𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ))
35 hvadd4 28021 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ) ∧ (𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ)) → ((𝑧 + 𝑣) + (𝑤 + 𝑢)) = ((𝑧 + 𝑤) + (𝑣 + 𝑢)))
3631, 34, 35syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑧𝐴𝑣𝐴) ∧ (𝑤𝐵𝑢𝐵)) → ((𝑧 + 𝑣) + (𝑤 + 𝑢)) = ((𝑧 + 𝑤) + (𝑣 + 𝑢)))
3736an4s 886 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑧𝐴𝑤𝐵) ∧ (𝑣𝐴𝑢𝐵)) → ((𝑧 + 𝑣) + (𝑤 + 𝑢)) = ((𝑧 + 𝑤) + (𝑣 + 𝑢)))
3837ad2ant2r 798 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑧𝐴𝑤𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑤)) ∧ ((𝑣𝐴𝑢𝐵) ∧ 𝑦 = (𝑣 + 𝑢))) → ((𝑧 + 𝑣) + (𝑤 + 𝑢)) = ((𝑧 + 𝑤) + (𝑣 + 𝑢)))
3928, 38eqtr4d 2688 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑧𝐴𝑤𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑤)) ∧ ((𝑣𝐴𝑢𝐵) ∧ 𝑦 = (𝑣 + 𝑢))) → (𝑥 + 𝑦) = ((𝑧 + 𝑣) + (𝑤 + 𝑢)))
40 rspceov 6732 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑧 + 𝑣) ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 + 𝑢) ∈ 𝐵 ∧ (𝑥 + 𝑦) = ((𝑧 + 𝑣) + (𝑤 + 𝑢))) → ∃𝑓𝐴𝑔𝐵 (𝑥 + 𝑦) = (𝑓 + 𝑔))
4122, 26, 39, 40syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑧𝐴𝑤𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑤)) ∧ ((𝑣𝐴𝑢𝐵) ∧ 𝑦 = (𝑣 + 𝑢))) → ∃𝑓𝐴𝑔𝐵 (𝑥 + 𝑦) = (𝑓 + 𝑔))
4241ancoms 468 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑣𝐴𝑢𝐵) ∧ 𝑦 = (𝑣 + 𝑢)) ∧ ((𝑧𝐴𝑤𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑤))) → ∃𝑓𝐴𝑔𝐵 (𝑥 + 𝑦) = (𝑓 + 𝑔))
4342exp43 639 . . . . . . . . . 10 ((𝑣𝐴𝑢𝐵) → (𝑦 = (𝑣 + 𝑢) → ((𝑧𝐴𝑤𝐵) → (𝑥 = (𝑧 + 𝑤) → ∃𝑓𝐴𝑔𝐵 (𝑥 + 𝑦) = (𝑓 + 𝑔)))))
4443rexlimivv 3065 . . . . . . . . 9 (∃𝑣𝐴𝑢𝐵 𝑦 = (𝑣 + 𝑢) → ((𝑧𝐴𝑤𝐵) → (𝑥 = (𝑧 + 𝑤) → ∃𝑓𝐴𝑔𝐵 (𝑥 + 𝑦) = (𝑓 + 𝑔))))
4544com3l 89 . . . . . . . 8 ((𝑧𝐴𝑤𝐵) → (𝑥 = (𝑧 + 𝑤) → (∃𝑣𝐴𝑢𝐵 𝑦 = (𝑣 + 𝑢) → ∃𝑓𝐴𝑔𝐵 (𝑥 + 𝑦) = (𝑓 + 𝑔))))
4645rexlimivv 3065 . . . . . . 7 (∃𝑧𝐴𝑤𝐵 𝑥 = (𝑧 + 𝑤) → (∃𝑣𝐴𝑢𝐵 𝑦 = (𝑣 + 𝑢) → ∃𝑓𝐴𝑔𝐵 (𝑥 + 𝑦) = (𝑓 + 𝑔)))
4746imp 444 . . . . . 6 ((∃𝑧𝐴𝑤𝐵 𝑥 = (𝑧 + 𝑤) ∧ ∃𝑣𝐴𝑢𝐵 𝑦 = (𝑣 + 𝑢)) → ∃𝑓𝐴𝑔𝐵 (𝑥 + 𝑦) = (𝑓 + 𝑔))
4817, 18, 47syl2anb 495 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (𝐴 + 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵)) → ∃𝑓𝐴𝑔𝐵 (𝑥 + 𝑦) = (𝑓 + 𝑔))
491, 2shseli 28303 . . . . 5 ((𝑥 + 𝑦) ∈ (𝐴 + 𝐵) ↔ ∃𝑓𝐴𝑔𝐵 (𝑥 + 𝑦) = (𝑓 + 𝑔))
5048, 49sylibr 224 . . . 4 ((𝑥 ∈ (𝐴 + 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (𝐴 + 𝐵))
5150rgen2a 3006 . . 3 𝑥 ∈ (𝐴 + 𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵)(𝑥 + 𝑦) ∈ (𝐴 + 𝐵)
52 shmulcl 28203 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴S𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑣𝐴) → (𝑥 · 𝑣) ∈ 𝐴)
531, 52mp3an1 1451 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑣𝐴) → (𝑥 · 𝑣) ∈ 𝐴)
5453adantrr 753 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑣𝐴 ∧ (𝑢𝐵𝑦 = (𝑣 + 𝑢)))) → (𝑥 · 𝑣) ∈ 𝐴)
55 shmulcl 28203 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵S𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑢𝐵) → (𝑥 · 𝑢) ∈ 𝐵)
562, 55mp3an1 1451 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑢𝐵) → (𝑥 · 𝑢) ∈ 𝐵)
5756adantrr 753 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑢𝐵𝑦 = (𝑣 + 𝑢))) → (𝑥 · 𝑢) ∈ 𝐵)
5857adantrl 752 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑣𝐴 ∧ (𝑢𝐵𝑦 = (𝑣 + 𝑢)))) → (𝑥 · 𝑢) ∈ 𝐵)
59 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (𝑣 + 𝑢) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑥 · (𝑣 + 𝑢)))
6059adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑢𝐵𝑦 = (𝑣 + 𝑢)) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑥 · (𝑣 + 𝑢)))
6160ad2antll 765 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑣𝐴 ∧ (𝑢𝐵𝑦 = (𝑣 + 𝑢)))) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑥 · (𝑣 + 𝑢)))
62 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℂ → 𝑥 ∈ ℂ)
63 ax-hvdistr1 27993 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → (𝑥 · (𝑣 + 𝑢)) = ((𝑥 · 𝑣) + (𝑥 · 𝑢)))
6462, 30, 33, 63syl3an 1408 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑣𝐴𝑢𝐵) → (𝑥 · (𝑣 + 𝑢)) = ((𝑥 · 𝑣) + (𝑥 · 𝑢)))
65643expb 1285 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑣𝐴𝑢𝐵)) → (𝑥 · (𝑣 + 𝑢)) = ((𝑥 · 𝑣) + (𝑥 · 𝑢)))
6665adantrrr 761 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑣𝐴 ∧ (𝑢𝐵𝑦 = (𝑣 + 𝑢)))) → (𝑥 · (𝑣 + 𝑢)) = ((𝑥 · 𝑣) + (𝑥 · 𝑢)))
6761, 66eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑣𝐴 ∧ (𝑢𝐵𝑦 = (𝑣 + 𝑢)))) → (𝑥 · 𝑦) = ((𝑥 · 𝑣) + (𝑥 · 𝑢)))
68 rspceov 6732 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 · 𝑣) ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 · 𝑢) ∈ 𝐵 ∧ (𝑥 · 𝑦) = ((𝑥 · 𝑣) + (𝑥 · 𝑢))) → ∃𝑓𝐴𝑔𝐵 (𝑥 · 𝑦) = (𝑓 + 𝑔))
6954, 58, 67, 68syl3anc 1366 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑣𝐴 ∧ (𝑢𝐵𝑦 = (𝑣 + 𝑢)))) → ∃𝑓𝐴𝑔𝐵 (𝑥 · 𝑦) = (𝑓 + 𝑔))
7069ancoms 468 . . . . . . . . . 10 (((𝑣𝐴 ∧ (𝑢𝐵𝑦 = (𝑣 + 𝑢))) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ∃𝑓𝐴𝑔𝐵 (𝑥 · 𝑦) = (𝑓 + 𝑔))
7170exp42 638 . . . . . . . . 9 (𝑣𝐴 → (𝑢𝐵 → (𝑦 = (𝑣 + 𝑢) → (𝑥 ∈ ℂ → ∃𝑓𝐴𝑔𝐵 (𝑥 · 𝑦) = (𝑓 + 𝑔)))))
7271imp 444 . . . . . . . 8 ((𝑣𝐴𝑢𝐵) → (𝑦 = (𝑣 + 𝑢) → (𝑥 ∈ ℂ → ∃𝑓𝐴𝑔𝐵 (𝑥 · 𝑦) = (𝑓 + 𝑔))))
7372rexlimivv 3065 . . . . . . 7 (∃𝑣𝐴𝑢𝐵 𝑦 = (𝑣 + 𝑢) → (𝑥 ∈ ℂ → ∃𝑓𝐴𝑔𝐵 (𝑥 · 𝑦) = (𝑓 + 𝑔)))
7473impcom 445 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑣𝐴𝑢𝐵 𝑦 = (𝑣 + 𝑢)) → ∃𝑓𝐴𝑔𝐵 (𝑥 · 𝑦) = (𝑓 + 𝑔))
7518, 74sylan2b 491 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵)) → ∃𝑓𝐴𝑔𝐵 (𝑥 · 𝑦) = (𝑓 + 𝑔))
761, 2shseli 28303 . . . . 5 ((𝑥 · 𝑦) ∈ (𝐴 + 𝐵) ↔ ∃𝑓𝐴𝑔𝐵 (𝑥 · 𝑦) = (𝑓 + 𝑔))
7775, 76sylibr 224 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (𝐴 + 𝐵))
7877rgen2 3004 . . 3 𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵)(𝑥 · 𝑦) ∈ (𝐴 + 𝐵)
7951, 78pm3.2i 470 . 2 (∀𝑥 ∈ (𝐴 + 𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵)(𝑥 + 𝑦) ∈ (𝐴 + 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵)(𝑥 · 𝑦) ∈ (𝐴 + 𝐵))
80 issh2 28194 . 2 ((𝐴 + 𝐵) ∈ S ↔ (((𝐴 + 𝐵) ⊆ ℋ ∧ 0 ∈ (𝐴 + 𝐵)) ∧ (∀𝑥 ∈ (𝐴 + 𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵)(𝑥 + 𝑦) ∈ (𝐴 + 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵)(𝑥 · 𝑦) ∈ (𝐴 + 𝐵))))
8116, 79, 80mpbir2an 975 1 (𝐴 + 𝐵) ∈ S
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  wrex 2942  wss 3607  (class class class)co 6690  cc 9972  chil 27904   + cva 27905   · csm 27906  0c0v 27909   S csh 27913   + cph 27916
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-hilex 27984  ax-hfvadd 27985  ax-hvcom 27986  ax-hvass 27987  ax-hv0cl 27988  ax-hvaddid 27989  ax-hfvmul 27990  ax-hvmulid 27991  ax-hvdistr1 27993  ax-hvdistr2 27994  ax-hvmul0 27995
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-ltxr 10117  df-sub 10306  df-neg 10307  df-grpo 27475  df-ablo 27527  df-hvsub 27956  df-sh 28192  df-shs 28295
This theorem is referenced by:  shscl  28305  shsval2i  28374  shjshsi  28479  spanuni  28531  5oalem1  28641  5oalem3  28643  5oalem5  28645  5oalem6  28646  5oai  28648  3oalem2  28650  3oalem6  28654  mayete3i  28715  sumdmdlem  29405
  Copyright terms: Public domain W3C validator