Theorem shscl 28517

Description: Closure of subspace sum. (Contributed by NM, 15-Dec-2004.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
shscl	⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐴 +ℋ 𝐵) ∈ Sℋ )

Proof of Theorem shscl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 6803	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ Sℋ , 𝐴, ℋ) → (𝐴 +ℋ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ Sℋ , 𝐴, ℋ) +ℋ 𝐵))
2	1	eleq1d 2835	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ Sℋ , 𝐴, ℋ) → ((𝐴 +ℋ 𝐵) ∈ Sℋ ↔ (if(𝐴 ∈ Sℋ , 𝐴, ℋ) +ℋ 𝐵) ∈ Sℋ ))
3		oveq2 6804	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ Sℋ , 𝐵, ℋ) → (if(𝐴 ∈ Sℋ , 𝐴, ℋ) +ℋ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ Sℋ , 𝐴, ℋ) +ℋ if(𝐵 ∈ Sℋ , 𝐵, ℋ)))
4	3	eleq1d 2835	. 2 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ Sℋ , 𝐵, ℋ) → ((if(𝐴 ∈ Sℋ , 𝐴, ℋ) +ℋ 𝐵) ∈ Sℋ ↔ (if(𝐴 ∈ Sℋ , 𝐴, ℋ) +ℋ if(𝐵 ∈ Sℋ , 𝐵, ℋ)) ∈ Sℋ ))
5		helsh 28442	. . . 4 ⊢ ℋ ∈ Sℋ
6	5	elimel 4290	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ Sℋ , 𝐴, ℋ) ∈ Sℋ
7	5	elimel 4290	. . 3 ⊢ if(𝐵 ∈ Sℋ , 𝐵, ℋ) ∈ Sℋ
8	6, 7	shscli 28516	. 2 ⊢ (if(𝐴 ∈ Sℋ , 𝐴, ℋ) +ℋ if(𝐵 ∈ Sℋ , 𝐵, ℋ)) ∈ Sℋ
9	2, 4, 8	dedth2h 4280	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐴 +ℋ 𝐵) ∈ Sℋ )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  ifcif 4226  (class class class)co 6796   ℋchil 28116   S_ℋ csh 28125   +_ℋ cph 28128

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-hilex 28196  ax-hfvadd 28197  ax-hvcom 28198  ax-hvass 28199  ax-hv0cl 28200  ax-hvaddid 28201  ax-hfvmul 28202  ax-hvmulid 28203  ax-hvdistr1 28205  ax-hvdistr2 28206  ax-hvmul0 28207

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7900  df-map 8015  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-ltxr 10285  df-sub 10474  df-neg 10475  df-nn 11227  df-grpo 27687  df-ablo 27739  df-hvsub 28168  df-hlim 28169  df-sh 28404  df-ch 28418  df-shs 28507

This theorem is referenced by:  shsvs  28522  spanpr  28779  chscllem2  28837  chscl  28840