Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shmodsi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem shmodsi 28376
 Description: The modular law holds for subspace sum. Similar to part of Theorem 16.9 of [MaedaMaeda] p. 70. (Contributed by NM, 23-Nov-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
shmod.1 𝐴S
shmod.2 𝐵S
shmod.3 𝐶S
Assertion
Ref Expression
shmodsi (𝐴𝐶 → ((𝐴 + 𝐵) ∩ 𝐶) ⊆ (𝐴 + (𝐵𝐶)))

Proof of Theorem shmodsi
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elin 3829 . . 3 (𝑧 ∈ ((𝐴 + 𝐵) ∩ 𝐶) ↔ (𝑧 ∈ (𝐴 + 𝐵) ∧ 𝑧𝐶))
2 shmod.1 . . . . . . 7 𝐴S
3 shmod.2 . . . . . . 7 𝐵S
42, 3shseli 28303 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (𝐴 + 𝐵) ↔ ∃𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑧 = (𝑥 + 𝑦))
5 shmod.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐶S
65sheli 28199 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧𝐶𝑧 ∈ ℋ)
72sheli 28199 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝐴𝑥 ∈ ℋ)
83sheli 28199 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦𝐵𝑦 ∈ ℋ)
9 hvsubadd 28062 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑧 𝑥) = 𝑦 ↔ (𝑥 + 𝑦) = 𝑧))
106, 7, 8, 9syl3an 1408 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧𝐶𝑥𝐴𝑦𝐵) → ((𝑧 𝑥) = 𝑦 ↔ (𝑥 + 𝑦) = 𝑧))
11 eqcom 2658 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 + 𝑦) = 𝑧𝑧 = (𝑥 + 𝑦))
1210, 11syl6bb 276 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧𝐶𝑥𝐴𝑦𝐵) → ((𝑧 𝑥) = 𝑦𝑧 = (𝑥 + 𝑦)))
13123expb 1285 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧𝐶 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵)) → ((𝑧 𝑥) = 𝑦𝑧 = (𝑥 + 𝑦)))
145, 2shsvsi 28354 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑧𝐶𝑥𝐴) → (𝑧 𝑥) ∈ (𝐶 + 𝐴))
155, 2shscomi 28350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐶 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐶)
1614, 15syl6eleq 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑧𝐶𝑥𝐴) → (𝑧 𝑥) ∈ (𝐴 + 𝐶))
172, 5shlesb1i 28373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐴𝐶 ↔ (𝐴 + 𝐶) = 𝐶)
1817biimpi 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐴𝐶 → (𝐴 + 𝐶) = 𝐶)
1918eleq2d 2716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴𝐶 → ((𝑧 𝑥) ∈ (𝐴 + 𝐶) ↔ (𝑧 𝑥) ∈ 𝐶))
2016, 19syl5ib 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴𝐶 → ((𝑧𝐶𝑥𝐴) → (𝑧 𝑥) ∈ 𝐶))
21 eleq1 2718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑧 𝑥) = 𝑦 → ((𝑧 𝑥) ∈ 𝐶𝑦𝐶))
2221biimpd 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧 𝑥) = 𝑦 → ((𝑧 𝑥) ∈ 𝐶𝑦𝐶))
2320, 22sylan9 690 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴𝐶 ∧ (𝑧 𝑥) = 𝑦) → ((𝑧𝐶𝑥𝐴) → 𝑦𝐶))
2423anim2d 588 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴𝐶 ∧ (𝑧 𝑥) = 𝑦) → ((𝑦𝐵 ∧ (𝑧𝐶𝑥𝐴)) → (𝑦𝐵𝑦𝐶)))
25 elin 3829 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ (𝐵𝐶) ↔ (𝑦𝐵𝑦𝐶))
2624, 25syl6ibr 242 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴𝐶 ∧ (𝑧 𝑥) = 𝑦) → ((𝑦𝐵 ∧ (𝑧𝐶𝑥𝐴)) → 𝑦 ∈ (𝐵𝐶)))
2726ex 449 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴𝐶 → ((𝑧 𝑥) = 𝑦 → ((𝑦𝐵 ∧ (𝑧𝐶𝑥𝐴)) → 𝑦 ∈ (𝐵𝐶))))
2827com13 88 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦𝐵 ∧ (𝑧𝐶𝑥𝐴)) → ((𝑧 𝑥) = 𝑦 → (𝐴𝐶𝑦 ∈ (𝐵𝐶))))
2928ancoms 468 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑧𝐶𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → ((𝑧 𝑥) = 𝑦 → (𝐴𝐶𝑦 ∈ (𝐵𝐶))))
3029anasss 680 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧𝐶 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵)) → ((𝑧 𝑥) = 𝑦 → (𝐴𝐶𝑦 ∈ (𝐵𝐶))))
3113, 30sylbird 250 . . . . . . . . . 10 ((𝑧𝐶 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵)) → (𝑧 = (𝑥 + 𝑦) → (𝐴𝐶𝑦 ∈ (𝐵𝐶))))
3231imp 444 . . . . . . . . 9 (((𝑧𝐶 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵)) ∧ 𝑧 = (𝑥 + 𝑦)) → (𝐴𝐶𝑦 ∈ (𝐵𝐶)))
333, 5shincli 28349 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵𝐶) ∈ S
342, 33shsvai 28351 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥𝐴𝑦 ∈ (𝐵𝐶)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (𝐴 + (𝐵𝐶)))
35 eleq1 2718 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = (𝑥 + 𝑦) → (𝑧 ∈ (𝐴 + (𝐵𝐶)) ↔ (𝑥 + 𝑦) ∈ (𝐴 + (𝐵𝐶))))
3634, 35syl5ibr 236 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = (𝑥 + 𝑦) → ((𝑥𝐴𝑦 ∈ (𝐵𝐶)) → 𝑧 ∈ (𝐴 + (𝐵𝐶))))
3736expd 451 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = (𝑥 + 𝑦) → (𝑥𝐴 → (𝑦 ∈ (𝐵𝐶) → 𝑧 ∈ (𝐴 + (𝐵𝐶)))))
3837com12 32 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐴 → (𝑧 = (𝑥 + 𝑦) → (𝑦 ∈ (𝐵𝐶) → 𝑧 ∈ (𝐴 + (𝐵𝐶)))))
3938ad2antrl 764 . . . . . . . . . 10 ((𝑧𝐶 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵)) → (𝑧 = (𝑥 + 𝑦) → (𝑦 ∈ (𝐵𝐶) → 𝑧 ∈ (𝐴 + (𝐵𝐶)))))
4039imp 444 . . . . . . . . 9 (((𝑧𝐶 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵)) ∧ 𝑧 = (𝑥 + 𝑦)) → (𝑦 ∈ (𝐵𝐶) → 𝑧 ∈ (𝐴 + (𝐵𝐶))))
4132, 40syld 47 . . . . . . . 8 (((𝑧𝐶 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵)) ∧ 𝑧 = (𝑥 + 𝑦)) → (𝐴𝐶𝑧 ∈ (𝐴 + (𝐵𝐶))))
4241exp31 629 . . . . . . 7 (𝑧𝐶 → ((𝑥𝐴𝑦𝐵) → (𝑧 = (𝑥 + 𝑦) → (𝐴𝐶𝑧 ∈ (𝐴 + (𝐵𝐶))))))
4342rexlimdvv 3066 . . . . . 6 (𝑧𝐶 → (∃𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑧 = (𝑥 + 𝑦) → (𝐴𝐶𝑧 ∈ (𝐴 + (𝐵𝐶)))))
444, 43syl5bi 232 . . . . 5 (𝑧𝐶 → (𝑧 ∈ (𝐴 + 𝐵) → (𝐴𝐶𝑧 ∈ (𝐴 + (𝐵𝐶)))))
4544com13 88 . . . 4 (𝐴𝐶 → (𝑧 ∈ (𝐴 + 𝐵) → (𝑧𝐶𝑧 ∈ (𝐴 + (𝐵𝐶)))))
4645impd 446 . . 3 (𝐴𝐶 → ((𝑧 ∈ (𝐴 + 𝐵) ∧ 𝑧𝐶) → 𝑧 ∈ (𝐴 + (𝐵𝐶))))
471, 46syl5bi 232 . 2 (𝐴𝐶 → (𝑧 ∈ ((𝐴 + 𝐵) ∩ 𝐶) → 𝑧 ∈ (𝐴 + (𝐵𝐶))))
4847ssrdv 3642 1 (𝐴𝐶 → ((𝐴 + 𝐵) ∩ 𝐶) ⊆ (𝐴 + (𝐵𝐶)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ∃wrex 2942   ∩ cin 3606   ⊆ wss 3607  (class class class)co 6690   ℋchil 27904   +ℎ cva 27905   −ℎ cmv 27910   Sℋ csh 27913   +ℋ cph 27916 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-hilex 27984  ax-hfvadd 27985  ax-hvcom 27986  ax-hvass 27987  ax-hv0cl 27988  ax-hvaddid 27989  ax-hfvmul 27990  ax-hvmulid 27991  ax-hvdistr1 27993  ax-hvdistr2 27994  ax-hvmul0 27995 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-ltxr 10117  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-grpo 27475  df-ablo 27527  df-hvsub 27956  df-hlim 27957  df-sh 28192  df-ch 28206  df-shs 28295 This theorem is referenced by:  shmodi  28377
 Copyright terms: Public domain W3C validator