MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  shftmbl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem shftmbl 23352
Description: A shift of a measurable set is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
shftmbl ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝐵) ∈ 𝐴} ∈ dom vol)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem shftmbl
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3720 . . 3 {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝐵) ∈ 𝐴} ⊆ ℝ
21a1i 11 . 2 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝐵) ∈ 𝐴} ⊆ ℝ)
3 elpwi 4201 . . . 4 (𝑦 ∈ 𝒫 ℝ → 𝑦 ⊆ ℝ)
4 simpll 805 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑦) ∈ ℝ)) → 𝐴 ∈ dom vol)
5 ssrab2 3720 . . . . . . . 8 {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦} ⊆ ℝ
65a1i 11 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑦) ∈ ℝ)) → {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦} ⊆ ℝ)
7 simprl 809 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑦) ∈ ℝ)) → 𝑦 ⊆ ℝ)
8 simplr 807 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑦) ∈ ℝ)) → 𝐵 ∈ ℝ)
98renegcld 10495 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑦) ∈ ℝ)) → -𝐵 ∈ ℝ)
10 eqidd 2652 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑦) ∈ ℝ)) → {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦} = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦})
117, 9, 10ovolshft 23325 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑦) ∈ ℝ)) → (vol*‘𝑦) = (vol*‘{𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦}))
12 simprr 811 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑦) ∈ ℝ)) → (vol*‘𝑦) ∈ ℝ)
1311, 12eqeltrrd 2731 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑦) ∈ ℝ)) → (vol*‘{𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦}) ∈ ℝ)
14 mblsplit 23346 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦} ⊆ ℝ ∧ (vol*‘{𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦}) ∈ ℝ) → (vol*‘{𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦}) = ((vol*‘({𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦} ∩ 𝐴)) + (vol*‘({𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦} ∖ 𝐴))))
154, 6, 13, 14syl3anc 1366 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑦) ∈ ℝ)) → (vol*‘{𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦}) = ((vol*‘({𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦} ∩ 𝐴)) + (vol*‘({𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦} ∖ 𝐴))))
16 inss1 3866 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝐵) ∈ 𝐴}) ⊆ 𝑦
1716, 7syl5ss 3647 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑦) ∈ ℝ)) → (𝑦 ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝐵) ∈ 𝐴}) ⊆ ℝ)
18 mblss 23345 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
194, 18syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑦) ∈ ℝ)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
20 eqidd 2652 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑦) ∈ ℝ)) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝐵) ∈ 𝐴} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝐵) ∈ 𝐴})
2119, 8, 20shft2rab 23322 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑦) ∈ ℝ)) → 𝐴 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝐵) ∈ 𝐴}})
2221ineq2d 3847 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑦) ∈ ℝ)) → ({𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦} ∩ 𝐴) = ({𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦} ∩ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝐵) ∈ 𝐴}}))
23 inrab 3932 . . . . . . . . . 10 ({𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦} ∩ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝐵) ∈ 𝐴}}) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ ((𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦 ∧ (𝑧 − -𝐵) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝐵) ∈ 𝐴})}
24 elin 3829 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 − -𝐵) ∈ (𝑦 ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝐵) ∈ 𝐴}) ↔ ((𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦 ∧ (𝑧 − -𝐵) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝐵) ∈ 𝐴}))
2524rabbii 3216 . . . . . . . . . 10 {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ (𝑦 ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝐵) ∈ 𝐴})} = {𝑧 ∈ ℝ ∣ ((𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦 ∧ (𝑧 − -𝐵) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝐵) ∈ 𝐴})}
2623, 25eqtr4i 2676 . . . . . . . . 9 ({𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦} ∩ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝐵) ∈ 𝐴}}) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ (𝑦 ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝐵) ∈ 𝐴})}
2722, 26syl6eq 2701 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑦) ∈ ℝ)) → ({𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦} ∩ 𝐴) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ (𝑦 ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝐵) ∈ 𝐴})})
2817, 9, 27ovolshft 23325 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑦) ∈ ℝ)) → (vol*‘(𝑦 ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝐵) ∈ 𝐴})) = (vol*‘({𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦} ∩ 𝐴)))
297ssdifssd 3781 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑦) ∈ ℝ)) → (𝑦 ∖ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝐵) ∈ 𝐴}) ⊆ ℝ)
3021difeq2d 3761 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑦) ∈ ℝ)) → ({𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦} ∖ 𝐴) = ({𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦} ∖ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝐵) ∈ 𝐴}}))
31 difrab 3934 . . . . . . . . . 10 ({𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦} ∖ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝐵) ∈ 𝐴}}) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ ((𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦 ∧ ¬ (𝑧 − -𝐵) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝐵) ∈ 𝐴})}
32 eldif 3617 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 − -𝐵) ∈ (𝑦 ∖ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝐵) ∈ 𝐴}) ↔ ((𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦 ∧ ¬ (𝑧 − -𝐵) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝐵) ∈ 𝐴}))
3332rabbii 3216 . . . . . . . . . 10 {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ (𝑦 ∖ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝐵) ∈ 𝐴})} = {𝑧 ∈ ℝ ∣ ((𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦 ∧ ¬ (𝑧 − -𝐵) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝐵) ∈ 𝐴})}
3431, 33eqtr4i 2676 . . . . . . . . 9 ({𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦} ∖ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝐵) ∈ 𝐴}}) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ (𝑦 ∖ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝐵) ∈ 𝐴})}
3530, 34syl6eq 2701 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑦) ∈ ℝ)) → ({𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦} ∖ 𝐴) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ (𝑦 ∖ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝐵) ∈ 𝐴})})
3629, 9, 35ovolshft 23325 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑦) ∈ ℝ)) → (vol*‘(𝑦 ∖ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝐵) ∈ 𝐴})) = (vol*‘({𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦} ∖ 𝐴)))
3728, 36oveq12d 6708 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑦) ∈ ℝ)) → ((vol*‘(𝑦 ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝐵) ∈ 𝐴})) + (vol*‘(𝑦 ∖ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝐵) ∈ 𝐴}))) = ((vol*‘({𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦} ∩ 𝐴)) + (vol*‘({𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 − -𝐵) ∈ 𝑦} ∖ 𝐴))))
3815, 11, 373eqtr4d 2695 . . . . 5 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑦) ∈ ℝ)) → (vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦 ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝐵) ∈ 𝐴})) + (vol*‘(𝑦 ∖ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝐵) ∈ 𝐴}))))
3938expr 642 . . . 4 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ⊆ ℝ) → ((vol*‘𝑦) ∈ ℝ → (vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦 ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝐵) ∈ 𝐴})) + (vol*‘(𝑦 ∖ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝐵) ∈ 𝐴})))))
403, 39sylan2 490 . . 3 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → ((vol*‘𝑦) ∈ ℝ → (vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦 ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝐵) ∈ 𝐴})) + (vol*‘(𝑦 ∖ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝐵) ∈ 𝐴})))))
4140ralrimiva 2995 . 2 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ((vol*‘𝑦) ∈ ℝ → (vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦 ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝐵) ∈ 𝐴})) + (vol*‘(𝑦 ∖ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝐵) ∈ 𝐴})))))
42 ismbl 23340 . 2 ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝐵) ∈ 𝐴} ∈ dom vol ↔ ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝐵) ∈ 𝐴} ⊆ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ((vol*‘𝑦) ∈ ℝ → (vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦 ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝐵) ∈ 𝐴})) + (vol*‘(𝑦 ∖ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝐵) ∈ 𝐴}))))))
432, 41, 42sylanbrc 699 1 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝐵) ∈ 𝐴} ∈ dom vol)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  {crab 2945  cdif 3604  cin 3606  wss 3607  𝒫 cpw 4191  dom cdm 5143  cfv 5926  (class class class)co 6690  cr 9973   + caddc 9977  cmin 10304  -cneg 10305  vol*covol 23277  volcvol 23278
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-ioo 12217  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-ovol 23279  df-vol 23280
This theorem is referenced by:  vitalilem4  23425  vitalilem5  23426
  Copyright terms: Public domain W3C validator