Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  shft2rab Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem shft2rab 23496
 Description: If 𝐵 is a shift of 𝐴 by 𝐶, then 𝐴 is a shift of 𝐵 by -𝐶. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ovolshft.1 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
ovolshft.2 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
ovolshft.3 (𝜑𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝐶) ∈ 𝐴})
Assertion
Ref Expression
shft2rab (𝜑𝐴 = {𝑦 ∈ ℝ ∣ (𝑦 − -𝐶) ∈ 𝐵})
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐶,𝑦   𝑦,𝐵   𝜑,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem shft2rab
StepHypRef Expression
1 ovolshft.1 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
21sseld 3751 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦𝐴𝑦 ∈ ℝ))
32pm4.71rd 552 . . . 4 (𝜑 → (𝑦𝐴 ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝐴)))
4 recn 10232 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
5 ovolshft.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
65recnd 10274 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
7 subneg 10536 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝑦 − -𝐶) = (𝑦 + 𝐶))
84, 6, 7syl2anr 584 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 − -𝐶) = (𝑦 + 𝐶))
9 ovolshft.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝐶) ∈ 𝐴})
109adantr 466 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝐶) ∈ 𝐴})
118, 10eleq12d 2844 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑦 − -𝐶) ∈ 𝐵 ↔ (𝑦 + 𝐶) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝐶) ∈ 𝐴}))
12 id 22 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℝ)
13 readdcl 10225 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑦 + 𝐶) ∈ ℝ)
1412, 5, 13syl2anr 584 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 + 𝐶) ∈ ℝ)
15 oveq1 6803 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑦 + 𝐶) → (𝑥𝐶) = ((𝑦 + 𝐶) − 𝐶))
1615eleq1d 2835 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑦 + 𝐶) → ((𝑥𝐶) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑦 + 𝐶) − 𝐶) ∈ 𝐴))
1716elrab3 3516 . . . . . . 7 ((𝑦 + 𝐶) ∈ ℝ → ((𝑦 + 𝐶) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝐶) ∈ 𝐴} ↔ ((𝑦 + 𝐶) − 𝐶) ∈ 𝐴))
1814, 17syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑦 + 𝐶) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝐶) ∈ 𝐴} ↔ ((𝑦 + 𝐶) − 𝐶) ∈ 𝐴))
19 pncan 10493 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝑦 + 𝐶) − 𝐶) = 𝑦)
204, 6, 19syl2anr 584 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑦 + 𝐶) − 𝐶) = 𝑦)
2120eleq1d 2835 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑦 + 𝐶) − 𝐶) ∈ 𝐴𝑦𝐴))
2211, 18, 213bitrd 294 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑦 − -𝐶) ∈ 𝐵𝑦𝐴))
2322pm5.32da 568 . . . 4 (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑦 − -𝐶) ∈ 𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝐴)))
243, 23bitr4d 271 . . 3 (𝜑 → (𝑦𝐴 ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑦 − -𝐶) ∈ 𝐵)))
2524abbi2dv 2891 . 2 (𝜑𝐴 = {𝑦 ∣ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑦 − -𝐶) ∈ 𝐵)})
26 df-rab 3070 . 2 {𝑦 ∈ ℝ ∣ (𝑦 − -𝐶) ∈ 𝐵} = {𝑦 ∣ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑦 − -𝐶) ∈ 𝐵)}
2725, 26syl6eqr 2823 1 (𝜑𝐴 = {𝑦 ∈ ℝ ∣ (𝑦 − -𝐶) ∈ 𝐵})
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  {cab 2757  {crab 3065   ⊆ wss 3723  (class class class)co 6796  ℂcc 10140  ℝcr 10141   + caddc 10145   − cmin 10472  -cneg 10473 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-id 5158  df-po 5171  df-so 5172  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-ltxr 10285  df-sub 10474  df-neg 10475 This theorem is referenced by:  ovolshft  23499  shftmbl  23526
 Copyright terms: Public domain W3C validator