Users' Mathboxes Mathbox for Saveliy Skresanov < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sharhght Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sharhght 41556
Description: Let 𝐴𝐵𝐶 be a triangle, and let 𝐷 lie on the line 𝐴𝐵. Then (doubled) areas of triangles 𝐴𝐷𝐶 and 𝐶𝐷𝐵 relate as lengths of corresponding bases 𝐴𝐷 and 𝐷𝐵. (Contributed by Saveliy Skresanov, 23-Sep-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
sharhght.sigar 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘((∗‘𝑥) · 𝑦)))
sharhght.a (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
sharhght.b (𝜑 → (𝐷 ∈ ℂ ∧ ((𝐴𝐷)𝐺(𝐵𝐷)) = 0))
Assertion
Ref Expression
sharhght (𝜑 → (((𝐶𝐴)𝐺(𝐷𝐴)) · (𝐵𝐷)) = (((𝐶𝐵)𝐺(𝐷𝐵)) · (𝐴𝐷)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem sharhght
StepHypRef Expression
1 sharhght.a . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
21simp3d 1139 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
31simp1d 1137 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
42, 3subcld 10580 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶𝐴) ∈ ℂ)
54adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 = 𝐷) → (𝐶𝐴) ∈ ℂ)
6 sharhght.b . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐷 ∈ ℂ ∧ ((𝐴𝐷)𝐺(𝐵𝐷)) = 0))
76simpld 477 . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
87, 3subcld 10580 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐷𝐴) ∈ ℂ)
98adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 = 𝐷) → (𝐷𝐴) ∈ ℂ)
10 sharhght.sigar . . . . . . 7 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘((∗‘𝑥) · 𝑦)))
1110sigarim 41542 . . . . . 6 (((𝐶𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝐷𝐴) ∈ ℂ) → ((𝐶𝐴)𝐺(𝐷𝐴)) ∈ ℝ)
125, 9, 11syl2anc 696 . . . . 5 ((𝜑𝐵 = 𝐷) → ((𝐶𝐴)𝐺(𝐷𝐴)) ∈ ℝ)
1312recnd 10256 . . . 4 ((𝜑𝐵 = 𝐷) → ((𝐶𝐴)𝐺(𝐷𝐴)) ∈ ℂ)
1413mul01d 10423 . . 3 ((𝜑𝐵 = 𝐷) → (((𝐶𝐴)𝐺(𝐷𝐴)) · 0) = 0)
151simp2d 1138 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
1615adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝐵 = 𝐷) → 𝐵 ∈ ℂ)
17 simpr 479 . . . . 5 ((𝜑𝐵 = 𝐷) → 𝐵 = 𝐷)
1816, 17subeq0bd 10644 . . . 4 ((𝜑𝐵 = 𝐷) → (𝐵𝐷) = 0)
1918oveq2d 6825 . . 3 ((𝜑𝐵 = 𝐷) → (((𝐶𝐴)𝐺(𝐷𝐴)) · (𝐵𝐷)) = (((𝐶𝐴)𝐺(𝐷𝐴)) · 0))
202, 15subcld 10580 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐶𝐵) ∈ ℂ)
2120adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 = 𝐷) → (𝐶𝐵) ∈ ℂ)
227, 15subcld 10580 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐷𝐵) ∈ ℂ)
2322adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 = 𝐷) → (𝐷𝐵) ∈ ℂ)
2410sigarval 41541 . . . . . . 7 (((𝐶𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐷𝐵) ∈ ℂ) → ((𝐶𝐵)𝐺(𝐷𝐵)) = (ℑ‘((∗‘(𝐶𝐵)) · (𝐷𝐵))))
2521, 23, 24syl2anc 696 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 = 𝐷) → ((𝐶𝐵)𝐺(𝐷𝐵)) = (ℑ‘((∗‘(𝐶𝐵)) · (𝐷𝐵))))
267adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐵 = 𝐷) → 𝐷 ∈ ℂ)
2717eqcomd 2762 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐵 = 𝐷) → 𝐷 = 𝐵)
2826, 27subeq0bd 10644 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐵 = 𝐷) → (𝐷𝐵) = 0)
2928oveq2d 6825 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐵 = 𝐷) → ((∗‘(𝐶𝐵)) · (𝐷𝐵)) = ((∗‘(𝐶𝐵)) · 0))
3021cjcld 14131 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐵 = 𝐷) → (∗‘(𝐶𝐵)) ∈ ℂ)
3130mul01d 10423 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐵 = 𝐷) → ((∗‘(𝐶𝐵)) · 0) = 0)
3229, 31eqtrd 2790 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 = 𝐷) → ((∗‘(𝐶𝐵)) · (𝐷𝐵)) = 0)
3332fveq2d 6352 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 = 𝐷) → (ℑ‘((∗‘(𝐶𝐵)) · (𝐷𝐵))) = (ℑ‘0))
34 0red 10229 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 = 𝐷) → 0 ∈ ℝ)
3534reim0d 14160 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 = 𝐷) → (ℑ‘0) = 0)
3625, 33, 353eqtrd 2794 . . . . 5 ((𝜑𝐵 = 𝐷) → ((𝐶𝐵)𝐺(𝐷𝐵)) = 0)
3736oveq1d 6824 . . . 4 ((𝜑𝐵 = 𝐷) → (((𝐶𝐵)𝐺(𝐷𝐵)) · (𝐴𝐷)) = (0 · (𝐴𝐷)))
383adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 = 𝐷) → 𝐴 ∈ ℂ)
3938, 26subcld 10580 . . . . 5 ((𝜑𝐵 = 𝐷) → (𝐴𝐷) ∈ ℂ)
4039mul02d 10422 . . . 4 ((𝜑𝐵 = 𝐷) → (0 · (𝐴𝐷)) = 0)
4137, 40eqtrd 2790 . . 3 ((𝜑𝐵 = 𝐷) → (((𝐶𝐵)𝐺(𝐷𝐵)) · (𝐴𝐷)) = 0)
4214, 19, 413eqtr4d 2800 . 2 ((𝜑𝐵 = 𝐷) → (((𝐶𝐴)𝐺(𝐷𝐴)) · (𝐵𝐷)) = (((𝐶𝐵)𝐺(𝐷𝐵)) · (𝐴𝐷)))
432adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → 𝐶 ∈ ℂ)
4415adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → 𝐵 ∈ ℂ)
453adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → 𝐴 ∈ ℂ)
4643, 44, 45npncand 10604 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐶𝐵) + (𝐵𝐴)) = (𝐶𝐴))
4746oveq1d 6824 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (((𝐶𝐵) + (𝐵𝐴))𝐺(𝐷𝐴)) = ((𝐶𝐴)𝐺(𝐷𝐴)))
4843, 44subcld 10580 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (𝐶𝐵) ∈ ℂ)
498adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (𝐷𝐴) ∈ ℂ)
5044, 45subcld 10580 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (𝐵𝐴) ∈ ℂ)
5110sigaraf 41544 . . . . . . . 8 (((𝐶𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐷𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝐴) ∈ ℂ) → (((𝐶𝐵) + (𝐵𝐴))𝐺(𝐷𝐴)) = (((𝐶𝐵)𝐺(𝐷𝐴)) + ((𝐵𝐴)𝐺(𝐷𝐴))))
5248, 49, 50, 51syl3anc 1477 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (((𝐶𝐵) + (𝐵𝐴))𝐺(𝐷𝐴)) = (((𝐶𝐵)𝐺(𝐷𝐴)) + ((𝐵𝐴)𝐺(𝐷𝐴))))
5347, 52eqtr3d 2792 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐶𝐴)𝐺(𝐷𝐴)) = (((𝐶𝐵)𝐺(𝐷𝐴)) + ((𝐵𝐴)𝐺(𝐷𝐴))))
546simprd 482 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴𝐷)𝐺(𝐵𝐷)) = 0)
5554adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐴𝐷)𝐺(𝐵𝐷)) = 0)
567adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → 𝐷 ∈ ℂ)
5710sigarperm 41551 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐷)𝐺(𝐵𝐷)) = ((𝐵𝐴)𝐺(𝐷𝐴)))
5845, 44, 56, 57syl3anc 1477 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐴𝐷)𝐺(𝐵𝐷)) = ((𝐵𝐴)𝐺(𝐷𝐴)))
5955, 58eqtr3d 2792 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → 0 = ((𝐵𝐴)𝐺(𝐷𝐴)))
6059oveq2d 6825 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (((𝐶𝐵)𝐺(𝐷𝐴)) + 0) = (((𝐶𝐵)𝐺(𝐷𝐴)) + ((𝐵𝐴)𝐺(𝐷𝐴))))
6110sigarim 41542 . . . . . . . . 9 (((𝐶𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐷𝐴) ∈ ℂ) → ((𝐶𝐵)𝐺(𝐷𝐴)) ∈ ℝ)
6248, 49, 61syl2anc 696 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐶𝐵)𝐺(𝐷𝐴)) ∈ ℝ)
6362recnd 10256 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐶𝐵)𝐺(𝐷𝐴)) ∈ ℂ)
6463addid1d 10424 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (((𝐶𝐵)𝐺(𝐷𝐴)) + 0) = ((𝐶𝐵)𝐺(𝐷𝐴)))
6553, 60, 643eqtr2d 2796 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐶𝐴)𝐺(𝐷𝐴)) = ((𝐶𝐵)𝐺(𝐷𝐴)))
6644, 56negsubdi2d 10596 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → -(𝐵𝐷) = (𝐷𝐵))
6766eqcomd 2762 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (𝐷𝐵) = -(𝐵𝐷))
6867oveq1d 6824 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐷𝐵) / (𝐵𝐷)) = (-(𝐵𝐷) / (𝐵𝐷)))
6944, 56subcld 10580 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (𝐵𝐷) ∈ ℂ)
70 simpr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → ¬ 𝐵 = 𝐷)
7170neqned 2935 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → 𝐵𝐷)
7244, 56, 71subne0d 10589 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (𝐵𝐷) ≠ 0)
7369, 69, 72divnegd 11002 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → -((𝐵𝐷) / (𝐵𝐷)) = (-(𝐵𝐷) / (𝐵𝐷)))
7469, 72dividd 10987 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐵𝐷) / (𝐵𝐷)) = 1)
7574negeqd 10463 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → -((𝐵𝐷) / (𝐵𝐷)) = -1)
7668, 73, 753eqtr2d 2796 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐷𝐵) / (𝐵𝐷)) = -1)
7776oveq1d 6824 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (((𝐷𝐵) / (𝐵𝐷)) · (𝐴𝐷)) = (-1 · (𝐴𝐷)))
7845, 56subcld 10580 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (𝐴𝐷) ∈ ℂ)
7978mulm1d 10670 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (-1 · (𝐴𝐷)) = -(𝐴𝐷))
8045, 56negsubdi2d 10596 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → -(𝐴𝐷) = (𝐷𝐴))
8177, 79, 803eqtrd 2794 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (((𝐷𝐵) / (𝐵𝐷)) · (𝐴𝐷)) = (𝐷𝐴))
8256, 44subcld 10580 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (𝐷𝐵) ∈ ℂ)
8382, 69, 78, 72div32d 11012 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (((𝐷𝐵) / (𝐵𝐷)) · (𝐴𝐷)) = ((𝐷𝐵) · ((𝐴𝐷) / (𝐵𝐷))))
8481, 83eqtr3d 2792 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (𝐷𝐴) = ((𝐷𝐵) · ((𝐴𝐷) / (𝐵𝐷))))
8584oveq2d 6825 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐶𝐵)𝐺(𝐷𝐴)) = ((𝐶𝐵)𝐺((𝐷𝐵) · ((𝐴𝐷) / (𝐵𝐷)))))
8656, 45, 443jca 1123 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
8710, 86, 70, 55sigardiv 41552 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐴𝐷) / (𝐵𝐷)) ∈ ℝ)
8810sigarls 41548 . . . . . 6 (((𝐶𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐷𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝐴𝐷) / (𝐵𝐷)) ∈ ℝ) → ((𝐶𝐵)𝐺((𝐷𝐵) · ((𝐴𝐷) / (𝐵𝐷)))) = (((𝐶𝐵)𝐺(𝐷𝐵)) · ((𝐴𝐷) / (𝐵𝐷))))
8948, 82, 87, 88syl3anc 1477 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐶𝐵)𝐺((𝐷𝐵) · ((𝐴𝐷) / (𝐵𝐷)))) = (((𝐶𝐵)𝐺(𝐷𝐵)) · ((𝐴𝐷) / (𝐵𝐷))))
9065, 85, 893eqtrd 2794 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐶𝐴)𝐺(𝐷𝐴)) = (((𝐶𝐵)𝐺(𝐷𝐵)) · ((𝐴𝐷) / (𝐵𝐷))))
9190oveq1d 6824 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (((𝐶𝐴)𝐺(𝐷𝐴)) · (𝐵𝐷)) = ((((𝐶𝐵)𝐺(𝐷𝐵)) · ((𝐴𝐷) / (𝐵𝐷))) · (𝐵𝐷)))
9210sigarim 41542 . . . . . 6 (((𝐶𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐷𝐵) ∈ ℂ) → ((𝐶𝐵)𝐺(𝐷𝐵)) ∈ ℝ)
9392recnd 10256 . . . . 5 (((𝐶𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐷𝐵) ∈ ℂ) → ((𝐶𝐵)𝐺(𝐷𝐵)) ∈ ℂ)
9448, 82, 93syl2anc 696 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐶𝐵)𝐺(𝐷𝐵)) ∈ ℂ)
9578, 69, 72divcld 10989 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐴𝐷) / (𝐵𝐷)) ∈ ℂ)
9694, 95, 69mulassd 10251 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → ((((𝐶𝐵)𝐺(𝐷𝐵)) · ((𝐴𝐷) / (𝐵𝐷))) · (𝐵𝐷)) = (((𝐶𝐵)𝐺(𝐷𝐵)) · (((𝐴𝐷) / (𝐵𝐷)) · (𝐵𝐷))))
9778, 69, 72divcan1d 10990 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (((𝐴𝐷) / (𝐵𝐷)) · (𝐵𝐷)) = (𝐴𝐷))
9897oveq2d 6825 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (((𝐶𝐵)𝐺(𝐷𝐵)) · (((𝐴𝐷) / (𝐵𝐷)) · (𝐵𝐷))) = (((𝐶𝐵)𝐺(𝐷𝐵)) · (𝐴𝐷)))
9991, 96, 983eqtrd 2794 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐷) → (((𝐶𝐴)𝐺(𝐷𝐴)) · (𝐵𝐷)) = (((𝐶𝐵)𝐺(𝐷𝐵)) · (𝐴𝐷)))
10042, 99pm2.61dan 867 1 (𝜑 → (((𝐶𝐴)𝐺(𝐷𝐴)) · (𝐵𝐷)) = (((𝐶𝐵)𝐺(𝐷𝐵)) · (𝐴𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1628  wcel 2135  cfv 6045  (class class class)co 6809  cmpt2 6811  cc 10122  cr 10123  0cc0 10124  1c1 10125   + caddc 10127   · cmul 10129  cmin 10454  -cneg 10455   / cdiv 10872  ccj 14031  cim 14033
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1867  ax-4 1882  ax-5 1984  ax-6 2050  ax-7 2086  ax-8 2137  ax-9 2144  ax-10 2164  ax-11 2179  ax-12 2192  ax-13 2387  ax-ext 2736  ax-sep 4929  ax-nul 4937  ax-pow 4988  ax-pr 5051  ax-un 7110  ax-resscn 10181  ax-1cn 10182  ax-icn 10183  ax-addcl 10184  ax-addrcl 10185  ax-mulcl 10186  ax-mulrcl 10187  ax-mulcom 10188  ax-addass 10189  ax-mulass 10190  ax-distr 10191  ax-i2m1 10192  ax-1ne0 10193  ax-1rid 10194  ax-rnegex 10195  ax-rrecex 10196  ax-cnre 10197  ax-pre-lttri 10198  ax-pre-lttrn 10199  ax-pre-ltadd 10200  ax-pre-mulgt0 10201
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1631  df-ex 1850  df-nf 1855  df-sb 2043  df-eu 2607  df-mo 2608  df-clab 2743  df-cleq 2749  df-clel 2752  df-nfc 2887  df-ne 2929  df-nel 3032  df-ral 3051  df-rex 3052  df-reu 3053  df-rmo 3054  df-rab 3055  df-v 3338  df-sbc 3573  df-csb 3671  df-dif 3714  df-un 3716  df-in 3718  df-ss 3725  df-nul 4055  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4585  df-br 4801  df-opab 4861  df-mpt 4878  df-id 5170  df-po 5183  df-so 5184  df-xp 5268  df-rel 5269  df-cnv 5270  df-co 5271  df-dm 5272  df-rn 5273  df-res 5274  df-ima 5275  df-iota 6008  df-fun 6047  df-fn 6048  df-f 6049  df-f1 6050  df-fo 6051  df-f1o 6052  df-fv 6053  df-riota 6770  df-ov 6812  df-oprab 6813  df-mpt2 6814  df-er 7907  df-en 8118  df-dom 8119  df-sdom 8120  df-pnf 10264  df-mnf 10265  df-xr 10266  df-ltxr 10267  df-le 10268  df-sub 10456  df-neg 10457  df-div 10873  df-2 11267  df-cj 14034  df-re 14035  df-im 14036
This theorem is referenced by:  cevathlem2  41559
  Copyright terms: Public domain W3C validator