Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sgsummulcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sgsummulcl 18746
 Description: A finite semiring sum multiplied by a constant, analogous to gsummulc2 18815. (Contributed by AV, 23-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
srgsummulcr.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
srgsummulcr.z 0 = (0g𝑅)
srgsummulcr.p + = (+g𝑅)
srgsummulcr.t · = (.r𝑅)
srgsummulcr.r (𝜑𝑅 ∈ SRing)
srgsummulcr.a (𝜑𝐴𝑉)
srgsummulcr.y (𝜑𝑌𝐵)
srgsummulcr.x ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑋𝐵)
srgsummulcr.n (𝜑 → (𝑘𝐴𝑋) finSupp 0 )
Assertion
Ref Expression
sgsummulcl (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘𝐴 ↦ (𝑌 · 𝑋))) = (𝑌 · (𝑅 Σg (𝑘𝐴𝑋))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝜑,𝑘   · ,𝑘   𝑘,𝑌
Allowed substitution hints:   + (𝑘)   𝑅(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑋(𝑘)   0 (𝑘)

Proof of Theorem sgsummulcl
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 srgsummulcr.b . 2 𝐵 = (Base‘𝑅)
2 srgsummulcr.z . 2 0 = (0g𝑅)
3 srgsummulcr.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ SRing)
4 srgcmn 18716 . . 3 (𝑅 ∈ SRing → 𝑅 ∈ CMnd)
53, 4syl 17 . 2 (𝜑𝑅 ∈ CMnd)
6 srgmnd 18717 . . 3 (𝑅 ∈ SRing → 𝑅 ∈ Mnd)
73, 6syl 17 . 2 (𝜑𝑅 ∈ Mnd)
8 srgsummulcr.a . 2 (𝜑𝐴𝑉)
9 srgsummulcr.y . . 3 (𝜑𝑌𝐵)
10 srgsummulcr.t . . . 4 · = (.r𝑅)
111, 10srglmhm 18743 . . 3 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑌𝐵) → (𝑥𝐵 ↦ (𝑌 · 𝑥)) ∈ (𝑅 MndHom 𝑅))
123, 9, 11syl2anc 573 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐵 ↦ (𝑌 · 𝑥)) ∈ (𝑅 MndHom 𝑅))
13 srgsummulcr.x . 2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑋𝐵)
14 srgsummulcr.n . 2 (𝜑 → (𝑘𝐴𝑋) finSupp 0 )
15 oveq2 6804 . 2 (𝑥 = 𝑋 → (𝑌 · 𝑥) = (𝑌 · 𝑋))
16 oveq2 6804 . 2 (𝑥 = (𝑅 Σg (𝑘𝐴𝑋)) → (𝑌 · 𝑥) = (𝑌 · (𝑅 Σg (𝑘𝐴𝑋))))
171, 2, 5, 7, 8, 12, 13, 14, 15, 16gsummhm2 18546 1 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘𝐴 ↦ (𝑌 · 𝑋))) = (𝑌 · (𝑅 Σg (𝑘𝐴𝑋))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   class class class wbr 4787   ↦ cmpt 4864  ‘cfv 6030  (class class class)co 6796   finSupp cfsupp 8435  Basecbs 16064  +gcplusg 16149  .rcmulr 16150  0gc0g 16308   Σg cgsu 16309  Mndcmnd 17502   MndHom cmhm 17541  CMndccmn 18400  SRingcsrg 18713 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-supp 7451  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7900  df-map 8015  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-fsupp 8436  df-oi 8575  df-card 8969  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-nn 11227  df-2 11285  df-n0 11500  df-z 11585  df-uz 11894  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-hash 13322  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-plusg 16162  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-mhm 17543  df-cntz 17957  df-cmn 18402  df-mgp 18698  df-srg 18714 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator