Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sgrp2rid2ex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sgrp2rid2ex 17622
 Description: A small semigroup (with two elements) with two right identities which are different. (Contributed by AV, 10-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
mgm2nsgrp.s 𝑆 = {𝐴, 𝐵}
mgm2nsgrp.b (Base‘𝑀) = 𝑆
sgrp2nmnd.o (+g𝑀) = (𝑥𝑆, 𝑦𝑆 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐴, 𝐵))
sgrp2nmnd.p = (+g𝑀)
Assertion
Ref Expression
sgrp2rid2ex ((♯‘𝑆) = 2 → ∃𝑥𝑆𝑧𝑆𝑦𝑆 (𝑥𝑧 ∧ (𝑦 𝑥) = 𝑦 ∧ (𝑦 𝑧) = 𝑦))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑀   𝑥, ,𝑦   𝑧,𝐴   𝑧,𝐵   𝑧,𝑆   𝑧, ,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem sgrp2rid2ex
StepHypRef Expression
1 mgm2nsgrp.s . . 3 𝑆 = {𝐴, 𝐵}
21hashprdifel 13388 . 2 ((♯‘𝑆) = 2 → (𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵))
3 simp1 1130 . . 3 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) → 𝐴𝑆)
4 simp2 1131 . . 3 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) → 𝐵𝑆)
5 simpl3 1231 . . . . 5 (((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) ∧ 𝑦𝑆) → 𝐴𝐵)
65ralrimiva 3115 . . . 4 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) → ∀𝑦𝑆 𝐴𝐵)
7 mgm2nsgrp.b . . . . . . 7 (Base‘𝑀) = 𝑆
8 sgrp2nmnd.o . . . . . . 7 (+g𝑀) = (𝑥𝑆, 𝑦𝑆 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐴, 𝐵))
9 sgrp2nmnd.p . . . . . . 7 = (+g𝑀)
101, 7, 8, 9sgrp2rid2 17621 . . . . . 6 ((𝐴𝑆𝐵𝑆) → ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑦 𝑥) = 𝑦)
11 oveq2 6801 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝐴 → (𝑦 𝑥) = (𝑦 𝐴))
1211eqeq1d 2773 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑦 𝑥) = 𝑦 ↔ (𝑦 𝐴) = 𝑦))
1312ralbidv 3135 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐴 → (∀𝑦𝑆 (𝑦 𝑥) = 𝑦 ↔ ∀𝑦𝑆 (𝑦 𝐴) = 𝑦))
1413rspcv 3456 . . . . . . 7 (𝐴𝑆 → (∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑦 𝑥) = 𝑦 → ∀𝑦𝑆 (𝑦 𝐴) = 𝑦))
1514adantr 466 . . . . . 6 ((𝐴𝑆𝐵𝑆) → (∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑦 𝑥) = 𝑦 → ∀𝑦𝑆 (𝑦 𝐴) = 𝑦))
1610, 15mpd 15 . . . . 5 ((𝐴𝑆𝐵𝑆) → ∀𝑦𝑆 (𝑦 𝐴) = 𝑦)
17163adant3 1126 . . . 4 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) → ∀𝑦𝑆 (𝑦 𝐴) = 𝑦)
18 oveq2 6801 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝐵 → (𝑦 𝑥) = (𝑦 𝐵))
1918eqeq1d 2773 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐵 → ((𝑦 𝑥) = 𝑦 ↔ (𝑦 𝐵) = 𝑦))
2019ralbidv 3135 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐵 → (∀𝑦𝑆 (𝑦 𝑥) = 𝑦 ↔ ∀𝑦𝑆 (𝑦 𝐵) = 𝑦))
2120rspcv 3456 . . . . . . 7 (𝐵𝑆 → (∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑦 𝑥) = 𝑦 → ∀𝑦𝑆 (𝑦 𝐵) = 𝑦))
2221adantl 467 . . . . . 6 ((𝐴𝑆𝐵𝑆) → (∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑦 𝑥) = 𝑦 → ∀𝑦𝑆 (𝑦 𝐵) = 𝑦))
2310, 22mpd 15 . . . . 5 ((𝐴𝑆𝐵𝑆) → ∀𝑦𝑆 (𝑦 𝐵) = 𝑦)
24233adant3 1126 . . . 4 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) → ∀𝑦𝑆 (𝑦 𝐵) = 𝑦)
25 r19.26-3 3214 . . . 4 (∀𝑦𝑆 (𝐴𝐵 ∧ (𝑦 𝐴) = 𝑦 ∧ (𝑦 𝐵) = 𝑦) ↔ (∀𝑦𝑆 𝐴𝐵 ∧ ∀𝑦𝑆 (𝑦 𝐴) = 𝑦 ∧ ∀𝑦𝑆 (𝑦 𝐵) = 𝑦))
266, 17, 24, 25syl3anbrc 1428 . . 3 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) → ∀𝑦𝑆 (𝐴𝐵 ∧ (𝑦 𝐴) = 𝑦 ∧ (𝑦 𝐵) = 𝑦))
273, 4, 263jca 1122 . 2 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) → (𝐴𝑆𝐵𝑆 ∧ ∀𝑦𝑆 (𝐴𝐵 ∧ (𝑦 𝐴) = 𝑦 ∧ (𝑦 𝐵) = 𝑦)))
28 neeq1 3005 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥𝑧𝐴𝑧))
29 biidd 252 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑦 𝑧) = 𝑦 ↔ (𝑦 𝑧) = 𝑦))
3028, 12, 293anbi123d 1547 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥𝑧 ∧ (𝑦 𝑥) = 𝑦 ∧ (𝑦 𝑧) = 𝑦) ↔ (𝐴𝑧 ∧ (𝑦 𝐴) = 𝑦 ∧ (𝑦 𝑧) = 𝑦)))
3130ralbidv 3135 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → (∀𝑦𝑆 (𝑥𝑧 ∧ (𝑦 𝑥) = 𝑦 ∧ (𝑦 𝑧) = 𝑦) ↔ ∀𝑦𝑆 (𝐴𝑧 ∧ (𝑦 𝐴) = 𝑦 ∧ (𝑦 𝑧) = 𝑦)))
32 neeq2 3006 . . . . 5 (𝑧 = 𝐵 → (𝐴𝑧𝐴𝐵))
33 biidd 252 . . . . 5 (𝑧 = 𝐵 → ((𝑦 𝐴) = 𝑦 ↔ (𝑦 𝐴) = 𝑦))
34 oveq2 6801 . . . . . 6 (𝑧 = 𝐵 → (𝑦 𝑧) = (𝑦 𝐵))
3534eqeq1d 2773 . . . . 5 (𝑧 = 𝐵 → ((𝑦 𝑧) = 𝑦 ↔ (𝑦 𝐵) = 𝑦))
3632, 33, 353anbi123d 1547 . . . 4 (𝑧 = 𝐵 → ((𝐴𝑧 ∧ (𝑦 𝐴) = 𝑦 ∧ (𝑦 𝑧) = 𝑦) ↔ (𝐴𝐵 ∧ (𝑦 𝐴) = 𝑦 ∧ (𝑦 𝐵) = 𝑦)))
3736ralbidv 3135 . . 3 (𝑧 = 𝐵 → (∀𝑦𝑆 (𝐴𝑧 ∧ (𝑦 𝐴) = 𝑦 ∧ (𝑦 𝑧) = 𝑦) ↔ ∀𝑦𝑆 (𝐴𝐵 ∧ (𝑦 𝐴) = 𝑦 ∧ (𝑦 𝐵) = 𝑦)))
3831, 37rspc2ev 3474 . 2 ((𝐴𝑆𝐵𝑆 ∧ ∀𝑦𝑆 (𝐴𝐵 ∧ (𝑦 𝐴) = 𝑦 ∧ (𝑦 𝐵) = 𝑦)) → ∃𝑥𝑆𝑧𝑆𝑦𝑆 (𝑥𝑧 ∧ (𝑦 𝑥) = 𝑦 ∧ (𝑦 𝑧) = 𝑦))
392, 27, 383syl 18 1 ((♯‘𝑆) = 2 → ∃𝑥𝑆𝑧𝑆𝑦𝑆 (𝑥𝑧 ∧ (𝑦 𝑥) = 𝑦 ∧ (𝑦 𝑧) = 𝑦))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   ∧ w3a 1071   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2943  ∀wral 3061  ∃wrex 3062  ifcif 4225  {cpr 4318  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793   ↦ cmpt2 6795  2c2 11272  ♯chash 13321  Basecbs 16064  +gcplusg 16149 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-card 8965  df-cda 9192  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-fz 12534  df-hash 13322 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator