MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sgrp2nmndlem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sgrp2nmndlem5 17617
Description: Lemma 5 for sgrp2nmnd 17618: M is not a monoid. (Contributed by AV, 29-Jan-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
mgm2nsgrp.s 𝑆 = {𝐴, 𝐵}
mgm2nsgrp.b (Base‘𝑀) = 𝑆
sgrp2nmnd.o (+g𝑀) = (𝑥𝑆, 𝑦𝑆 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐴, 𝐵))
Assertion
Ref Expression
sgrp2nmndlem5 ((♯‘𝑆) = 2 → 𝑀 ∉ Mnd)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦

Proof of Theorem sgrp2nmndlem5
StepHypRef Expression
1 mgm2nsgrp.s . . 3 𝑆 = {𝐴, 𝐵}
21hashprdifel 13378 . 2 ((♯‘𝑆) = 2 → (𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵))
3 mgm2nsgrp.b . . . . . . . 8 (Base‘𝑀) = 𝑆
4 sgrp2nmnd.o . . . . . . . 8 (+g𝑀) = (𝑥𝑆, 𝑦𝑆 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐴, 𝐵))
5 eqid 2760 . . . . . . . 8 (+g𝑀) = (+g𝑀)
61, 3, 4, 5sgrp2nmndlem2 17612 . . . . . . 7 ((𝐴𝑆𝐵𝑆) → (𝐴(+g𝑀)𝐵) = 𝐴)
763adant3 1127 . . . . . 6 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) → (𝐴(+g𝑀)𝐵) = 𝐴)
8 simp3 1133 . . . . . 6 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
97, 8eqnetrd 2999 . . . . 5 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) → (𝐴(+g𝑀)𝐵) ≠ 𝐵)
109olcd 407 . . . 4 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) → ((𝐴(+g𝑀)𝐴) ≠ 𝐴 ∨ (𝐴(+g𝑀)𝐵) ≠ 𝐵))
11 oveq2 6821 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐴 → (𝐴(+g𝑀)𝑦) = (𝐴(+g𝑀)𝐴))
12 id 22 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐴𝑦 = 𝐴)
1311, 12neeq12d 2993 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐴 → ((𝐴(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ↔ (𝐴(+g𝑀)𝐴) ≠ 𝐴))
14 oveq2 6821 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐵 → (𝐴(+g𝑀)𝑦) = (𝐴(+g𝑀)𝐵))
15 id 22 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐵𝑦 = 𝐵)
1614, 15neeq12d 2993 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐵 → ((𝐴(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ↔ (𝐴(+g𝑀)𝐵) ≠ 𝐵))
1713, 16rexprg 4379 . . . . 5 ((𝐴𝑆𝐵𝑆) → (∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐴(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ↔ ((𝐴(+g𝑀)𝐴) ≠ 𝐴 ∨ (𝐴(+g𝑀)𝐵) ≠ 𝐵)))
18173adant3 1127 . . . 4 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) → (∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐴(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ↔ ((𝐴(+g𝑀)𝐴) ≠ 𝐴 ∨ (𝐴(+g𝑀)𝐵) ≠ 𝐵)))
1910, 18mpbird 247 . . 3 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) → ∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐴(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦)
201, 3, 4, 5sgrp2nmndlem3 17613 . . . . . . 7 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) → (𝐵(+g𝑀)𝐴) = 𝐵)
21 necom 2985 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝐵𝐵𝐴)
22 df-ne 2933 . . . . . . . . . . 11 (𝐵𝐴 ↔ ¬ 𝐵 = 𝐴)
2321, 22sylbb 209 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝐵 → ¬ 𝐵 = 𝐴)
24233ad2ant3 1130 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) → ¬ 𝐵 = 𝐴)
2524adantr 472 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) ∧ (𝐵(+g𝑀)𝐴) = 𝐵) → ¬ 𝐵 = 𝐴)
26 eqeq1 2764 . . . . . . . . 9 ((𝐵(+g𝑀)𝐴) = 𝐵 → ((𝐵(+g𝑀)𝐴) = 𝐴𝐵 = 𝐴))
2726adantl 473 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) ∧ (𝐵(+g𝑀)𝐴) = 𝐵) → ((𝐵(+g𝑀)𝐴) = 𝐴𝐵 = 𝐴))
2825, 27mtbird 314 . . . . . . 7 (((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) ∧ (𝐵(+g𝑀)𝐴) = 𝐵) → ¬ (𝐵(+g𝑀)𝐴) = 𝐴)
2920, 28mpdan 705 . . . . . 6 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) → ¬ (𝐵(+g𝑀)𝐴) = 𝐴)
3029neqned 2939 . . . . 5 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) → (𝐵(+g𝑀)𝐴) ≠ 𝐴)
3130orcd 406 . . . 4 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) → ((𝐵(+g𝑀)𝐴) ≠ 𝐴 ∨ (𝐵(+g𝑀)𝐵) ≠ 𝐵))
32 oveq2 6821 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐴 → (𝐵(+g𝑀)𝑦) = (𝐵(+g𝑀)𝐴))
3332, 12neeq12d 2993 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐴 → ((𝐵(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ↔ (𝐵(+g𝑀)𝐴) ≠ 𝐴))
34 oveq2 6821 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐵 → (𝐵(+g𝑀)𝑦) = (𝐵(+g𝑀)𝐵))
3534, 15neeq12d 2993 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐵 → ((𝐵(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ↔ (𝐵(+g𝑀)𝐵) ≠ 𝐵))
3633, 35rexprg 4379 . . . . 5 ((𝐴𝑆𝐵𝑆) → (∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐵(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ↔ ((𝐵(+g𝑀)𝐴) ≠ 𝐴 ∨ (𝐵(+g𝑀)𝐵) ≠ 𝐵)))
37363adant3 1127 . . . 4 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) → (∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐵(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ↔ ((𝐵(+g𝑀)𝐴) ≠ 𝐴 ∨ (𝐵(+g𝑀)𝐵) ≠ 𝐵)))
3831, 37mpbird 247 . . 3 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) → ∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐵(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦)
39 oveq1 6820 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥(+g𝑀)𝑦) = (𝐴(+g𝑀)𝑦))
4039neeq1d 2991 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ↔ (𝐴(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦))
4140rexbidv 3190 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝑥(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐴(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦))
42 oveq1 6820 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐵 → (𝑥(+g𝑀)𝑦) = (𝐵(+g𝑀)𝑦))
4342neeq1d 2991 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐵 → ((𝑥(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ↔ (𝐵(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦))
4443rexbidv 3190 . . . . 5 (𝑥 = 𝐵 → (∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝑥(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐵(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦))
4541, 44ralprg 4378 . . . 4 ((𝐴𝑆𝐵𝑆) → (∀𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝑥(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ↔ (∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐴(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ∧ ∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐵(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦)))
46453adant3 1127 . . 3 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) → (∀𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝑥(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ↔ (∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐴(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ∧ ∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐵(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦)))
4719, 38, 46mpbir2and 995 . 2 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) → ∀𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝑥(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦)
483, 1eqtr2i 2783 . . 3 {𝐴, 𝐵} = (Base‘𝑀)
4948, 5isnmnd 17499 . 2 (∀𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝑥(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦𝑀 ∉ Mnd)
502, 47, 493syl 18 1 ((♯‘𝑆) = 2 → 𝑀 ∉ Mnd)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  wnel 3035  wral 3050  wrex 3051  ifcif 4230  {cpr 4323  cfv 6049  (class class class)co 6813  cmpt2 6815  2c2 11262  chash 13311  Basecbs 16059  +gcplusg 16143  Mndcmnd 17495
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-card 8955  df-cda 9182  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-fz 12520  df-hash 13312  df-mnd 17496
This theorem is referenced by:  sgrp2nmnd  17618  sgrpnmndex  17620
  Copyright terms: Public domain W3C validator