Theorem sgnsf 30063

Description: The sign function. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
sgnsval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
sgnsval.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
sgnsval.l	⊢ < = (lt‘𝑅)
sgnsval.s	⊢ 𝑆 = (sgns‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
sgnsf	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑆:𝐵⟶{-1, 0, 1})

Proof of Theorem sgnsf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sgnsval.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		sgnsval.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
3		sgnsval.l	. . 3 ⊢ < = (lt‘𝑅)
4		sgnsval.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (sgns‘𝑅)
5	1, 2, 3, 4	sgnsv 30061	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑆 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 = 0 , 0, if( 0 < 𝑥, 1, -1))))
6		c0ex 10235	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
7	6	tpid2 4438	. . . 4 ⊢ 0 ∈ {-1, 0, 1}
8		1ex 10236	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ V
9	8	tpid3 4440	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ {-1, 0, 1}
10		negex 10480	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ V
11	10	tpid1 4437	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ {-1, 0, 1}
12	9, 11	keepel 4292	. . . 4 ⊢ if( 0 < 𝑥, 1, -1) ∈ {-1, 0, 1}
13	7, 12	keepel 4292	. . 3 ⊢ if(𝑥 = 0 , 0, if( 0 < 𝑥, 1, -1)) ∈ {-1, 0, 1}
14	13	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → if(𝑥 = 0 , 0, if( 0 < 𝑥, 1, -1)) ∈ {-1, 0, 1})
15	5, 14	fmpt3d 6528	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑆:𝐵⟶{-1, 0, 1})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1630   ∈ wcel 2144  ifcif 4223  {ctp 4318   class class class wbr 4784  ⟶wf 6027  ‘cfv 6031  0cc0 10137  1c1 10138  -cneg 10468  Basecbs 16063  0_gc0g 16307  ltcplt 17148  sgn_scsgns 30059

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pr 5034  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-mulcl 10199  ax-i2m1 10205

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-nul 4062  df-if 4224  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-ov 6795  df-neg 10470  df-sgns 30060

This theorem is referenced by: (None)