Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sgnsf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sgnsf 30063
Description: The sign function. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
sgnsval.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
sgnsval.0 0 = (0g𝑅)
sgnsval.l < = (lt‘𝑅)
sgnsval.s 𝑆 = (sgns𝑅)
Assertion
Ref Expression
sgnsf (𝑅𝑉𝑆:𝐵⟶{-1, 0, 1})

Proof of Theorem sgnsf
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sgnsval.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑅)
2 sgnsval.0 . . 3 0 = (0g𝑅)
3 sgnsval.l . . 3 < = (lt‘𝑅)
4 sgnsval.s . . 3 𝑆 = (sgns𝑅)
51, 2, 3, 4sgnsv 30061 . 2 (𝑅𝑉𝑆 = (𝑥𝐵 ↦ if(𝑥 = 0 , 0, if( 0 < 𝑥, 1, -1))))
6 c0ex 10235 . . . . 5 0 ∈ V
76tpid2 4438 . . . 4 0 ∈ {-1, 0, 1}
8 1ex 10236 . . . . . 6 1 ∈ V
98tpid3 4440 . . . . 5 1 ∈ {-1, 0, 1}
10 negex 10480 . . . . . 6 -1 ∈ V
1110tpid1 4437 . . . . 5 -1 ∈ {-1, 0, 1}
129, 11keepel 4292 . . . 4 if( 0 < 𝑥, 1, -1) ∈ {-1, 0, 1}
137, 12keepel 4292 . . 3 if(𝑥 = 0 , 0, if( 0 < 𝑥, 1, -1)) ∈ {-1, 0, 1}
1413a1i 11 . 2 ((𝑅𝑉𝑥𝐵) → if(𝑥 = 0 , 0, if( 0 < 𝑥, 1, -1)) ∈ {-1, 0, 1})
155, 14fmpt3d 6528 1 (𝑅𝑉𝑆:𝐵⟶{-1, 0, 1})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1630  wcel 2144  ifcif 4223  {ctp 4318   class class class wbr 4784  wf 6027  cfv 6031  0cc0 10137  1c1 10138  -cneg 10468  Basecbs 16063  0gc0g 16307  ltcplt 17148  sgnscsgns 30059
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pr 5034  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-mulcl 10199  ax-i2m1 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-nul 4062  df-if 4224  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-ov 6795  df-neg 10470  df-sgns 30060
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator