MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sgn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sgn0 14036
Description: Proof that signum of 0 is 0. (Contributed by David A. Wheeler, 15-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
sgn0 (sgn‘0) = 0

Proof of Theorem sgn0
StepHypRef Expression
1 0xr 10287 . . 3 0 ∈ ℝ*
2 sgnval 14035 . . 3 (0 ∈ ℝ* → (sgn‘0) = if(0 = 0, 0, if(0 < 0, -1, 1)))
31, 2ax-mp 5 . 2 (sgn‘0) = if(0 = 0, 0, if(0 < 0, -1, 1))
4 eqid 2770 . . 3 0 = 0
54iftruei 4230 . 2 if(0 = 0, 0, if(0 < 0, -1, 1)) = 0
63, 5eqtri 2792 1 (sgn‘0) = 0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1630  wcel 2144  ifcif 4223   class class class wbr 4784  cfv 6031  0cc0 10137  1c1 10138  *cxr 10274   < clt 10275  -cneg 10468  sgncsgn 14033
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pr 5034  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-ral 3065  df-rex 3066  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-nul 4062  df-if 4224  df-sn 4315  df-pr 4317  df-op 4321  df-uni 4573  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fv 6039  df-ov 6795  df-xr 10279  df-neg 10470  df-sgn 14034
This theorem is referenced by:  sgncl  30934  sgnmul  30938  sgnsgn  30944  signstfveq0  30988
  Copyright terms: Public domain W3C validator