MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sgmppw Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sgmppw 25142
Description: The value of the divisor function at a prime power. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
sgmppw ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 σ (𝑃𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑃𝑐𝐴)↑𝑘))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁   𝑃,𝑘

Proof of Theorem sgmppw
Dummy variables 𝑖 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1131 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
2 simp2 1132 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℙ)
3 prmnn 15610 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
42, 3syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℕ)
5 simp3 1133 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
64, 5nnexpcld 13244 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑃𝑁) ∈ ℕ)
7 sgmval 25088 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃𝑁) ∈ ℕ) → (𝐴 σ (𝑃𝑁)) = Σ𝑛 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑃𝑁)} (𝑛𝑐𝐴))
81, 6, 7syl2anc 696 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 σ (𝑃𝑁)) = Σ𝑛 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑃𝑁)} (𝑛𝑐𝐴))
9 oveq1 6821 . . 3 (𝑛 = (𝑃𝑘) → (𝑛𝑐𝐴) = ((𝑃𝑘)↑𝑐𝐴))
10 fzfid 12986 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0...𝑁) ∈ Fin)
11 eqid 2760 . . . . 5 (𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ (𝑃𝑖)) = (𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ (𝑃𝑖))
1211dvdsppwf1o 25132 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ (𝑃𝑖)):(0...𝑁)–1-1-onto→{𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑃𝑁)})
132, 5, 12syl2anc 696 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ (𝑃𝑖)):(0...𝑁)–1-1-onto→{𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑃𝑁)})
14 oveq2 6822 . . . . 5 (𝑖 = 𝑘 → (𝑃𝑖) = (𝑃𝑘))
15 ovex 6842 . . . . 5 (𝑃𝑘) ∈ V
1614, 11, 15fvmpt 6445 . . . 4 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → ((𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ (𝑃𝑖))‘𝑘) = (𝑃𝑘))
1716adantl 473 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ (𝑃𝑖))‘𝑘) = (𝑃𝑘))
18 elrabi 3499 . . . . 5 (𝑛 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑃𝑁)} → 𝑛 ∈ ℕ)
1918nncnd 11248 . . . 4 (𝑛 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑃𝑁)} → 𝑛 ∈ ℂ)
20 cxpcl 24640 . . . 4 ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑛𝑐𝐴) ∈ ℂ)
2119, 1, 20syl2anr 496 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑃𝑁)}) → (𝑛𝑐𝐴) ∈ ℂ)
229, 10, 13, 17, 21fsumf1o 14673 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑃𝑁)} (𝑛𝑐𝐴) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑃𝑘)↑𝑐𝐴))
23 elfznn0 12646 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
2423adantl 473 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
2524nn0cnd 11565 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℂ)
261adantr 472 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
2725, 26mulcomd 10273 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑘 · 𝐴) = (𝐴 · 𝑘))
2827oveq2d 6830 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑃𝑐(𝑘 · 𝐴)) = (𝑃𝑐(𝐴 · 𝑘)))
294adantr 472 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑃 ∈ ℕ)
3029nnrpd 12083 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑃 ∈ ℝ+)
3124nn0red 11564 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℝ)
3230, 31, 26cxpmuld 24700 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑃𝑐(𝑘 · 𝐴)) = ((𝑃𝑐𝑘)↑𝑐𝐴))
3329nncnd 11248 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑃 ∈ ℂ)
34 cxpexp 24634 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑃𝑐𝑘) = (𝑃𝑘))
3533, 24, 34syl2anc 696 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑃𝑐𝑘) = (𝑃𝑘))
3635oveq1d 6829 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑃𝑐𝑘)↑𝑐𝐴) = ((𝑃𝑘)↑𝑐𝐴))
3732, 36eqtrd 2794 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑃𝑐(𝑘 · 𝐴)) = ((𝑃𝑘)↑𝑐𝐴))
3833, 26, 24cxpmul2d 24675 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑃𝑐(𝐴 · 𝑘)) = ((𝑃𝑐𝐴)↑𝑘))
3928, 37, 383eqtr3d 2802 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑃𝑘)↑𝑐𝐴) = ((𝑃𝑐𝐴)↑𝑘))
4039sumeq2dv 14652 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑃𝑘)↑𝑐𝐴) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑃𝑐𝐴)↑𝑘))
418, 22, 403eqtrd 2798 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 σ (𝑃𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑃𝑐𝐴)↑𝑘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  {crab 3054   class class class wbr 4804  cmpt 4881  1-1-ontowf1o 6048  cfv 6049  (class class class)co 6814  cc 10146  0cc0 10148   · cmul 10153  cn 11232  0cn0 11504  ...cfz 12539  cexp 13074  Σcsu 14635  cdvds 15202  cprime 15607  𝑐ccxp 24522   σ csgm 25042
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-inf2 8713  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226  ax-addf 10227  ax-mulf 10228
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-of 7063  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-supp 7465  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-2o 7731  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-pm 8028  df-ixp 8077  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-fsupp 8443  df-fi 8484  df-sup 8515  df-inf 8516  df-oi 8582  df-card 8975  df-cda 9202  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-7 11296  df-8 11297  df-9 11298  df-n0 11505  df-z 11590  df-dec 11706  df-uz 11900  df-q 12002  df-rp 12046  df-xneg 12159  df-xadd 12160  df-xmul 12161  df-ioo 12392  df-ioc 12393  df-ico 12394  df-icc 12395  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-fl 12807  df-mod 12883  df-seq 13016  df-exp 13075  df-fac 13275  df-bc 13304  df-hash 13332  df-shft 14026  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-limsup 14421  df-clim 14438  df-rlim 14439  df-sum 14636  df-ef 15017  df-sin 15019  df-cos 15020  df-pi 15022  df-dvds 15203  df-gcd 15439  df-prm 15608  df-pc 15764  df-struct 16081  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-ress 16087  df-plusg 16176  df-mulr 16177  df-starv 16178  df-sca 16179  df-vsca 16180  df-ip 16181  df-tset 16182  df-ple 16183  df-ds 16186  df-unif 16187  df-hom 16188  df-cco 16189  df-rest 16305  df-topn 16306  df-0g 16324  df-gsum 16325  df-topgen 16326  df-pt 16327  df-prds 16330  df-xrs 16384  df-qtop 16389  df-imas 16390  df-xps 16392  df-mre 16468  df-mrc 16469  df-acs 16471  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-submnd 17557  df-mulg 17762  df-cntz 17970  df-cmn 18415  df-psmet 19960  df-xmet 19961  df-met 19962  df-bl 19963  df-mopn 19964  df-fbas 19965  df-fg 19966  df-cnfld 19969  df-top 20921  df-topon 20938  df-topsp 20959  df-bases 20972  df-cld 21045  df-ntr 21046  df-cls 21047  df-nei 21124  df-lp 21162  df-perf 21163  df-cn 21253  df-cnp 21254  df-haus 21341  df-tx 21587  df-hmeo 21780  df-fil 21871  df-fm 21963  df-flim 21964  df-flf 21965  df-xms 22346  df-ms 22347  df-tms 22348  df-cncf 22902  df-limc 23849  df-dv 23850  df-log 24523  df-cxp 24524  df-sgm 25048
This theorem is referenced by:  1sgmprm  25144  1sgm2ppw  25145
  Copyright terms: Public domain W3C validator