Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0z Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sge0z 41093
 Description: Any nonnegative extended sum of zero is zero. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0z.1 𝑘𝜑
sge0z.2 (𝜑𝐴𝑉)
Assertion
Ref Expression
sge0z (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝐴 ↦ 0)) = 0)
Distinct variable group:   𝐴,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem sge0z
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝐵 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sge0z.2 . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
2 sge0z.1 . . . 4 𝑘𝜑
3 0e0icopnf 12473 . . . . 5 0 ∈ (0[,)+∞)
43a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 0 ∈ (0[,)+∞))
5 eqid 2758 . . . 4 (𝑘𝐴 ↦ 0) = (𝑘𝐴 ↦ 0)
62, 4, 5fmptdf 6548 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝐴 ↦ 0):𝐴⟶(0[,)+∞))
71, 6sge0reval 41090 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝐴 ↦ 0)) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 ((𝑘𝐴 ↦ 0)‘𝑦)), ℝ*, < ))
8 eqidd 2759 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑦𝑥) → (𝑘𝐴 ↦ 0) = (𝑘𝐴 ↦ 0))
9 eqid 2758 . . . . . . . . . . 11 0 = 0
109a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑘 = 𝑦) → 0 = 0)
11 elpwinss 39713 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥𝐴)
1211adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑥𝐴)
13 simpr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦𝑥)
1412, 13sseldd 3743 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦𝐴)
15 0cnd 10223 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑦𝑥) → 0 ∈ ℂ)
168, 10, 14, 15fvmptd 6448 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑦𝑥) → ((𝑘𝐴 ↦ 0)‘𝑦) = 0)
1716adantll 752 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑦𝑥) → ((𝑘𝐴 ↦ 0)‘𝑦) = 0)
1817sumeq2dv 14630 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑦𝑥 ((𝑘𝐴 ↦ 0)‘𝑦) = Σ𝑦𝑥 0)
19 elinel2 3941 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
20 olc 398 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ Fin → (𝑥 ⊆ (ℤ𝐵) ∨ 𝑥 ∈ Fin))
2119, 20syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → (𝑥 ⊆ (ℤ𝐵) ∨ 𝑥 ∈ Fin))
22 sumz 14650 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ⊆ (ℤ𝐵) ∨ 𝑥 ∈ Fin) → Σ𝑦𝑥 0 = 0)
2321, 22syl 17 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → Σ𝑦𝑥 0 = 0)
2423adantl 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑦𝑥 0 = 0)
2518, 24eqtrd 2792 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑦𝑥 ((𝑘𝐴 ↦ 0)‘𝑦) = 0)
2625mpteq2dva 4894 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 ((𝑘𝐴 ↦ 0)‘𝑦)) = (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0))
2726rneqd 5506 . . . 4 (𝜑 → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 ((𝑘𝐴 ↦ 0)‘𝑦)) = ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0))
28 eqid 2758 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0) = (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0)
29 0cnd 10223 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 0 ∈ ℂ)
30 pwfin0 39728 . . . . . 6 (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ≠ ∅
3130a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ≠ ∅)
3228, 29, 31rnmptc 39850 . . . 4 (𝜑 → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ 0) = {0})
3327, 32eqtrd 2792 . . 3 (𝜑 → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 ((𝑘𝐴 ↦ 0)‘𝑦)) = {0})
3433supeq1d 8515 . 2 (𝜑 → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 ((𝑘𝐴 ↦ 0)‘𝑦)), ℝ*, < ) = sup({0}, ℝ*, < ))
35 xrltso 12165 . . . 4 < Or ℝ*
3635a1i 11 . . 3 (𝜑 → < Or ℝ*)
37 0xr 10276 . . . 4 0 ∈ ℝ*
3837a1i 11 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
39 supsn 8541 . . 3 (( < Or ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → sup({0}, ℝ*, < ) = 0)
4036, 38, 39syl2anc 696 . 2 (𝜑 → sup({0}, ℝ*, < ) = 0)
417, 34, 403eqtrd 2796 1 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝐴 ↦ 0)) = 0)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1630  Ⅎwnf 1855   ∈ wcel 2137   ≠ wne 2930   ∩ cin 3712   ⊆ wss 3713  ∅c0 4056  𝒫 cpw 4300  {csn 4319   ↦ cmpt 4879   Or wor 5184  ran crn 5265  ‘cfv 6047  (class class class)co 6811  Fincfn 8119  supcsup 8509  ℂcc 10124  0cc0 10126  +∞cpnf 10261  ℝ*cxr 10263   < clt 10264  ℤ≥cuz 11877  [,)cico 12368  Σcsu 14613  Σ^csumge0 41080 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1986  ax-6 2052  ax-7 2088  ax-8 2139  ax-9 2146  ax-10 2166  ax-11 2181  ax-12 2194  ax-13 2389  ax-ext 2738  ax-rep 4921  ax-sep 4931  ax-nul 4939  ax-pow 4990  ax-pr 5053  ax-un 7112  ax-inf2 8709  ax-cnex 10182  ax-resscn 10183  ax-1cn 10184  ax-icn 10185  ax-addcl 10186  ax-addrcl 10187  ax-mulcl 10188  ax-mulrcl 10189  ax-mulcom 10190  ax-addass 10191  ax-mulass 10192  ax-distr 10193  ax-i2m1 10194  ax-1ne0 10195  ax-1rid 10196  ax-rnegex 10197  ax-rrecex 10198  ax-cnre 10199  ax-pre-lttri 10200  ax-pre-lttrn 10201  ax-pre-ltadd 10202  ax-pre-mulgt0 10203  ax-pre-sup 10204 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1633  df-fal 1636  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2045  df-eu 2609  df-mo 2610  df-clab 2745  df-cleq 2751  df-clel 2754  df-nfc 2889  df-ne 2931  df-nel 3034  df-ral 3053  df-rex 3054  df-reu 3055  df-rmo 3056  df-rab 3057  df-v 3340  df-sbc 3575  df-csb 3673  df-dif 3716  df-un 3718  df-in 3720  df-ss 3727  df-pss 3729  df-nul 4057  df-if 4229  df-pw 4302  df-sn 4320  df-pr 4322  df-tp 4324  df-op 4326  df-uni 4587  df-int 4626  df-iun 4672  df-br 4803  df-opab 4863  df-mpt 4880  df-tr 4903  df-id 5172  df-eprel 5177  df-po 5185  df-so 5186  df-fr 5223  df-se 5224  df-we 5225  df-xp 5270  df-rel 5271  df-cnv 5272  df-co 5273  df-dm 5274  df-rn 5275  df-res 5276  df-ima 5277  df-pred 5839  df-ord 5885  df-on 5886  df-lim 5887  df-suc 5888  df-iota 6010  df-fun 6049  df-fn 6050  df-f 6051  df-f1 6052  df-fo 6053  df-f1o 6054  df-fv 6055  df-isom 6056  df-riota 6772  df-ov 6814  df-oprab 6815  df-mpt2 6816  df-om 7229  df-1st 7331  df-2nd 7332  df-wrecs 7574  df-recs 7635  df-rdg 7673  df-1o 7727  df-oadd 7731  df-er 7909  df-en 8120  df-dom 8121  df-sdom 8122  df-fin 8123  df-sup 8511  df-oi 8578  df-card 8953  df-pnf 10266  df-mnf 10267  df-xr 10268  df-ltxr 10269  df-le 10270  df-sub 10458  df-neg 10459  df-div 10875  df-nn 11211  df-2 11269  df-3 11270  df-n0 11483  df-z 11568  df-uz 11878  df-rp 12024  df-ico 12372  df-icc 12373  df-fz 12518  df-fzo 12658  df-seq 12994  df-exp 13053  df-hash 13310  df-cj 14036  df-re 14037  df-im 14038  df-sqrt 14172  df-abs 14173  df-clim 14416  df-sum 14614  df-sumge0 41081 This theorem is referenced by:  sge0ss  41130  ismeannd  41185  0ome  41247  isomenndlem  41248  ovn0lem  41283  vonct  41411
 Copyright terms: Public domain W3C validator