Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0xp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sge0xp 40964
Description: Combine two generalized sums of nonnegative extended reals into a single generalized sum over the cartesian product. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0xp.1 𝑘𝜑
sge0xp.z (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ → 𝐷 = 𝐶)
sge0xp.a (𝜑𝐴𝑉)
sge0xp.b (𝜑𝐵𝑊)
sge0xp.d ((𝜑𝑗𝐴𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
Assertion
Ref Expression
sge0xp (𝜑 → (Σ^‘(𝑗𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))) = (Σ^‘(𝑧 ∈ (𝐴 × 𝐵) ↦ 𝐷)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑘,𝑧   𝐵,𝑗,𝑘,𝑧   𝑧,𝐶   𝐷,𝑗,𝑘   𝜑,𝑗,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐶(𝑗,𝑘)   𝐷(𝑧)   𝑉(𝑧,𝑗,𝑘)   𝑊(𝑧,𝑗,𝑘)

Proof of Theorem sge0xp
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sge0xp.a . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
2 snex 4938 . . . . . 6 {𝑗} ∈ V
32a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → {𝑗} ∈ V)
4 sge0xp.b . . . . 5 (𝜑𝐵𝑊)
5 xpexg 7002 . . . . 5 (({𝑗} ∈ V ∧ 𝐵𝑊) → ({𝑗} × 𝐵) ∈ V)
63, 4, 5syl2anc 694 . . . 4 (𝜑 → ({𝑗} × 𝐵) ∈ V)
76adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑗𝐴) → ({𝑗} × 𝐵) ∈ V)
8 disjsnxp 39553 . . . 4 Disj 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)
98a1i 11 . . 3 (𝜑Disj 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
10 vex 3234 . . . . . . . 8 𝑗 ∈ V
11 elsnxp 5715 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ V → (𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵) ↔ ∃𝑘𝐵 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩))
1210, 11ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵) ↔ ∃𝑘𝐵 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩)
1312biimpi 206 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵) → ∃𝑘𝐵 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩)
1413adantl 481 . . . . 5 (((𝜑𝑗𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) → ∃𝑘𝐵 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩)
15 sge0xp.1 . . . . . . . 8 𝑘𝜑
16 nfv 1883 . . . . . . . 8 𝑘 𝑗𝐴
1715, 16nfan 1868 . . . . . . 7 𝑘(𝜑𝑗𝐴)
18 nfv 1883 . . . . . . 7 𝑘 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)
1917, 18nfan 1868 . . . . . 6 𝑘((𝜑𝑗𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵))
20 nfv 1883 . . . . . 6 𝑘 𝐷 ∈ (0[,]+∞)
21 sge0xp.z . . . . . . . . . 10 (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ → 𝐷 = 𝐶)
22213ad2ant3 1104 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝐵𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩) → 𝐷 = 𝐶)
23 sge0xp.d . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗𝐴𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
24233expa 1284 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
25243adant3 1101 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝐵𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
2622, 25eqeltrd 2730 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝐵𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩) → 𝐷 ∈ (0[,]+∞))
27263exp 1283 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝐴) → (𝑘𝐵 → (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ → 𝐷 ∈ (0[,]+∞))))
2827adantr 480 . . . . . 6 (((𝜑𝑗𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) → (𝑘𝐵 → (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ → 𝐷 ∈ (0[,]+∞))))
2919, 20, 28rexlimd 3055 . . . . 5 (((𝜑𝑗𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) → (∃𝑘𝐵 𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ → 𝐷 ∈ (0[,]+∞)))
3014, 29mpd 15 . . . 4 (((𝜑𝑗𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) → 𝐷 ∈ (0[,]+∞))
31303impa 1278 . . 3 ((𝜑𝑗𝐴𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵)) → 𝐷 ∈ (0[,]+∞))
321, 7, 9, 31sge0iunmpt 40953 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ↦ 𝐷)) = (Σ^‘(𝑗𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵) ↦ 𝐷)))))
33 iunxpconst 5209 . . . . . 6 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) = (𝐴 × 𝐵)
3433eqcomi 2660 . . . . 5 (𝐴 × 𝐵) = 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)
3534a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) = 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
3635mpteq1d 4771 . . 3 (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐴 × 𝐵) ↦ 𝐷) = (𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ↦ 𝐷))
3736fveq2d 6233 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑧 ∈ (𝐴 × 𝐵) ↦ 𝐷)) = (Σ^‘(𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵) ↦ 𝐷)))
38 nfv 1883 . . . 4 𝑗𝜑
39 nfv 1883 . . . . . 6 𝑧(𝜑𝑗𝐴)
404adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝐵𝑊)
41 simpr 476 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗𝐴)
42 eqid 2651 . . . . . . 7 (𝑖𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑖⟩) = (𝑖𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑖⟩)
4341, 42projf1o 39700 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝐴) → (𝑖𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑖⟩):𝐵1-1-onto→({𝑗} × 𝐵))
44 eqidd 2652 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐵) → (𝑖𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑖⟩) = (𝑖𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑖⟩))
45 opeq2 4434 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑘 → ⟨𝑗, 𝑖⟩ = ⟨𝑗, 𝑘⟩)
4645adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝐵) ∧ 𝑖 = 𝑘) → ⟨𝑗, 𝑖⟩ = ⟨𝑗, 𝑘⟩)
47 simpr 476 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐵) → 𝑘𝐵)
48 opex 4962 . . . . . . . . 9 𝑗, 𝑘⟩ ∈ V
4948a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐵) → ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ V)
5044, 46, 47, 49fvmptd 6327 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐵) → ((𝑖𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑖⟩)‘𝑘) = ⟨𝑗, 𝑘⟩)
5150adantlr 751 . . . . . 6 (((𝜑𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝐵) → ((𝑖𝐵 ↦ ⟨𝑗, 𝑖⟩)‘𝑘) = ⟨𝑗, 𝑘⟩)
5239, 17, 21, 40, 43, 51, 30sge0f1o 40917 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝐴) → (Σ^‘(𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵) ↦ 𝐷)) = (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))
5352eqcomd 2657 . . . 4 ((𝜑𝑗𝐴) → (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) = (Σ^‘(𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵) ↦ 𝐷)))
5438, 53mpteq2da 4776 . . 3 (𝜑 → (𝑗𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶))) = (𝑗𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵) ↦ 𝐷))))
5554fveq2d 6233 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑗𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))) = (Σ^‘(𝑗𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑧 ∈ ({𝑗} × 𝐵) ↦ 𝐷)))))
5632, 37, 553eqtr4rd 2696 1 (𝜑 → (Σ^‘(𝑗𝐴 ↦ (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))) = (Σ^‘(𝑧 ∈ (𝐴 × 𝐵) ↦ 𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wnf 1748  wcel 2030  wrex 2942  Vcvv 3231  {csn 4210  cop 4216   ciun 4552  Disj wdisj 4652  cmpt 4762   × cxp 5141  cfv 5926  (class class class)co 6690  0cc0 9974  +∞cpnf 10109  [,]cicc 12216  Σ^csumge0 40897
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-ac2 9323  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-disj 4653  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-oi 8456  df-card 8803  df-acn 8806  df-ac 8977  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-xadd 11985  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-sum 14461  df-sumge0 40898
This theorem is referenced by:  ovnsubaddlem1  41105
  Copyright terms: Public domain W3C validator