Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0val Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sge0val 41104
Description: The value of the sum of nonnegative extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
sge0val ((𝑋𝑉𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞)) → (Σ^𝐹) = if(+∞ ∈ ran 𝐹, +∞, sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑤𝑦 (𝐹𝑤)), ℝ*, < )))
Distinct variable groups:   𝑤,𝐹,𝑦   𝑦,𝑋
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑦,𝑤)   𝑋(𝑤)

Proof of Theorem sge0val
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-sumge0 41101 . . 3 Σ^ = (𝑥 ∈ V ↦ if(+∞ ∈ ran 𝑥, +∞, sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 dom 𝑥 ∩ Fin) ↦ Σ𝑤𝑦 (𝑥𝑤)), ℝ*, < )))
21a1i 11 . 2 ((𝑋𝑉𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞)) → Σ^ = (𝑥 ∈ V ↦ if(+∞ ∈ ran 𝑥, +∞, sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 dom 𝑥 ∩ Fin) ↦ Σ𝑤𝑦 (𝑥𝑤)), ℝ*, < ))))
3 rneq 5506 . . . . 5 (𝑥 = 𝐹 → ran 𝑥 = ran 𝐹)
43eleq2d 2825 . . . 4 (𝑥 = 𝐹 → (+∞ ∈ ran 𝑥 ↔ +∞ ∈ ran 𝐹))
54adantl 473 . . 3 (((𝑋𝑉𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑥 = 𝐹) → (+∞ ∈ ran 𝑥 ↔ +∞ ∈ ran 𝐹))
6 dmeq 5479 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝐹 → dom 𝑥 = dom 𝐹)
76adantl 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 = 𝐹) → dom 𝑥 = dom 𝐹)
8 fdm 6212 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞) → dom 𝐹 = 𝑋)
98adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 = 𝐹) → dom 𝐹 = 𝑋)
107, 9eqtrd 2794 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 = 𝐹) → dom 𝑥 = 𝑋)
1110pweqd 4307 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 = 𝐹) → 𝒫 dom 𝑥 = 𝒫 𝑋)
1211ineq1d 3956 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 = 𝐹) → (𝒫 dom 𝑥 ∩ Fin) = (𝒫 𝑋 ∩ Fin))
1312mpteq1d 4890 . . . . . . 7 ((𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 = 𝐹) → (𝑦 ∈ (𝒫 dom 𝑥 ∩ Fin) ↦ Σ𝑤𝑦 (𝑥𝑤)) = (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑤𝑦 (𝑥𝑤)))
1413adantll 752 . . . . . 6 (((𝑋𝑉𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑥 = 𝐹) → (𝑦 ∈ (𝒫 dom 𝑥 ∩ Fin) ↦ Σ𝑤𝑦 (𝑥𝑤)) = (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑤𝑦 (𝑥𝑤)))
15 fveq1 6352 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐹 → (𝑥𝑤) = (𝐹𝑤))
1615sumeq2ad 14653 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐹 → Σ𝑤𝑦 (𝑥𝑤) = Σ𝑤𝑦 (𝐹𝑤))
1716mpteq2dv 4897 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐹 → (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑤𝑦 (𝑥𝑤)) = (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑤𝑦 (𝐹𝑤)))
1817adantl 473 . . . . . 6 (((𝑋𝑉𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑥 = 𝐹) → (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑤𝑦 (𝑥𝑤)) = (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑤𝑦 (𝐹𝑤)))
1914, 18eqtrd 2794 . . . . 5 (((𝑋𝑉𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑥 = 𝐹) → (𝑦 ∈ (𝒫 dom 𝑥 ∩ Fin) ↦ Σ𝑤𝑦 (𝑥𝑤)) = (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑤𝑦 (𝐹𝑤)))
2019rneqd 5508 . . . 4 (((𝑋𝑉𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑥 = 𝐹) → ran (𝑦 ∈ (𝒫 dom 𝑥 ∩ Fin) ↦ Σ𝑤𝑦 (𝑥𝑤)) = ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑤𝑦 (𝐹𝑤)))
2120supeq1d 8519 . . 3 (((𝑋𝑉𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑥 = 𝐹) → sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 dom 𝑥 ∩ Fin) ↦ Σ𝑤𝑦 (𝑥𝑤)), ℝ*, < ) = sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑤𝑦 (𝐹𝑤)), ℝ*, < ))
225, 21ifbieq2d 4255 . 2 (((𝑋𝑉𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑥 = 𝐹) → if(+∞ ∈ ran 𝑥, +∞, sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 dom 𝑥 ∩ Fin) ↦ Σ𝑤𝑦 (𝑥𝑤)), ℝ*, < )) = if(+∞ ∈ ran 𝐹, +∞, sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑤𝑦 (𝐹𝑤)), ℝ*, < )))
23 simpr 479 . . 3 ((𝑋𝑉𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞)) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
24 simpl 474 . . 3 ((𝑋𝑉𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞)) → 𝑋𝑉)
25 fex 6654 . . 3 ((𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑋𝑉) → 𝐹 ∈ V)
2623, 24, 25syl2anc 696 . 2 ((𝑋𝑉𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞)) → 𝐹 ∈ V)
27 pnfxr 10304 . . . 4 +∞ ∈ ℝ*
2827a1i 11 . . 3 ((𝑋𝑉𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞)) → +∞ ∈ ℝ*)
29 xrltso 12187 . . . . 5 < Or ℝ*
3029supex 8536 . . . 4 sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑤𝑦 (𝐹𝑤)), ℝ*, < ) ∈ V
3130a1i 11 . . 3 ((𝑋𝑉𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞)) → sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑤𝑦 (𝐹𝑤)), ℝ*, < ) ∈ V)
32 ifexg 4301 . . 3 ((+∞ ∈ ℝ* ∧ sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑤𝑦 (𝐹𝑤)), ℝ*, < ) ∈ V) → if(+∞ ∈ ran 𝐹, +∞, sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑤𝑦 (𝐹𝑤)), ℝ*, < )) ∈ V)
3328, 31, 32syl2anc 696 . 2 ((𝑋𝑉𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞)) → if(+∞ ∈ ran 𝐹, +∞, sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑤𝑦 (𝐹𝑤)), ℝ*, < )) ∈ V)
342, 22, 26, 33fvmptd 6451 1 ((𝑋𝑉𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞)) → (Σ^𝐹) = if(+∞ ∈ ran 𝐹, +∞, sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑤𝑦 (𝐹𝑤)), ℝ*, < )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  Vcvv 3340  cin 3714  ifcif 4230  𝒫 cpw 4302  cmpt 4881  dom cdm 5266  ran crn 5267  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6814  Fincfn 8123  supcsup 8513  0cc0 10148  +∞cpnf 10283  *cxr 10285   < clt 10286  [,]cicc 12391  Σcsu 14635  Σ^csumge0 41100
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-sup 8515  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-fz 12540  df-seq 13016  df-sum 14636  df-sumge0 41101
This theorem is referenced by:  sge0vald  41107
  Copyright terms: Public domain W3C validator