Theorem sge0ssre 41117

Description: If a sum of nonnegative extended reals is real, than any subsum is real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0less.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
sge0less.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
sge0ssre.re	⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
sge0ssre	⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑌)) ∈ ℝ)

Proof of Theorem sge0ssre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0less.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
2		inex1g 4953	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑋 ∩ 𝑌) ∈ V)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∩ 𝑌) ∈ V)
4		sge0less.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
5		fresin 6234	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞) → (𝐹 ↾ 𝑌):(𝑋 ∩ 𝑌)⟶(0[,]+∞))
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝑌):(𝑋 ∩ 𝑌)⟶(0[,]+∞))
7	3, 6	sge0xrcl 41105	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑌)) ∈ ℝ*)
8		sge0ssre.re	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ)
9		mnfxr 10288	. . . 4 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → -∞ ∈ ℝ*)
11		0xr 10278	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ*
12	11	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
13		mnflt0 12152	. . . 4 ⊢ -∞ < 0
14	13	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → -∞ < 0)
15	3, 6	sge0ge0 41104	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑌)))
16	10, 12, 7, 14, 15	xrltletrd 12185	. 2 ⊢ (𝜑 → -∞ < (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑌)))
17	1, 4	sge0less 41112	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑌)) ≤ (Σ^‘𝐹))
18		xrre 12193	. 2 ⊢ ((((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑌)) ∈ ℝ* ∧ (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ) ∧ (-∞ < (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑌)) ∧ (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑌)) ≤ (Σ^‘𝐹))) → (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑌)) ∈ ℝ)
19	7, 8, 16, 17, 18	syl22anc 1478	1 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑌)) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2139  Vcvv 3340   ∩ cin 3714   class class class wbr 4804   ↾ cres 5268  ⟶wf 6045  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  ℝcr 10127  0cc0 10128  +∞cpnf 10263  -∞cmnf 10264  ℝ^*cxr 10265   < clt 10266   ≤ cle 10267  [,]cicc 12371  Σ^{^}csumge0 41082

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-sup 8513  df-oi 8580  df-card 8955  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-rp 12026  df-ico 12374  df-icc 12375  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-seq 12996  df-exp 13055  df-hash 13312  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-clim 14418  df-sum 14616  df-sumge0 41083

This theorem is referenced by:  sge0ssrempt  41125  sge0resplit  41126  sge0split  41129