Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0ss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sge0ss 41128
Description: Change the index set to a subset in a sum of nonnegative extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0ss.kph 𝑘𝜑
sge0ss.b (𝜑𝐵𝑉)
sge0ss.a (𝜑𝐴𝐵)
sge0ss.c ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
sge0ss.c0 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝐶 = 0)
Assertion
Ref Expression
sge0ss (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) = (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem sge0ss
StepHypRef Expression
1 sge0ss.kph . . . 4 𝑘𝜑
2 sge0ss.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝐵)
3 sge0ss.b . . . . 5 (𝜑𝐵𝑉)
4 ssexg 4952 . . . . 5 ((𝐴𝐵𝐵𝑉) → 𝐴 ∈ V)
52, 3, 4syl2anc 696 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ V)
6 difexg 4956 . . . . 5 (𝐵𝑉 → (𝐵𝐴) ∈ V)
73, 6syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ V)
8 disjdif 4180 . . . . 5 (𝐴 ∩ (𝐵𝐴)) = ∅
98a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝐵𝐴)) = ∅)
10 sge0ss.c . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
11 sge0ss.c0 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝐶 = 0)
12 0e0iccpnf 12472 . . . . . 6 0 ∈ (0[,]+∞)
1312a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵𝐴)) → 0 ∈ (0[,]+∞))
1411, 13eqeltrd 2835 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
151, 5, 7, 9, 10, 14sge0splitmpt 41127 . . 3 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)) ↦ 𝐶)) = ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) +𝑒^‘(𝑘 ∈ (𝐵𝐴) ↦ 𝐶))))
1615eqcomd 2762 . 2 (𝜑 → ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) +𝑒^‘(𝑘 ∈ (𝐵𝐴) ↦ 𝐶))) = (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)) ↦ 𝐶)))
171, 11mpteq2da 4891 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝐵𝐴) ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ (𝐵𝐴) ↦ 0))
1817fveq2d 6352 . . . . 5 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵𝐴) ↦ 𝐶)) = (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵𝐴) ↦ 0)))
191, 7sge0z 41091 . . . . 5 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵𝐴) ↦ 0)) = 0)
2018, 19eqtrd 2790 . . . 4 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵𝐴) ↦ 𝐶)) = 0)
2120oveq2d 6825 . . 3 (𝜑 → ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) +𝑒^‘(𝑘 ∈ (𝐵𝐴) ↦ 𝐶))) = ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) +𝑒 0))
22 eqid 2756 . . . . . 6 (𝑘𝐴𝐶) = (𝑘𝐴𝐶)
231, 10, 22fmptdf 6546 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐶):𝐴⟶(0[,]+∞))
245, 23sge0xrcl 41101 . . . 4 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) ∈ ℝ*)
25 xaddid1 12261 . . . 4 ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) ∈ ℝ* → ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) +𝑒 0) = (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)))
2624, 25syl 17 . . 3 (𝜑 → ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) +𝑒 0) = (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)))
27 eqidd 2757 . . 3 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) = (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)))
2821, 26, 273eqtrrd 2795 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) = ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) +𝑒^‘(𝑘 ∈ (𝐵𝐴) ↦ 𝐶))))
29 undif 4189 . . . . . 6 (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)) = 𝐵)
302, 29sylib 208 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)) = 𝐵)
3130eqcomd 2762 . . . 4 (𝜑𝐵 = (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)))
3231mpteq1d 4886 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝐵𝐶) = (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)) ↦ 𝐶))
3332fveq2d 6352 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) = (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)) ↦ 𝐶)))
3416, 28, 333eqtr4d 2800 1 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) = (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1628  wnf 1853  wcel 2135  Vcvv 3336  cdif 3708  cun 3709  cin 3710  wss 3711  c0 4054  cmpt 4877  cfv 6045  (class class class)co 6809  0cc0 10124  +∞cpnf 10259  *cxr 10261   +𝑒 cxad 12133  [,]cicc 12367  Σ^csumge0 41078
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1867  ax-4 1882  ax-5 1984  ax-6 2050  ax-7 2086  ax-8 2137  ax-9 2144  ax-10 2164  ax-11 2179  ax-12 2192  ax-13 2387  ax-ext 2736  ax-rep 4919  ax-sep 4929  ax-nul 4937  ax-pow 4988  ax-pr 5051  ax-un 7110  ax-inf2 8707  ax-cnex 10180  ax-resscn 10181  ax-1cn 10182  ax-icn 10183  ax-addcl 10184  ax-addrcl 10185  ax-mulcl 10186  ax-mulrcl 10187  ax-mulcom 10188  ax-addass 10189  ax-mulass 10190  ax-distr 10191  ax-i2m1 10192  ax-1ne0 10193  ax-1rid 10194  ax-rnegex 10195  ax-rrecex 10196  ax-cnre 10197  ax-pre-lttri 10198  ax-pre-lttrn 10199  ax-pre-ltadd 10200  ax-pre-mulgt0 10201  ax-pre-sup 10202
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1631  df-fal 1634  df-ex 1850  df-nf 1855  df-sb 2043  df-eu 2607  df-mo 2608  df-clab 2743  df-cleq 2749  df-clel 2752  df-nfc 2887  df-ne 2929  df-nel 3032  df-ral 3051  df-rex 3052  df-reu 3053  df-rmo 3054  df-rab 3055  df-v 3338  df-sbc 3573  df-csb 3671  df-dif 3714  df-un 3716  df-in 3718  df-ss 3725  df-pss 3727  df-nul 4055  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4585  df-int 4624  df-iun 4670  df-br 4801  df-opab 4861  df-mpt 4878  df-tr 4901  df-id 5170  df-eprel 5175  df-po 5183  df-so 5184  df-fr 5221  df-se 5222  df-we 5223  df-xp 5268  df-rel 5269  df-cnv 5270  df-co 5271  df-dm 5272  df-rn 5273  df-res 5274  df-ima 5275  df-pred 5837  df-ord 5883  df-on 5884  df-lim 5885  df-suc 5886  df-iota 6008  df-fun 6047  df-fn 6048  df-f 6049  df-f1 6050  df-fo 6051  df-f1o 6052  df-fv 6053  df-isom 6054  df-riota 6770  df-ov 6812  df-oprab 6813  df-mpt2 6814  df-om 7227  df-1st 7329  df-2nd 7330  df-wrecs 7572  df-recs 7633  df-rdg 7671  df-1o 7725  df-oadd 7729  df-er 7907  df-en 8118  df-dom 8119  df-sdom 8120  df-fin 8121  df-sup 8509  df-oi 8576  df-card 8951  df-pnf 10264  df-mnf 10265  df-xr 10266  df-ltxr 10267  df-le 10268  df-sub 10456  df-neg 10457  df-div 10873  df-nn 11209  df-2 11267  df-3 11268  df-n0 11481  df-z 11566  df-uz 11876  df-rp 12022  df-xadd 12136  df-ico 12370  df-icc 12371  df-fz 12516  df-fzo 12656  df-seq 12992  df-exp 13051  df-hash 13308  df-cj 14034  df-re 14035  df-im 14036  df-sqrt 14170  df-abs 14171  df-clim 14414  df-sum 14612  df-sumge0 41079
This theorem is referenced by:  sge0fodjrnlem  41132  meadjiunlem  41181  ovnhoilem1  41317  ovnsubadd2lem  41361
  Copyright terms: Public domain W3C validator