Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0splitsn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sge0splitsn 40976
 Description: Separate out a term in a generalized sum of nonnegative extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0splitsn.ph 𝑘𝜑
sge0splitsn.a (𝜑𝐴𝑉)
sge0splitsn.b (𝜑𝐵𝑊)
sge0splitsn.n (𝜑 → ¬ 𝐵𝐴)
sge0splitsn.c ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
sge0splitsn.d (𝑘 = 𝐵𝐶 = 𝐷)
sge0splitsn.e (𝜑𝐷 ∈ (0[,]+∞))
Assertion
Ref Expression
sge0splitsn (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ 𝐶)) = ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) +𝑒 𝐷))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐷,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem sge0splitsn
StepHypRef Expression
1 sge0splitsn.ph . . 3 𝑘𝜑
2 sge0splitsn.a . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
3 snfi 8079 . . . . 5 {𝐵} ∈ Fin
43a1i 11 . . . 4 (𝜑 → {𝐵} ∈ Fin)
54elexd 3245 . . 3 (𝜑 → {𝐵} ∈ V)
6 sge0splitsn.n . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝐵𝐴)
7 disjsn 4278 . . . 4 ((𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅ ↔ ¬ 𝐵𝐴)
86, 7sylibr 224 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅)
9 sge0splitsn.c . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
10 elsni 4227 . . . . 5 (𝑘 ∈ {𝐵} → 𝑘 = 𝐵)
11 sge0splitsn.d . . . . . 6 (𝑘 = 𝐵𝐶 = 𝐷)
1211adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑘 = 𝐵) → 𝐶 = 𝐷)
1310, 12sylan2 490 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ {𝐵}) → 𝐶 = 𝐷)
14 sge0splitsn.e . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ (0[,]+∞))
1514adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ {𝐵}) → 𝐷 ∈ (0[,]+∞))
1613, 15eqeltrd 2730 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ {𝐵}) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
171, 2, 5, 8, 9, 16sge0splitmpt 40946 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ 𝐶)) = ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) +𝑒^‘(𝑘 ∈ {𝐵} ↦ 𝐶))))
18 sge0splitsn.b . . . 4 (𝜑𝐵𝑊)
191, 18, 14, 11sge0snmptf 40972 . . 3 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐵} ↦ 𝐶)) = 𝐷)
2019oveq2d 6706 . 2 (𝜑 → ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) +𝑒^‘(𝑘 ∈ {𝐵} ↦ 𝐶))) = ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) +𝑒 𝐷))
2117, 20eqtrd 2685 1 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ 𝐶)) = ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) +𝑒 𝐷))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523  Ⅎwnf 1748   ∈ wcel 2030  Vcvv 3231   ∪ cun 3605   ∩ cin 3606  ∅c0 3948  {csn 4210   ↦ cmpt 4762  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  Fincfn 7997  0cc0 9974  +∞cpnf 10109   +𝑒 cxad 11982  [,]cicc 12216  Σ^csumge0 40897 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-xadd 11985  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-sum 14461  df-sumge0 40898 This theorem is referenced by:  hoidmv1lelem2  41127
 Copyright terms: Public domain W3C validator