Theorem sge0snmpt 41121

Description: A sum of a nonnegative extended real is the term. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0snmpt.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
sge0snmpt.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
sge0snmpt.b	⊢ (𝑘 = 𝐴 → 𝐵 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
sge0snmpt	⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐴} ↦ 𝐵)) = 𝐶)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐶,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem sge0snmpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0snmpt.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		elsni 4338	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ {𝐴} → 𝑘 = 𝐴)
3		sge0snmpt.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → 𝐵 = 𝐶)
4	2, 3	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ {𝐴} → 𝐵 = 𝐶)
5	4	adantl 473	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝐴}) → 𝐵 = 𝐶)
6		sge0snmpt.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
7	6	adantr 472	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝐴}) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
8	5, 7	eqeltrd 2839	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝐴}) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
9		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ {𝐴} ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ {𝐴} ↦ 𝐵)
10	8, 9	fmptd 6549	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ {𝐴} ↦ 𝐵):{𝐴}⟶(0[,]+∞))
11	1, 10	sge0sn 41117	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐴} ↦ 𝐵)) = ((𝑘 ∈ {𝐴} ↦ 𝐵)‘𝐴))
12		eqidd 2761	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ {𝐴} ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ {𝐴} ↦ 𝐵))
13	3	adantl 473	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐴) → 𝐵 = 𝐶)
14		snidg 4351	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ {𝐴})
15	1, 14	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ {𝐴})
16	12, 13, 15, 6	fvmptd 6451	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ {𝐴} ↦ 𝐵)‘𝐴) = 𝐶)
17	11, 16	eqtrd 2794	1 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐴} ↦ 𝐵)) = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  {csn 4321   ↦ cmpt 4881  ‘cfv 6049  (class class class)co 6814  0cc0 10148  +∞cpnf 10283  [,]cicc 12391  Σ^{^}csumge0 41100

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-inf2 8713  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-sup 8515  df-oi 8582  df-card 8975  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-rp 12046  df-ico 12394  df-icc 12395  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-seq 13016  df-exp 13075  df-hash 13332  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-clim 14438  df-sum 14636  df-sumge0 41101

This theorem is referenced by:  sge0prle  41139  sge0p1  41152  ovnhoilem1  41339