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Theorem sge0rpcpnf 40956
Description: The sum of an infinite number of a positive constant, is +∞ (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0rpcpnf.a (𝜑𝐴𝑉)
sge0rpcpnf.nfi (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
sge0rpcpnf.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
sge0rpcpnf (𝜑 → (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) = +∞)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem sge0rpcpnf
Dummy variables 𝑛 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sge0rpcpnf.a . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴𝑉)
21adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < +∞) → 𝐴𝑉)
3 0xr 10124 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ ℝ*
43a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
5 pnfxr 10130 . . . . . . . . . . . . . . . 16 +∞ ∈ ℝ*
65a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
7 sge0rpcpnf.b . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
87rpxrd 11911 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
97rpge0d 11914 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
107rpred 11910 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
11 ltpnf 11992 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 < +∞)
1210, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐵 < +∞)
138, 6, 12xrltled 39800 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐵 ≤ +∞)
144, 6, 8, 9, 13eliccxrd 40071 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐵 ∈ (0[,]+∞))
1514adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
16 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
1715, 16fmptd 6425 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞))
1817adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < +∞) → (𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞))
192, 18sge0xrcl 40920 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < +∞) → (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) ∈ ℝ*)
205a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < +∞) → +∞ ∈ ℝ*)
21 simpr 476 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < +∞) → (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < +∞)
2219, 20, 21xrgtned 39851 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < +∞) → +∞ ≠ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)))
2322necomd 2878 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < +∞) → (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) ≠ +∞)
2423neneqd 2828 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < +∞) → ¬ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) = +∞)
252, 18sge0repnf 40921 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < +∞) → ((Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) ∈ ℝ ↔ ¬ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) = +∞))
2624, 25mpbird 247 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < +∞) → (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
2710adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < +∞) → 𝐵 ∈ ℝ)
287rpne0d 11915 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ≠ 0)
2928adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < +∞) → 𝐵 ≠ 0)
3026, 27, 29redivcld 10891 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < +∞) → ((Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) / 𝐵) ∈ ℝ)
31 arch 11327 . . . . 5 (((Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) / 𝐵) ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℕ ((Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) / 𝐵) < 𝑛)
3230, 31syl 17 . . . 4 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < +∞) → ∃𝑛 ∈ ℕ ((Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) / 𝐵) < 𝑛)
33 sge0rpcpnf.nfi . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
34 ishashinf 13285 . . . . . . . . . . . . 13 𝐴 ∈ Fin → ∀𝑛 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ 𝒫 𝐴(#‘𝑦) = 𝑛)
3533, 34syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ 𝒫 𝐴(#‘𝑦) = 𝑛)
3635r19.21bi 2961 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∃𝑦 ∈ 𝒫 𝐴(#‘𝑦) = 𝑛)
37 df-rex 2947 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑦 ∈ 𝒫 𝐴(#‘𝑦) = 𝑛 ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (#‘𝑦) = 𝑛))
3836, 37sylib 208 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (#‘𝑦) = 𝑛))
3938adantlr 751 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < +∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (#‘𝑦) = 𝑛))
40393adant3 1101 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < +∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ((Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) / 𝐵) < 𝑛) → ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (#‘𝑦) = 𝑛))
41 nfv 1883 . . . . . . . . 9 𝑦((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < +∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ((Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) / 𝐵) < 𝑛)
42 simprl 809 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < +∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ((Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) / 𝐵) < 𝑛) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (#‘𝑦) = 𝑛)) → 𝑦 ∈ 𝒫 𝐴)
43 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑦) = 𝑛) → (#‘𝑦) = 𝑛)
44 simpl 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑦) = 𝑛) → 𝑛 ∈ ℕ)
4543, 44eqeltrd 2730 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑦) = 𝑛) → (#‘𝑦) ∈ ℕ)
46 nnnn0 11337 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((#‘𝑦) ∈ ℕ → (#‘𝑦) ∈ ℕ0)
47 vex 3234 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑦 ∈ V
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((#‘𝑦) ∈ ℕ → 𝑦 ∈ V)
49 hashclb 13187 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ V → (𝑦 ∈ Fin ↔ (#‘𝑦) ∈ ℕ0))
5048, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((#‘𝑦) ∈ ℕ → (𝑦 ∈ Fin ↔ (#‘𝑦) ∈ ℕ0))
5146, 50mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((#‘𝑦) ∈ ℕ → 𝑦 ∈ Fin)
5245, 51syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑦) = 𝑛) → 𝑦 ∈ Fin)
5352adantrl 752 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (#‘𝑦) = 𝑛)) → 𝑦 ∈ Fin)
54533ad2antl2 1244 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < +∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ((Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) / 𝐵) < 𝑛) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (#‘𝑦) = 𝑛)) → 𝑦 ∈ Fin)
5542, 54elind 3831 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < +∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ((Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) / 𝐵) < 𝑛) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (#‘𝑦) = 𝑛)) → 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
56 simp3 1083 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < +∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ((Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) / 𝐵) < 𝑛) → ((Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) / 𝐵) < 𝑛)
57263ad2ant1 1102 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < +∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ((Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) / 𝐵) < 𝑛) → (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
58 nnre 11065 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ)
59583ad2ant2 1103 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < +∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ((Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) / 𝐵) < 𝑛) → 𝑛 ∈ ℝ)
607adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < +∞) → 𝐵 ∈ ℝ+)
61603ad2ant1 1102 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < +∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ((Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) / 𝐵) < 𝑛) → 𝐵 ∈ ℝ+)
6257, 59, 61ltdivmul2d 11962 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < +∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ((Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) / 𝐵) < 𝑛) → (((Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) / 𝐵) < 𝑛 ↔ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < (𝑛 · 𝐵)))
6356, 62mpbid 222 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < +∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ((Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) / 𝐵) < 𝑛) → (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < (𝑛 · 𝐵))
6463adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < +∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ((Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) / 𝐵) < 𝑛) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (#‘𝑦) = 𝑛)) → (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < (𝑛 · 𝐵))
6553adantll 750 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (#‘𝑦) = 𝑛)) → 𝑦 ∈ Fin)
663a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (#‘𝑦) = 𝑛)) ∧ 𝑥𝑦) → 0 ∈ ℝ*)
675a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (#‘𝑦) = 𝑛)) ∧ 𝑥𝑦) → +∞ ∈ ℝ*)
688ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (#‘𝑦) = 𝑛)) ∧ 𝑥𝑦) → 𝐵 ∈ ℝ*)
699ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (#‘𝑦) = 𝑛)) ∧ 𝑥𝑦) → 0 ≤ 𝐵)
7012ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (#‘𝑦) = 𝑛)) ∧ 𝑥𝑦) → 𝐵 < +∞)
7166, 67, 68, 69, 70elicod 12262 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (#‘𝑦) = 𝑛)) ∧ 𝑥𝑦) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
7265, 71sge0fsummpt 40925 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (#‘𝑦) = 𝑛)) → (Σ^‘(𝑥𝑦𝐵)) = Σ𝑥𝑦 𝐵)
7310recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
7473ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (#‘𝑦) = 𝑛)) → 𝐵 ∈ ℂ)
75 fsumconst 14566 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑥𝑦 𝐵 = ((#‘𝑦) · 𝐵))
7665, 74, 75syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (#‘𝑦) = 𝑛)) → Σ𝑥𝑦 𝐵 = ((#‘𝑦) · 𝐵))
77 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((#‘𝑦) = 𝑛 → ((#‘𝑦) · 𝐵) = (𝑛 · 𝐵))
7877adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (#‘𝑦) = 𝑛) → ((#‘𝑦) · 𝐵) = (𝑛 · 𝐵))
7978adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (#‘𝑦) = 𝑛)) → ((#‘𝑦) · 𝐵) = (𝑛 · 𝐵))
8072, 76, 793eqtrrd 2690 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (#‘𝑦) = 𝑛)) → (𝑛 · 𝐵) = (Σ^‘(𝑥𝑦𝐵)))
8180adantllr 755 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < +∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (#‘𝑦) = 𝑛)) → (𝑛 · 𝐵) = (Σ^‘(𝑥𝑦𝐵)))
82813adantl3 1239 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < +∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ((Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) / 𝐵) < 𝑛) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (#‘𝑦) = 𝑛)) → (𝑛 · 𝐵) = (Σ^‘(𝑥𝑦𝐵)))
8364, 82breqtrd 4711 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < +∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ((Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) / 𝐵) < 𝑛) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (#‘𝑦) = 𝑛)) → (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < (Σ^‘(𝑥𝑦𝐵)))
8455, 83jca 553 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < +∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ((Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) / 𝐵) < 𝑛) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (#‘𝑦) = 𝑛)) → (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < (Σ^‘(𝑥𝑦𝐵))))
8584ex 449 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < +∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ((Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) / 𝐵) < 𝑛) → ((𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (#‘𝑦) = 𝑛) → (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < (Σ^‘(𝑥𝑦𝐵)))))
8641, 85eximd 2123 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < +∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ((Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) / 𝐵) < 𝑛) → (∃𝑦(𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (#‘𝑦) = 𝑛) → ∃𝑦(𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < (Σ^‘(𝑥𝑦𝐵)))))
8740, 86mpd 15 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < +∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ((Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) / 𝐵) < 𝑛) → ∃𝑦(𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < (Σ^‘(𝑥𝑦𝐵))))
88 df-rex 2947 . . . . . . 7 (∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < (Σ^‘(𝑥𝑦𝐵)) ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < (Σ^‘(𝑥𝑦𝐵))))
8987, 88sylibr 224 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < +∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ ((Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) / 𝐵) < 𝑛) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < (Σ^‘(𝑥𝑦𝐵)))
90893exp 1283 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < +∞) → (𝑛 ∈ ℕ → (((Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) / 𝐵) < 𝑛 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < (Σ^‘(𝑥𝑦𝐵)))))
9190rexlimdv 3059 . . . 4 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < +∞) → (∃𝑛 ∈ ℕ ((Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) / 𝐵) < 𝑛 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < (Σ^‘(𝑥𝑦𝐵))))
9232, 91mpd 15 . . 3 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < +∞) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < (Σ^‘(𝑥𝑦𝐵)))
931adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐴𝑉)
9415adantlr 751 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
95 elpwinss 39530 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑦𝐴)
9695adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑦𝐴)
9793, 94, 96sge0lessmpt 40934 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝑥𝑦𝐵)) ≤ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)))
98 simpr 476 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
9914adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝑦) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
100 eqid 2651 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝑦𝐵) = (𝑥𝑦𝐵)
10199, 100fmptd 6425 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥𝑦𝐵):𝑦⟶(0[,]+∞))
102101adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑥𝑦𝐵):𝑦⟶(0[,]+∞))
10398, 102sge0xrcl 40920 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝑥𝑦𝐵)) ∈ ℝ*)
1041, 17sge0xrcl 40920 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) ∈ ℝ*)
105104adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) ∈ ℝ*)
106103, 105xrlenltd 10142 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((Σ^‘(𝑥𝑦𝐵)) ≤ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) ↔ ¬ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < (Σ^‘(𝑥𝑦𝐵))))
10797, 106mpbid 222 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ¬ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < (Σ^‘(𝑥𝑦𝐵)))
108107ralrimiva 2995 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ¬ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < (Σ^‘(𝑥𝑦𝐵)))
109 ralnex 3021 . . . . 5 (∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ¬ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < (Σ^‘(𝑥𝑦𝐵)) ↔ ¬ ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < (Σ^‘(𝑥𝑦𝐵)))
110108, 109sylib 208 . . . 4 (𝜑 → ¬ ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < (Σ^‘(𝑥𝑦𝐵)))
111110adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < +∞) → ¬ ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < (Σ^‘(𝑥𝑦𝐵)))
11292, 111pm2.65da 599 . 2 (𝜑 → ¬ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < +∞)
113 nltpnft 12033 . . 3 ((Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) ∈ ℝ* → ((Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) = +∞ ↔ ¬ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < +∞))
114104, 113syl 17 . 2 (𝜑 → ((Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) = +∞ ↔ ¬ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) < +∞))
115112, 114mpbird 247 1 (𝜑 → (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) = +∞)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wex 1744  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  Vcvv 3231  cin 3606  wss 3607  𝒫 cpw 4191   class class class wbr 4685  cmpt 4762  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  Fincfn 7997  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974   · cmul 9979  +∞cpnf 10109  *cxr 10111   < clt 10112  cle 10113   / cdiv 10722  cn 11058  0cn0 11330  +crp 11870  [,]cicc 12216  #chash 13157  Σcsu 14460  Σ^csumge0 40897
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-sum 14461  df-sumge0 40898
This theorem is referenced by:  hoicvrrex  41091
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