Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0rernmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sge0rernmpt 41111
Description: If the sum of nonnegative extended reals is not +∞ then no term is +∞. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0rernmpt.xph 𝑥𝜑
sge0rernmpt.a (𝜑𝐴𝑉)
sge0rernmpt.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
sge0rernmpt.re (𝜑 → (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
sge0rernmpt ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem sge0rernmpt
StepHypRef Expression
1 0xr 10249 . . 3 0 ∈ ℝ*
21a1i 11 . 2 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ∈ ℝ*)
3 pnfxr 10255 . . 3 +∞ ∈ ℝ*
43a1i 11 . 2 ((𝜑𝑥𝐴) → +∞ ∈ ℝ*)
5 iccssxr 12420 . . 3 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
6 sge0rernmpt.b . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
75, 6sseldi 3730 . 2 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
8 iccgelb 12394 . . 3 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ 𝐵)
92, 4, 6, 8syl3anc 1463 . 2 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
10 simpr 479 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ ¬ 𝐵 < +∞) → ¬ 𝐵 < +∞)
11 nltpnft 12159 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐵 = +∞ ↔ ¬ 𝐵 < +∞))
127, 11syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐵 = +∞ ↔ ¬ 𝐵 < +∞))
1312adantr 472 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ ¬ 𝐵 < +∞) → (𝐵 = +∞ ↔ ¬ 𝐵 < +∞))
1410, 13mpbird 247 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ ¬ 𝐵 < +∞) → 𝐵 = +∞)
1514eqcomd 2754 . . . 4 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ ¬ 𝐵 < +∞) → +∞ = 𝐵)
16 simpr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
17 eqid 2748 . . . . . . 7 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
1817elrnmpt1 5517 . . . . . 6 ((𝑥𝐴𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → 𝐵 ∈ ran (𝑥𝐴𝐵))
1916, 6, 18syl2anc 696 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ran (𝑥𝐴𝐵))
2019adantr 472 . . . 4 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ ¬ 𝐵 < +∞) → 𝐵 ∈ ran (𝑥𝐴𝐵))
2115, 20eqeltrd 2827 . . 3 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ ¬ 𝐵 < +∞) → +∞ ∈ ran (𝑥𝐴𝐵))
22 sge0rernmpt.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑉)
23 sge0rernmpt.xph . . . . . 6 𝑥𝜑
2423, 6, 17fmptdf 6538 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞))
25 sge0rernmpt.re . . . . 5 (𝜑 → (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
2622, 24, 25sge0rern 41077 . . . 4 (𝜑 → ¬ +∞ ∈ ran (𝑥𝐴𝐵))
2726ad2antrr 764 . . 3 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ ¬ 𝐵 < +∞) → ¬ +∞ ∈ ran (𝑥𝐴𝐵))
2821, 27condan 870 . 2 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 < +∞)
292, 4, 7, 9, 28elicod 12388 1 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1620  wnf 1845  wcel 2127   class class class wbr 4792  cmpt 4869  ran crn 5255  cfv 6037  (class class class)co 6801  cr 10098  0cc0 10099  +∞cpnf 10234  *cxr 10236   < clt 10237  cle 10238  [,)cico 12341  [,]cicc 12342  Σ^csumge0 41051
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-rep 4911  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-inf2 8699  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176  ax-pre-sup 10177
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-fal 1626  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-int 4616  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-se 5214  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-isom 6046  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-om 7219  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7899  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8501  df-oi 8568  df-card 8926  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-div 10848  df-nn 11184  df-2 11242  df-3 11243  df-n0 11456  df-z 11541  df-uz 11851  df-rp 11997  df-ico 12345  df-icc 12346  df-fz 12491  df-fzo 12631  df-seq 12967  df-exp 13026  df-hash 13283  df-cj 14009  df-re 14010  df-im 14011  df-sqrt 14145  df-abs 14146  df-clim 14389  df-sum 14587  df-sumge0 41052
This theorem is referenced by:  sge0ltfirpmpt2  41115  sge0xadd  41124
  Copyright terms: Public domain W3C validator