Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0prle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sge0prle 41038
Description: The sum of a pair of nonnegative extended reals is less than or equal their extended addition. When it is a distinct pair, than equality holds, see sge0pr 41031. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0prle.a (𝜑𝐴𝑉)
sge0prle.b (𝜑𝐵𝑊)
sge0prle.d (𝜑𝐷 ∈ (0[,]+∞))
sge0prle.e (𝜑𝐸 ∈ (0[,]+∞))
sge0prle.cd (𝑘 = 𝐴𝐶 = 𝐷)
sge0prle.ce (𝑘 = 𝐵𝐶 = 𝐸)
Assertion
Ref Expression
sge0prle (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐶)) ≤ (𝐷 +𝑒 𝐸))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐷,𝑘   𝑘,𝐸   𝑘,𝑉   𝑘,𝑊   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem sge0prle
StepHypRef Expression
1 preq1 4375 . . . . . . . 8 (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐵} = {𝐵, 𝐵})
2 dfsn2 4298 . . . . . . . . . 10 {𝐵} = {𝐵, 𝐵}
32eqcomi 2733 . . . . . . . . 9 {𝐵, 𝐵} = {𝐵}
43a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐴 = 𝐵 → {𝐵, 𝐵} = {𝐵})
51, 4eqtrd 2758 . . . . . . 7 (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐵} = {𝐵})
65mpteq1d 4846 . . . . . 6 (𝐴 = 𝐵 → (𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ {𝐵} ↦ 𝐶))
76fveq2d 6308 . . . . 5 (𝐴 = 𝐵 → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐶)) = (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐵} ↦ 𝐶)))
87adantl 473 . . . 4 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐶)) = (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐵} ↦ 𝐶)))
9 sge0prle.b . . . . . 6 (𝜑𝐵𝑊)
10 sge0prle.e . . . . . 6 (𝜑𝐸 ∈ (0[,]+∞))
11 sge0prle.ce . . . . . 6 (𝑘 = 𝐵𝐶 = 𝐸)
129, 10, 11sge0snmpt 41020 . . . . 5 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐵} ↦ 𝐶)) = 𝐸)
1312adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐵} ↦ 𝐶)) = 𝐸)
148, 13eqtrd 2758 . . 3 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐶)) = 𝐸)
15 iccssxr 12370 . . . . . . . 8 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
1615, 10sseldi 3707 . . . . . . 7 (𝜑𝐸 ∈ ℝ*)
1716xaddid2d 39950 . . . . . 6 (𝜑 → (0 +𝑒 𝐸) = 𝐸)
1817eqcomd 2730 . . . . 5 (𝜑𝐸 = (0 +𝑒 𝐸))
19 0xr 10199 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ*
2019a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
21 sge0prle.d . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ (0[,]+∞))
2215, 21sseldi 3707 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ ℝ*)
23 pnfxr 10205 . . . . . . . 8 +∞ ∈ ℝ*
2423a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
25 iccgelb 12344 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝐷 ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ 𝐷)
2620, 24, 21, 25syl3anc 1439 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ 𝐷)
2720, 22, 16, 26xleadd1d 39960 . . . . 5 (𝜑 → (0 +𝑒 𝐸) ≤ (𝐷 +𝑒 𝐸))
2818, 27eqbrtrd 4782 . . . 4 (𝜑𝐸 ≤ (𝐷 +𝑒 𝐸))
2928adantr 472 . . 3 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → 𝐸 ≤ (𝐷 +𝑒 𝐸))
3014, 29eqbrtrd 4782 . 2 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐶)) ≤ (𝐷 +𝑒 𝐸))
31 sge0prle.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑉)
3231adantr 472 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴𝑉)
339adantr 472 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐵𝑊)
3421adantr 472 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐷 ∈ (0[,]+∞))
3510adantr 472 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐸 ∈ (0[,]+∞))
36 sge0prle.cd . . . 4 (𝑘 = 𝐴𝐶 = 𝐷)
37 neqne 2904 . . . . 5 𝐴 = 𝐵𝐴𝐵)
3837adantl 473 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴𝐵)
3932, 33, 34, 35, 36, 11, 38sge0pr 41031 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐶)) = (𝐷 +𝑒 𝐸))
4022, 16xaddcld 12245 . . . . 5 (𝜑 → (𝐷 +𝑒 𝐸) ∈ ℝ*)
41 xrleid 12097 . . . . 5 ((𝐷 +𝑒 𝐸) ∈ ℝ* → (𝐷 +𝑒 𝐸) ≤ (𝐷 +𝑒 𝐸))
4240, 41syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐷 +𝑒 𝐸) ≤ (𝐷 +𝑒 𝐸))
4342adantr 472 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → (𝐷 +𝑒 𝐸) ≤ (𝐷 +𝑒 𝐸))
4439, 43eqbrtrd 4782 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐶)) ≤ (𝐷 +𝑒 𝐸))
4530, 44pm2.61dan 867 1 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐶)) ≤ (𝐷 +𝑒 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383   = wceq 1596  wcel 2103  wne 2896  {csn 4285  {cpr 4287   class class class wbr 4760  cmpt 4837  cfv 6001  (class class class)co 6765  0cc0 10049  +∞cpnf 10184  *cxr 10186  cle 10188   +𝑒 cxad 12058  [,]cicc 12292  Σ^csumge0 40999
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-inf2 8651  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126  ax-pre-sup 10127
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-fal 1602  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-se 5178  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-isom 6010  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-1o 7680  df-oadd 7684  df-er 7862  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-fin 8076  df-sup 8464  df-oi 8531  df-card 8878  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-div 10798  df-nn 11134  df-2 11192  df-3 11193  df-n0 11406  df-z 11491  df-uz 11801  df-rp 11947  df-xadd 12061  df-ico 12295  df-icc 12296  df-fz 12441  df-fzo 12581  df-seq 12917  df-exp 12976  df-hash 13233  df-cj 13959  df-re 13960  df-im 13961  df-sqrt 14095  df-abs 14096  df-clim 14339  df-sum 14537  df-sumge0 41000
This theorem is referenced by:  omeunle  41153
  Copyright terms: Public domain W3C validator