Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0p1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sge0p1 41126
Description: The addition of the next term in a finite sum of nonnegative extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0p1.1 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
sge0p1.2 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
sge0p1.3 (𝑘 = (𝑁 + 1) → 𝐴 = 𝐵)
Assertion
Ref Expression
sge0p1 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)) ↦ 𝐴)) = ((Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴)) +𝑒 𝐵))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem sge0p1
StepHypRef Expression
1 sge0p1.1 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
2 fzsuc 12573 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀...(𝑁 + 1)) = ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}))
31, 2syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑀...(𝑁 + 1)) = ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}))
43mpteq1d 4882 . . 3 (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)) ↦ 𝐴) = (𝑘 ∈ ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}) ↦ 𝐴))
54fveq2d 6348 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)) ↦ 𝐴)) = (Σ^‘(𝑘 ∈ ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}) ↦ 𝐴)))
6 nfv 1984 . . 3 𝑘𝜑
7 ovex 6833 . . . 4 (𝑀...𝑁) ∈ V
87a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ V)
9 snex 5049 . . . 4 {(𝑁 + 1)} ∈ V
109a1i 11 . . 3 (𝜑 → {(𝑁 + 1)} ∈ V)
11 fzp1disj 12584 . . . 4 ((𝑀...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)}) = ∅
1211a1i 11 . . 3 (𝜑 → ((𝑀...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)}) = ∅)
13 0xr 10270 . . . . 5 0 ∈ ℝ*
1413a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 0 ∈ ℝ*)
15 pnfxr 10276 . . . . 5 +∞ ∈ ℝ*
1615a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → +∞ ∈ ℝ*)
17 iccssxr 12441 . . . . 5 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
18 simpl 474 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝜑)
19 fzelp1 12578 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)))
2019adantl 473 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)))
21 sge0p1.2 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
2218, 20, 21syl2anc 696 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
2317, 22sseldi 3734 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
24 iccgelb 12415 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ 𝐴)
2514, 16, 22, 24syl3anc 1473 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 0 ≤ 𝐴)
26 iccleub 12414 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ (0[,]+∞)) → 𝐴 ≤ +∞)
2714, 16, 22, 26syl3anc 1473 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ≤ +∞)
2814, 16, 23, 25, 27eliccxrd 40248 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
29 simpl 474 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)}) → 𝜑)
30 elsni 4330 . . . . . 6 (𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)} → 𝑘 = (𝑁 + 1))
3130adantl 473 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)}) → 𝑘 = (𝑁 + 1))
32 simpr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 = (𝑁 + 1)) → 𝑘 = (𝑁 + 1))
33 peano2uz 11926 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
34 eluzfz2 12534 . . . . . . . 8 ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)))
351, 33, 343syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)))
3635adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 = (𝑁 + 1)) → (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)))
3732, 36eqeltrd 2831 . . . . 5 ((𝜑𝑘 = (𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)))
3829, 31, 37syl2anc 696 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)}) → 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)))
3929, 38, 21syl2anc 696 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)}) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
406, 8, 10, 12, 28, 39sge0splitmpt 41123 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}) ↦ 𝐴)) = ((Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴)) +𝑒^‘(𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)} ↦ 𝐴))))
41 ovex 6833 . . . . 5 (𝑁 + 1) ∈ V
4241a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ V)
43 id 22 . . . . 5 (𝜑𝜑)
44 eleq1 2819 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑁 + 1) → (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)) ↔ (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))))
4544anbi2d 742 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝑁 + 1) → ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))) ↔ (𝜑 ∧ (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)))))
46 sge0p1.3 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑁 + 1) → 𝐴 = 𝐵)
4746eleq1d 2816 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝑁 + 1) → (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)))
4845, 47imbi12d 333 . . . . . . 7 (𝑘 = (𝑁 + 1) → (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))))
4948, 21vtoclg 3398 . . . . . 6 ((𝑁 + 1) ∈ V → ((𝜑 ∧ (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞)))
5041, 49ax-mp 5 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
5143, 35, 50syl2anc 696 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ (0[,]+∞))
5242, 51, 46sge0snmpt 41095 . . 3 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)} ↦ 𝐴)) = 𝐵)
5352oveq2d 6821 . 2 (𝜑 → ((Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴)) +𝑒^‘(𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)} ↦ 𝐴))) = ((Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴)) +𝑒 𝐵))
545, 40, 533eqtrd 2790 1 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)) ↦ 𝐴)) = ((Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴)) +𝑒 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1624  wcel 2131  Vcvv 3332  cun 3705  cin 3706  c0 4050  {csn 4313   class class class wbr 4796  cmpt 4873  cfv 6041  (class class class)co 6805  0cc0 10120  1c1 10121   + caddc 10123  +∞cpnf 10255  *cxr 10257  cle 10259  cuz 11871   +𝑒 cxad 12129  [,]cicc 12363  ...cfz 12511  Σ^csumge0 41074
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-inf2 8703  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197  ax-pre-sup 10198
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-fal 1630  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-se 5218  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-isom 6050  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-oadd 7725  df-er 7903  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-sup 8505  df-oi 8572  df-card 8947  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-div 10869  df-nn 11205  df-2 11263  df-3 11264  df-n0 11477  df-z 11562  df-uz 11872  df-rp 12018  df-xadd 12132  df-ico 12366  df-icc 12367  df-fz 12512  df-fzo 12652  df-seq 12988  df-exp 13047  df-hash 13304  df-cj 14030  df-re 14031  df-im 14032  df-sqrt 14166  df-abs 14167  df-clim 14410  df-sum 14608  df-sumge0 41075
This theorem is referenced by:  caratheodorylem1  41238
  Copyright terms: Public domain W3C validator