Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0le Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sge0le 41127
 Description: If all of the terms of sums compare, so do the sums. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0le.x (𝜑𝑋𝑉)
sge0le.F (𝜑𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
sge0le.g (𝜑𝐺:𝑋⟶(0[,]+∞))
sge0le.le ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐹𝑥) ≤ (𝐺𝑥))
Assertion
Ref Expression
sge0le (𝜑 → (Σ^𝐹) ≤ (Σ^𝐺))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem sge0le
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sge0le.x . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑉)
2 sge0le.F . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
31, 2sge0xrcl 41105 . . . . 5 (𝜑 → (Σ^𝐹) ∈ ℝ*)
4 pnfge 12157 . . . . 5 ((Σ^𝐹) ∈ ℝ* → (Σ^𝐹) ≤ +∞)
53, 4syl 17 . . . 4 (𝜑 → (Σ^𝐹) ≤ +∞)
65adantr 472 . . 3 ((𝜑 ∧ (Σ^𝐺) = +∞) → (Σ^𝐹) ≤ +∞)
7 id 22 . . . . 5 ((Σ^𝐺) = +∞ → (Σ^𝐺) = +∞)
87eqcomd 2766 . . . 4 ((Σ^𝐺) = +∞ → +∞ = (Σ^𝐺))
98adantl 473 . . 3 ((𝜑 ∧ (Σ^𝐺) = +∞) → +∞ = (Σ^𝐺))
106, 9breqtrd 4830 . 2 ((𝜑 ∧ (Σ^𝐺) = +∞) → (Σ^𝐹) ≤ (Σ^𝐺))
11 elinel2 3943 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → 𝑦 ∈ Fin)
1211adantl 473 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝑦 ∈ Fin)
132adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
141adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ +∞ ∈ ran 𝐹) → 𝑋𝑉)
15 sge0le.g . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐺:𝑋⟶(0[,]+∞))
1615adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ +∞ ∈ ran 𝐹) → 𝐺:𝑋⟶(0[,]+∞))
17 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ +∞ ∈ ran 𝐹) → +∞ ∈ ran 𝐹)
182ffnd 6207 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐹 Fn 𝑋)
19 fvelrnb 6405 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 Fn 𝑋 → (+∞ ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑥𝑋 (𝐹𝑥) = +∞))
2018, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (+∞ ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑥𝑋 (𝐹𝑥) = +∞))
2120adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ +∞ ∈ ran 𝐹) → (+∞ ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑥𝑋 (𝐹𝑥) = +∞))
2217, 21mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ +∞ ∈ ran 𝐹) → ∃𝑥𝑋 (𝐹𝑥) = +∞)
23 iccssxr 12449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2415ffvelrnda 6522 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐺𝑥) ∈ (0[,]+∞))
2523, 24sseldi 3742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐺𝑥) ∈ ℝ*)
2625adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝐹𝑥) = +∞) → (𝐺𝑥) ∈ ℝ*)
27 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐹𝑥) = +∞ → (𝐹𝑥) = +∞)
2827eqcomd 2766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐹𝑥) = +∞ → +∞ = (𝐹𝑥))
2928adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝐹𝑥) = +∞) → +∞ = (𝐹𝑥))
30 sge0le.le . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐹𝑥) ≤ (𝐺𝑥))
3130adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝐹𝑥) = +∞) → (𝐹𝑥) ≤ (𝐺𝑥))
3229, 31eqbrtrd 4826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝐹𝑥) = +∞) → +∞ ≤ (𝐺𝑥))
3326, 32xrgepnfd 40045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝐹𝑥) = +∞) → (𝐺𝑥) = +∞)
3433eqcomd 2766 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝐹𝑥) = +∞) → +∞ = (𝐺𝑥))
3515ffnd 6207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐺 Fn 𝑋)
3635adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐺 Fn 𝑋)
37 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑥𝑋)
38 fnfvelrn 6519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐺 Fn 𝑋𝑥𝑋) → (𝐺𝑥) ∈ ran 𝐺)
3936, 37, 38syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐺𝑥) ∈ ran 𝐺)
4039adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝐹𝑥) = +∞) → (𝐺𝑥) ∈ ran 𝐺)
4134, 40eqeltrd 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝐹𝑥) = +∞) → +∞ ∈ ran 𝐺)
4241ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐹𝑥) = +∞ → +∞ ∈ ran 𝐺))
4342adantlr 753 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ +∞ ∈ ran 𝐹) ∧ 𝑥𝑋) → ((𝐹𝑥) = +∞ → +∞ ∈ ran 𝐺))
4443rexlimdva 3169 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ +∞ ∈ ran 𝐹) → (∃𝑥𝑋 (𝐹𝑥) = +∞ → +∞ ∈ ran 𝐺))
4522, 44mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ +∞ ∈ ran 𝐹) → +∞ ∈ ran 𝐺)
4614, 16, 45sge0pnfval 41093 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ +∞ ∈ ran 𝐹) → (Σ^𝐺) = +∞)
4746adantlr 753 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ +∞ ∈ ran 𝐹) → (Σ^𝐺) = +∞)
48 simplr 809 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ +∞ ∈ ran 𝐹) → ¬ (Σ^𝐺) = +∞)
4947, 48pm2.65da 601 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) → ¬ +∞ ∈ ran 𝐹)
5013, 49fge0iccico 41090 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) → 𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞))
5150adantr 472 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞))
52 elpwinss 39715 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → 𝑦𝑋)
5352adantl 473 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝑦𝑋)
5451, 53fssresd 6232 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (𝐹𝑦):𝑦⟶(0[,)+∞))
5512, 54sge0fsum 41107 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝐹𝑦)) = Σ𝑥𝑦 ((𝐹𝑦)‘𝑥))
56 rge0ssre 12473 . . . . . . . 8 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
5754ffvelrnda 6522 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦) → ((𝐹𝑦)‘𝑥) ∈ (0[,)+∞))
5856, 57sseldi 3742 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦) → ((𝐹𝑦)‘𝑥) ∈ ℝ)
5912, 58fsumrecl 14664 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → Σ𝑥𝑦 ((𝐹𝑦)‘𝑥) ∈ ℝ)
6055, 59eqeltrd 2839 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝐹𝑦)) ∈ ℝ)
6115adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) → 𝐺:𝑋⟶(0[,]+∞))
621adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) → 𝑋𝑉)
63 simpr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) → ¬ (Σ^𝐺) = +∞)
6462, 61sge0repnf 41106 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) → ((Σ^𝐺) ∈ ℝ ↔ ¬ (Σ^𝐺) = +∞))
6563, 64mpbird 247 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) → (Σ^𝐺) ∈ ℝ)
6662, 61, 65sge0rern 41108 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) → ¬ +∞ ∈ ran 𝐺)
6761, 66fge0iccico 41090 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) → 𝐺:𝑋⟶(0[,)+∞))
6867adantr 472 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝐺:𝑋⟶(0[,)+∞))
6968, 53fssresd 6232 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (𝐺𝑦):𝑦⟶(0[,)+∞))
7012, 69sge0fsum 41107 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝐺𝑦)) = Σ𝑥𝑦 ((𝐺𝑦)‘𝑥))
7169ffvelrnda 6522 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦) → ((𝐺𝑦)‘𝑥) ∈ (0[,)+∞))
7256, 71sseldi 3742 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦) → ((𝐺𝑦)‘𝑥) ∈ ℝ)
7312, 72fsumrecl 14664 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → Σ𝑥𝑦 ((𝐺𝑦)‘𝑥) ∈ ℝ)
7470, 73eqeltrd 2839 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝐺𝑦)) ∈ ℝ)
7565adantr 472 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (Σ^𝐺) ∈ ℝ)
76 simplll 815 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦) → 𝜑)
7753sselda 3744 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑥𝑋)
7876, 77, 30syl2anc 696 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦) → (𝐹𝑥) ≤ (𝐺𝑥))
79 fvres 6368 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝑦 → ((𝐹𝑦)‘𝑥) = (𝐹𝑥))
8079adantl 473 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦) → ((𝐹𝑦)‘𝑥) = (𝐹𝑥))
81 fvres 6368 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝑦 → ((𝐺𝑦)‘𝑥) = (𝐺𝑥))
8281adantl 473 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦) → ((𝐺𝑦)‘𝑥) = (𝐺𝑥))
8380, 82breq12d 4817 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦) → (((𝐹𝑦)‘𝑥) ≤ ((𝐺𝑦)‘𝑥) ↔ (𝐹𝑥) ≤ (𝐺𝑥)))
8478, 83mpbird 247 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦) → ((𝐹𝑦)‘𝑥) ≤ ((𝐺𝑦)‘𝑥))
8512, 58, 72, 84fsumle 14730 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → Σ𝑥𝑦 ((𝐹𝑦)‘𝑥) ≤ Σ𝑥𝑦 ((𝐺𝑦)‘𝑥))
8655, 70breq12d 4817 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → ((Σ^‘(𝐹𝑦)) ≤ (Σ^‘(𝐺𝑦)) ↔ Σ𝑥𝑦 ((𝐹𝑦)‘𝑥) ≤ Σ𝑥𝑦 ((𝐺𝑦)‘𝑥)))
8785, 86mpbird 247 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝐹𝑦)) ≤ (Σ^‘(𝐺𝑦)))
881adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝑋𝑉)
8915adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝐺:𝑋⟶(0[,]+∞))
9088, 89sge0less 41112 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝐺𝑦)) ≤ (Σ^𝐺))
9190adantlr 753 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝐺𝑦)) ≤ (Σ^𝐺))
9260, 74, 75, 87, 91letrd 10386 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝐹𝑦)) ≤ (Σ^𝐺))
9392ralrimiva 3104 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) → ∀𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹𝑦)) ≤ (Σ^𝐺))
9462, 61sge0xrcl 41105 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) → (Σ^𝐺) ∈ ℝ*)
9562, 13, 94sge0lefi 41118 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) → ((Σ^𝐹) ≤ (Σ^𝐺) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(Σ^‘(𝐹𝑦)) ≤ (Σ^𝐺)))
9693, 95mpbird 247 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐺) = +∞) → (Σ^𝐹) ≤ (Σ^𝐺))
9710, 96pm2.61dan 867 1 (𝜑 → (Σ^𝐹) ≤ (Σ^𝐺))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  ∀wral 3050  ∃wrex 3051   ∩ cin 3714   ⊆ wss 3715  𝒫 cpw 4302   class class class wbr 4804  ran crn 5267   ↾ cres 5268   Fn wfn 6044  ⟶wf 6045  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  Fincfn 8121  ℝcr 10127  0cc0 10128  +∞cpnf 10263  ℝ*cxr 10265   ≤ cle 10267  [,)cico 12370  [,]cicc 12371  Σcsu 14615  Σ^csumge0 41082 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-sup 8513  df-oi 8580  df-card 8955  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-rp 12026  df-ico 12374  df-icc 12375  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-seq 12996  df-exp 13055  df-hash 13312  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-clim 14418  df-sum 14616  df-sumge0 41083 This theorem is referenced by:  sge0lempt  41130
 Copyright terms: Public domain W3C validator