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Theorem sge0isum 40962
Description: If a series of nonnegative reals is convergent, then it agrees with the generalized sum of nonnegative extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0isum.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
sge0isum.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
sge0isum.f (𝜑𝐹:𝑍⟶(0[,)+∞))
sge0isum.g 𝐺 = seq𝑀( + , 𝐹)
sge0isum.gcnv (𝜑𝐺𝐵)
Assertion
Ref Expression
sge0isum (𝜑 → (Σ^𝐹) = 𝐵)

Proof of Theorem sge0isum
Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sge0isum.z . . . . . 6 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 fvex 6239 . . . . . 6 (ℤ𝑀) ∈ V
31, 2eqeltri 2726 . . . . 5 𝑍 ∈ V
43a1i 11 . . . 4 (𝜑𝑍 ∈ V)
5 sge0isum.f . . . . 5 (𝜑𝐹:𝑍⟶(0[,)+∞))
6 icossicc 12298 . . . . . 6 (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
76a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞))
85, 7fssd 6095 . . . 4 (𝜑𝐹:𝑍⟶(0[,]+∞))
94, 8sge0xrcl 40920 . . 3 (𝜑 → (Σ^𝐹) ∈ ℝ*)
10 sge0isum.m . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
11 sge0isum.g . . . . . 6 𝐺 = seq𝑀( + , 𝐹)
12 eqidd 2652 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
13 rge0ssre 12318 . . . . . . 7 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
145ffvelrnda 6399 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ (0[,)+∞))
1513, 14sseldi 3634 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
16 0xr 10124 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
1716a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → 0 ∈ ℝ*)
18 pnfxr 10130 . . . . . . . 8 +∞ ∈ ℝ*
1918a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → +∞ ∈ ℝ*)
20 icogelb 12263 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝑘) ∈ (0[,)+∞)) → 0 ≤ (𝐹𝑘))
2117, 19, 14, 20syl3anc 1366 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → 0 ≤ (𝐹𝑘))
22 seqex 12843 . . . . . . . . . . 11 seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V
2311, 22eqeltri 2726 . . . . . . . . . 10 𝐺 ∈ V
2423a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺 ∈ V)
25 sge0isum.gcnv . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺𝐵)
26 climcl 14274 . . . . . . . . . 10 (𝐺𝐵𝐵 ∈ ℂ)
2725, 26syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
28 breldmg 5362 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐺𝐵) → 𝐺 ∈ dom ⇝ )
2924, 27, 25, 28syl3anc 1366 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ dom ⇝ )
3011a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝐺 = seq𝑀( + , 𝐹))
3130fveq1d 6231 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐺𝑗) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))
321eleq2i 2722 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
3332biimpi 206 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
3433adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
35 simpll 805 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → 𝜑)
36 elfzuz 12376 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
3736, 1syl6eleqr 2741 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) → 𝑘𝑍)
3837adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → 𝑘𝑍)
3935, 38, 15syl2anc 694 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
40 readdcl 10057 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ ℝ) → (𝑘 + 𝑖) ∈ ℝ)
4140adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ ℝ)) → (𝑘 + 𝑖) ∈ ℝ)
4234, 39, 41seqcl 12861 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℝ)
4331, 42eqeltrd 2730 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐺𝑗) ∈ ℝ)
4443recnd 10106 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐺𝑗) ∈ ℂ)
4544ralrimiva 2995 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑗𝑍 (𝐺𝑗) ∈ ℂ)
461climbdd 14446 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐺 ∈ dom ⇝ ∧ ∀𝑗𝑍 (𝐺𝑗) ∈ ℂ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 (abs‘(𝐺𝑗)) ≤ 𝑥)
4710, 29, 45, 46syl3anc 1366 . . . . . . 7 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 (abs‘(𝐺𝑗)) ≤ 𝑥)
4843ad4ant13 1315 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ (abs‘(𝐺𝑗)) ≤ 𝑥) → (𝐺𝑗) ∈ ℝ)
4944ad4ant13 1315 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ (abs‘(𝐺𝑗)) ≤ 𝑥) → (𝐺𝑗) ∈ ℂ)
5049abscld 14219 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ (abs‘(𝐺𝑗)) ≤ 𝑥) → (abs‘(𝐺𝑗)) ∈ ℝ)
51 simpllr 815 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ (abs‘(𝐺𝑗)) ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
5248leabsd 14197 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ (abs‘(𝐺𝑗)) ≤ 𝑥) → (𝐺𝑗) ≤ (abs‘(𝐺𝑗)))
53 simpr 476 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ (abs‘(𝐺𝑗)) ≤ 𝑥) → (abs‘(𝐺𝑗)) ≤ 𝑥)
5448, 50, 51, 52, 53letrd 10232 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ (abs‘(𝐺𝑗)) ≤ 𝑥) → (𝐺𝑗) ≤ 𝑥)
5554ex 449 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) → ((abs‘(𝐺𝑗)) ≤ 𝑥 → (𝐺𝑗) ≤ 𝑥))
5655ralimdva 2991 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑗𝑍 (abs‘(𝐺𝑗)) ≤ 𝑥 → ∀𝑗𝑍 (𝐺𝑗) ≤ 𝑥))
5756reximdva 3046 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 (abs‘(𝐺𝑗)) ≤ 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 (𝐺𝑗) ≤ 𝑥))
5847, 57mpd 15 . . . . . 6 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 (𝐺𝑗) ≤ 𝑥)
591, 11, 10, 12, 15, 21, 58isumsup2 14622 . . . . 5 (𝜑𝐺 ⇝ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
601, 10, 59, 43climrecl 14358 . . . 4 (𝜑 → sup(ran 𝐺, ℝ, < ) ∈ ℝ)
6160rexrd 10127 . . 3 (𝜑 → sup(ran 𝐺, ℝ, < ) ∈ ℝ*)
625feqmptd 6288 . . . . 5 (𝜑𝐹 = (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘)))
6362fveq2d 6233 . . . 4 (𝜑 → (Σ^𝐹) = (Σ^‘(𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘))))
64 mpteq1 4770 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = ∅ → (𝑘𝑦 ↦ (𝐹𝑘)) = (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝐹𝑘)))
6564fveq2d 6233 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = ∅ → (Σ^‘(𝑘𝑦 ↦ (𝐹𝑘))) = (Σ^‘(𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝐹𝑘))))
66 mpt0 6059 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝐹𝑘)) = ∅
6766fveq2i 6232 . . . . . . . . . . . 12 ^‘(𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝐹𝑘))) = (Σ^‘∅)
68 sge00 40911 . . . . . . . . . . . 12 ^‘∅) = 0
6967, 68eqtri 2673 . . . . . . . . . . 11 ^‘(𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝐹𝑘))) = 0
7069a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = ∅ → (Σ^‘(𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝐹𝑘))) = 0)
7165, 70eqtrd 2685 . . . . . . . . 9 (𝑦 = ∅ → (Σ^‘(𝑘𝑦 ↦ (𝐹𝑘))) = 0)
7271adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑦 = ∅) → (Σ^‘(𝑘𝑦 ↦ (𝐹𝑘))) = 0)
73 0red 10079 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
7440adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ ℝ)) → (𝑘 + 𝑖) ∈ ℝ)
751, 10, 15, 74seqf 12862 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶ℝ)
7611a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐺 = seq𝑀( + , 𝐹))
7776feq1d 6068 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐺:𝑍⟶ℝ ↔ seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶ℝ))
7875, 77mpbird 247 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐺:𝑍⟶ℝ)
79 frn 6091 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺:𝑍⟶ℝ → ran 𝐺 ⊆ ℝ)
8078, 79syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ran 𝐺 ⊆ ℝ)
81 ffun 6086 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺:𝑍⟶ℝ → Fun 𝐺)
8278, 81syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → Fun 𝐺)
83 uzid 11740 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
8410, 83syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
851eqcomi 2660 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℤ𝑀) = 𝑍
8684, 85syl6eleq 2740 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀𝑍)
87 fdm 6089 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐺:𝑍⟶ℝ → dom 𝐺 = 𝑍)
8878, 87syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → dom 𝐺 = 𝑍)
8988eqcomd 2657 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑍 = dom 𝐺)
9086, 89eleqtrd 2732 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ∈ dom 𝐺)
91 fvelrn 6392 . . . . . . . . . . . 12 ((Fun 𝐺𝑀 ∈ dom 𝐺) → (𝐺𝑀) ∈ ran 𝐺)
9282, 90, 91syl2anc 694 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐺𝑀) ∈ ran 𝐺)
9380, 92sseldd 3637 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐺𝑀) ∈ ℝ)
9416a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
9518a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
965, 86ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹𝑀) ∈ (0[,)+∞))
97 icogelb 12263 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝑀) ∈ (0[,)+∞)) → 0 ≤ (𝐹𝑀))
9894, 95, 96, 97syl3anc 1366 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ≤ (𝐹𝑀))
9911fveq1i 6230 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺𝑀) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑀)
10099a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐺𝑀) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑀))
101 seq1 12854 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℤ → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑀) = (𝐹𝑀))
10210, 101syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑀) = (𝐹𝑀))
103100, 102eqtr2d 2686 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹𝑀) = (𝐺𝑀))
10498, 103breqtrd 4711 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ≤ (𝐺𝑀))
105 ne0i 3954 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺𝑀) ∈ ran 𝐺 → ran 𝐺 ≠ ∅)
10692, 105syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ran 𝐺 ≠ ∅)
107 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑧 ∈ ran 𝐺) → 𝑧 ∈ ran 𝐺)
108 ffn 6083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐺:𝑍⟶ℝ → 𝐺 Fn 𝑍)
10978, 108syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝐺 Fn 𝑍)
110 fvelrnb 6282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐺 Fn 𝑍 → (𝑧 ∈ ran 𝐺 ↔ ∃𝑗𝑍 (𝐺𝑗) = 𝑧))
111109, 110syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑧 ∈ ran 𝐺 ↔ ∃𝑗𝑍 (𝐺𝑗) = 𝑧))
112111adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑧 ∈ ran 𝐺) → (𝑧 ∈ ran 𝐺 ↔ ∃𝑗𝑍 (𝐺𝑗) = 𝑧))
113107, 112mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑧 ∈ ran 𝐺) → ∃𝑗𝑍 (𝐺𝑗) = 𝑧)
114113adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ ∀𝑗𝑍 (𝐺𝑗) ≤ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝐺) → ∃𝑗𝑍 (𝐺𝑗) = 𝑧)
115 nfv 1883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑗𝜑
116 nfra1 2970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑗𝑗𝑍 (𝐺𝑗) ≤ 𝑥
117115, 116nfan 1868 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑗(𝜑 ∧ ∀𝑗𝑍 (𝐺𝑗) ≤ 𝑥)
118 nfv 1883 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑗 𝑧 ∈ ran 𝐺
119117, 118nfan 1868 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑗((𝜑 ∧ ∀𝑗𝑍 (𝐺𝑗) ≤ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝐺)
120 nfv 1883 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑗 𝑧𝑥
121 rspa 2959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((∀𝑗𝑍 (𝐺𝑗) ≤ 𝑥𝑗𝑍) → (𝐺𝑗) ≤ 𝑥)
1221213adant3 1101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((∀𝑗𝑍 (𝐺𝑗) ≤ 𝑥𝑗𝑍 ∧ (𝐺𝑗) = 𝑧) → (𝐺𝑗) ≤ 𝑥)
123 simp3 1083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((∀𝑗𝑍 (𝐺𝑗) ≤ 𝑥𝑗𝑍 ∧ (𝐺𝑗) = 𝑧) → (𝐺𝑗) = 𝑧)
124 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐺𝑗) = 𝑧 → (𝐺𝑗) = 𝑧)
125124eqcomd 2657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐺𝑗) = 𝑧𝑧 = (𝐺𝑗))
126125adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐺𝑗) ≤ 𝑥 ∧ (𝐺𝑗) = 𝑧) → 𝑧 = (𝐺𝑗))
127 simpl 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐺𝑗) ≤ 𝑥 ∧ (𝐺𝑗) = 𝑧) → (𝐺𝑗) ≤ 𝑥)
128126, 127eqbrtrd 4707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐺𝑗) ≤ 𝑥 ∧ (𝐺𝑗) = 𝑧) → 𝑧𝑥)
129122, 123, 128syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((∀𝑗𝑍 (𝐺𝑗) ≤ 𝑥𝑗𝑍 ∧ (𝐺𝑗) = 𝑧) → 𝑧𝑥)
1301293exp 1283 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∀𝑗𝑍 (𝐺𝑗) ≤ 𝑥 → (𝑗𝑍 → ((𝐺𝑗) = 𝑧𝑧𝑥)))
131130ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ ∀𝑗𝑍 (𝐺𝑗) ≤ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝐺) → (𝑗𝑍 → ((𝐺𝑗) = 𝑧𝑧𝑥)))
132119, 120, 131rexlimd 3055 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ ∀𝑗𝑍 (𝐺𝑗) ≤ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝐺) → (∃𝑗𝑍 (𝐺𝑗) = 𝑧𝑧𝑥))
133114, 132mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ ∀𝑗𝑍 (𝐺𝑗) ≤ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝐺) → 𝑧𝑥)
134133ralrimiva 2995 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ∀𝑗𝑍 (𝐺𝑗) ≤ 𝑥) → ∀𝑧 ∈ ran 𝐺 𝑧𝑥)
135134ex 449 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (∀𝑗𝑍 (𝐺𝑗) ≤ 𝑥 → ∀𝑧 ∈ ran 𝐺 𝑧𝑥))
136135reximdv 3045 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 (𝐺𝑗) ≤ 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran 𝐺 𝑧𝑥))
13758, 136mpd 15 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran 𝐺 𝑧𝑥)
138 suprub 11022 . . . . . . . . . . 11 (((ran 𝐺 ⊆ ℝ ∧ ran 𝐺 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran 𝐺 𝑧𝑥) ∧ (𝐺𝑀) ∈ ran 𝐺) → (𝐺𝑀) ≤ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
13980, 106, 137, 92, 138syl31anc 1369 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐺𝑀) ≤ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
14073, 93, 60, 104, 139letrd 10232 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
141140ad2antrr 762 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑦 = ∅) → 0 ≤ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
14272, 141eqbrtrd 4707 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑦 = ∅) → (Σ^‘(𝑘𝑦 ↦ (𝐹𝑘))) ≤ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
143 simpr 476 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin))
144 simpll 805 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑦) → 𝜑)
145 elpwinss 39530 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) → 𝑦𝑍)
146145sselda 3636 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝑘𝑦) → 𝑘𝑍)
147146adantll 750 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑦) → 𝑘𝑍)
1486, 14sseldi 3634 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ (0[,]+∞))
149144, 147, 148syl2anc 694 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑦) → (𝐹𝑘) ∈ (0[,]+∞))
150 eqid 2651 . . . . . . . . . . 11 (𝑘𝑦 ↦ (𝐹𝑘)) = (𝑘𝑦 ↦ (𝐹𝑘))
151149, 150fmptd 6425 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → (𝑘𝑦 ↦ (𝐹𝑘)):𝑦⟶(0[,]+∞))
152143, 151sge0xrcl 40920 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝑘𝑦 ↦ (𝐹𝑘))) ∈ ℝ*)
153152adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → (Σ^‘(𝑘𝑦 ↦ (𝐹𝑘))) ∈ ℝ*)
154 fzfid 12812 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )) ∈ Fin)
155 elfzuz 12376 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
156155, 85syl6eleq 2740 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )) → 𝑘𝑍)
157156, 148sylan2 490 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < ))) → (𝐹𝑘) ∈ (0[,]+∞))
158 eqid 2651 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )) ↦ (𝐹𝑘)) = (𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )) ↦ (𝐹𝑘))
159157, 158fmptd 6425 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )) ↦ (𝐹𝑘)):(𝑀...sup(𝑦, ℝ, < ))⟶(0[,]+∞))
160159adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → (𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )) ↦ (𝐹𝑘)):(𝑀...sup(𝑦, ℝ, < ))⟶(0[,]+∞))
161154, 160sge0xrcl 40920 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )) ↦ (𝐹𝑘))) ∈ ℝ*)
162161adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )) ↦ (𝐹𝑘))) ∈ ℝ*)
16361adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → sup(ran 𝐺, ℝ, < ) ∈ ℝ*)
164163adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → sup(ran 𝐺, ℝ, < ) ∈ ℝ*)
165 simpll 805 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < ))) → 𝜑)
166156adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < ))) → 𝑘𝑍)
167165, 166, 148syl2anc 694 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < ))) → (𝐹𝑘) ∈ (0[,]+∞))
168 elinel2 3833 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) → 𝑦 ∈ Fin)
1691, 145, 168ssuzfz 39878 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) → 𝑦 ⊆ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )))
170169adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → 𝑦 ⊆ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )))
171154, 167, 170sge0lessmpt 40934 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝑘𝑦 ↦ (𝐹𝑘))) ≤ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )) ↦ (𝐹𝑘))))
172171adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → (Σ^‘(𝑘𝑦 ↦ (𝐹𝑘))) ≤ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )) ↦ (𝐹𝑘))))
17380adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → ran 𝐺 ⊆ ℝ)
174173adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → ran 𝐺 ⊆ ℝ)
175106adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → ran 𝐺 ≠ ∅)
176175adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → ran 𝐺 ≠ ∅)
177137adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran 𝐺 𝑧𝑥)
178177adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran 𝐺 𝑧𝑥)
179165, 166, 14syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < ))) → (𝐹𝑘) ∈ (0[,)+∞))
180154, 179sge0fsummpt 40925 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )) ↦ (𝐹𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < ))(𝐹𝑘))
181180adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )) ↦ (𝐹𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < ))(𝐹𝑘))
182 eqidd 2652 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < ))) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
183145, 1syl6sseq 3684 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) → 𝑦 ⊆ (ℤ𝑀))
184183adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → 𝑦 ⊆ (ℤ𝑀))
185 uzssz 11745 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
1861, 185eqsstri 3668 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑍 ⊆ ℤ
187145, 186syl6ss 3648 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) → 𝑦 ⊆ ℤ)
188187adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → 𝑦 ⊆ ℤ)
189 neqne 2831 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑦 = ∅ → 𝑦 ≠ ∅)
190189adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → 𝑦 ≠ ∅)
191168adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → 𝑦 ∈ Fin)
192 suprfinzcl 11530 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ⊆ ℤ ∧ 𝑦 ≠ ∅ ∧ 𝑦 ∈ Fin) → sup(𝑦, ℝ, < ) ∈ 𝑦)
193188, 190, 191, 192syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → sup(𝑦, ℝ, < ) ∈ 𝑦)
194184, 193sseldd 3637 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → sup(𝑦, ℝ, < ) ∈ (ℤ𝑀))
195194adantll 750 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → sup(𝑦, ℝ, < ) ∈ (ℤ𝑀))
19615recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
197165, 166, 196syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < ))) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
198197adantlr 751 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < ))) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
199182, 195, 198fsumser 14505 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < ))(𝐹𝑘) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘sup(𝑦, ℝ, < )))
20011eqcomi 2660 . . . . . . . . . . . . 13 seq𝑀( + , 𝐹) = 𝐺
201200fveq1i 6230 . . . . . . . . . . . 12 (seq𝑀( + , 𝐹)‘sup(𝑦, ℝ, < )) = (𝐺‘sup(𝑦, ℝ, < ))
202201a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘sup(𝑦, ℝ, < )) = (𝐺‘sup(𝑦, ℝ, < )))
203181, 199, 2023eqtrd 2689 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )) ↦ (𝐹𝑘))) = (𝐺‘sup(𝑦, ℝ, < )))
20482adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → Fun 𝐺)
205204adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → Fun 𝐺)
206195, 85syl6eleq 2740 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → sup(𝑦, ℝ, < ) ∈ 𝑍)
20789ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → 𝑍 = dom 𝐺)
208206, 207eleqtrd 2732 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → sup(𝑦, ℝ, < ) ∈ dom 𝐺)
209 fvelrn 6392 . . . . . . . . . . 11 ((Fun 𝐺 ∧ sup(𝑦, ℝ, < ) ∈ dom 𝐺) → (𝐺‘sup(𝑦, ℝ, < )) ∈ ran 𝐺)
210205, 208, 209syl2anc 694 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → (𝐺‘sup(𝑦, ℝ, < )) ∈ ran 𝐺)
211203, 210eqeltrd 2730 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )) ↦ (𝐹𝑘))) ∈ ran 𝐺)
212 suprub 11022 . . . . . . . . 9 (((ran 𝐺 ⊆ ℝ ∧ ran 𝐺 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran 𝐺 𝑧𝑥) ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )) ↦ (𝐹𝑘))) ∈ ran 𝐺) → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )) ↦ (𝐹𝑘))) ≤ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
213174, 176, 178, 211, 212syl31anc 1369 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )) ↦ (𝐹𝑘))) ≤ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
214153, 162, 164, 172, 213xrletrd 12031 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → (Σ^‘(𝑘𝑦 ↦ (𝐹𝑘))) ≤ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
215142, 214pm2.61dan 849 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝑘𝑦 ↦ (𝐹𝑘))) ≤ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
216215ralrimiva 2995 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)(Σ^‘(𝑘𝑦 ↦ (𝐹𝑘))) ≤ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
217 nfv 1883 . . . . . 6 𝑘𝜑
218217, 4, 148, 61sge0lefimpt 40958 . . . . 5 (𝜑 → ((Σ^‘(𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘))) ≤ sup(ran 𝐺, ℝ, < ) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)(Σ^‘(𝑘𝑦 ↦ (𝐹𝑘))) ≤ sup(ran 𝐺, ℝ, < )))
219216, 218mpbird 247 . . . 4 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘))) ≤ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
22063, 219eqbrtrd 4707 . . 3 (𝜑 → (Σ^𝐹) ≤ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
22137ssriv 3640 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀...𝑗) ⊆ 𝑍
222221a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑀...𝑗) ⊆ 𝑍)
2234, 148, 222sge0lessmpt 40934 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) ↦ (𝐹𝑘))) ≤ (Σ^‘(𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘))))
2242233ad2ant1 1102 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗𝑍 ∧ (𝐺𝑗) = 𝑧) → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) ↦ (𝐹𝑘))) ≤ (Σ^‘(𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘))))
225 fzfid 12812 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑀...𝑗) ∈ Fin)
22637, 14sylan2 490 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ (0[,)+∞))
227225, 226sge0fsummpt 40925 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) ↦ (𝐹𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹𝑘))
2282273ad2ant1 1102 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗𝑍 ∧ (𝐺𝑗) = 𝑧) → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) ↦ (𝐹𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹𝑘))
22935, 38, 12syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
23035, 38, 196syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
231229, 34, 230fsumser 14505 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗𝑍) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹𝑘) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))
2322313adant3 1101 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗𝑍 ∧ (𝐺𝑗) = 𝑧) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹𝑘) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))
233228, 232eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗𝑍 ∧ (𝐺𝑗) = 𝑧) → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) ↦ (𝐹𝑘))) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))
234200fveq1i 6230 . . . . . . . . . . . . 13 (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) = (𝐺𝑗)
235234a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗𝑍 ∧ (𝐺𝑗) = 𝑧) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) = (𝐺𝑗))
236 simp3 1083 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗𝑍 ∧ (𝐺𝑗) = 𝑧) → (𝐺𝑗) = 𝑧)
237233, 235, 2363eqtrrd 2690 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗𝑍 ∧ (𝐺𝑗) = 𝑧) → 𝑧 = (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) ↦ (𝐹𝑘))))
238633ad2ant1 1102 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗𝑍 ∧ (𝐺𝑗) = 𝑧) → (Σ^𝐹) = (Σ^‘(𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘))))
239237, 238breq12d 4698 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗𝑍 ∧ (𝐺𝑗) = 𝑧) → (𝑧 ≤ (Σ^𝐹) ↔ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) ↦ (𝐹𝑘))) ≤ (Σ^‘(𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘)))))
240224, 239mpbird 247 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗𝑍 ∧ (𝐺𝑗) = 𝑧) → 𝑧 ≤ (Σ^𝐹))
2412403exp 1283 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑗𝑍 → ((𝐺𝑗) = 𝑧𝑧 ≤ (Σ^𝐹))))
242241adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ran 𝐺) → (𝑗𝑍 → ((𝐺𝑗) = 𝑧𝑧 ≤ (Σ^𝐹))))
243242rexlimdv 3059 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ran 𝐺) → (∃𝑗𝑍 (𝐺𝑗) = 𝑧𝑧 ≤ (Σ^𝐹)))
244113, 243mpd 15 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ ran 𝐺) → 𝑧 ≤ (Σ^𝐹))
245244ralrimiva 2995 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ran 𝐺 𝑧 ≤ (Σ^𝐹))
2464, 8sge0cl 40916 . . . . . 6 (𝜑 → (Σ^𝐹) ∈ (0[,]+∞))
24760ltpnfd 11993 . . . . . . . . 9 (𝜑 → sup(ran 𝐺, ℝ, < ) < +∞)
2489, 61, 95, 220, 247xrlelttrd 12029 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Σ^𝐹) < +∞)
2499, 95, 248xrgtned 39851 . . . . . . 7 (𝜑 → +∞ ≠ (Σ^𝐹))
250249necomd 2878 . . . . . 6 (𝜑 → (Σ^𝐹) ≠ +∞)
251 ge0xrre 40076 . . . . . 6 (((Σ^𝐹) ∈ (0[,]+∞) ∧ (Σ^𝐹) ≠ +∞) → (Σ^𝐹) ∈ ℝ)
252246, 250, 251syl2anc 694 . . . . 5 (𝜑 → (Σ^𝐹) ∈ ℝ)
253 suprleub 11027 . . . . 5 (((ran 𝐺 ⊆ ℝ ∧ ran 𝐺 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran 𝐺 𝑧𝑥) ∧ (Σ^𝐹) ∈ ℝ) → (sup(ran 𝐺, ℝ, < ) ≤ (Σ^𝐹) ↔ ∀𝑧 ∈ ran 𝐺 𝑧 ≤ (Σ^𝐹)))
25480, 106, 137, 252, 253syl31anc 1369 . . . 4 (𝜑 → (sup(ran 𝐺, ℝ, < ) ≤ (Σ^𝐹) ↔ ∀𝑧 ∈ ran 𝐺 𝑧 ≤ (Σ^𝐹)))
255245, 254mpbird 247 . . 3 (𝜑 → sup(ran 𝐺, ℝ, < ) ≤ (Σ^𝐹))
2569, 61, 220, 255xrletrid 12024 . 2 (𝜑 → (Σ^𝐹) = sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
257 climuni 14327 . . 3 ((𝐺𝐵𝐺 ⇝ sup(ran 𝐺, ℝ, < )) → 𝐵 = sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
25825, 59, 257syl2anc 694 . 2 (𝜑𝐵 = sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
259256, 258eqtr4d 2688 1 (𝜑 → (Σ^𝐹) = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  Vcvv 3231  cin 3606  wss 3607  c0 3948  𝒫 cpw 4191   class class class wbr 4685  cmpt 4762  dom cdm 5143  ran crn 5144  Fun wfun 5920   Fn wfn 5921  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  Fincfn 7997  supcsup 8387  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974   + caddc 9977  +∞cpnf 10109  *cxr 10111   < clt 10112  cle 10113  cz 11415  cuz 11725  [,)cico 12215  [,]cicc 12216  ...cfz 12364  seqcseq 12841  abscabs 14018  cli 14259  Σcsu 14460  Σ^csumge0 40897
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-sumge0 40898
This theorem is referenced by:  sge0isummpt  40965
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