Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0fsum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sge0fsum 41024
Description: The arbitrary sum of a finite set of nonnegative extended real numbers is equal to the sum of those numbers, when none of them is +∞ (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0fsum.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
sge0fsum.f (𝜑𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞))
Assertion
Ref Expression
sge0fsum (𝜑 → (Σ^𝐹) = Σ𝑥𝑋 (𝐹𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥

Proof of Theorem sge0fsum
Dummy variables 𝑤 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sge0fsum.x . . 3 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
2 sge0fsum.f . . . 4 (𝜑𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞))
32fge0icoicc 41002 . . 3 (𝜑𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
41, 3sge0xrcl 41022 . 2 (𝜑 → (Σ^𝐹) ∈ ℝ*)
5 rge0ssre 12394 . . . . 5 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
62ffvelrnda 6474 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐹𝑥) ∈ (0[,)+∞))
75, 6sseldi 3707 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
81, 7fsumrecl 14585 . . 3 (𝜑 → Σ𝑥𝑋 (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
98rexrd 10202 . 2 (𝜑 → Σ𝑥𝑋 (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)
101, 2sge0reval 41009 . . 3 (𝜑 → (Σ^𝐹) = sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥𝑦 (𝐹𝑥)), ℝ*, < ))
11 simpr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥𝑦 (𝐹𝑥))) → 𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥𝑦 (𝐹𝑥)))
12 vex 3307 . . . . . . . . 9 𝑤 ∈ V
1312a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥𝑦 (𝐹𝑥))) → 𝑤 ∈ V)
14 eqid 2724 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥𝑦 (𝐹𝑥)) = (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥𝑦 (𝐹𝑥))
1514elrnmpt 5479 . . . . . . . 8 (𝑤 ∈ V → (𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥𝑦 (𝐹𝑥)) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑤 = Σ𝑥𝑦 (𝐹𝑥)))
1613, 15syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥𝑦 (𝐹𝑥))) → (𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥𝑦 (𝐹𝑥)) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑤 = Σ𝑥𝑦 (𝐹𝑥)))
1711, 16mpbid 222 . . . . . 6 ((𝜑𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥𝑦 (𝐹𝑥))) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑤 = Σ𝑥𝑦 (𝐹𝑥))
18 simp3 1130 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ∧ 𝑤 = Σ𝑥𝑦 (𝐹𝑥)) → 𝑤 = Σ𝑥𝑦 (𝐹𝑥))
191adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝑋 ∈ Fin)
202fge0npnf 41004 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ¬ +∞ ∈ ran 𝐹)
213, 20fge0iccre 41011 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℝ)
2221adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
2322adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑋) → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
24 simpr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑥𝑋)
2523, 24ffvelrnd 6475 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑋) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
26 0xr 10199 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℝ*
2726a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑋) → 0 ∈ ℝ*)
28 pnfxr 10205 . . . . . . . . . . . . . 14 +∞ ∈ ℝ*
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑋) → +∞ ∈ ℝ*)
303adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
3130ffvelrnda 6474 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑋) → (𝐹𝑥) ∈ (0[,]+∞))
32 iccgelb 12344 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝑥) ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ (𝐹𝑥))
3327, 29, 31, 32syl3anc 1439 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑋) → 0 ≤ (𝐹𝑥))
34 elinel1 3907 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → 𝑦 ∈ 𝒫 𝑋)
35 elpwi 4276 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋𝑦𝑋)
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → 𝑦𝑋)
3736adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝑦𝑋)
3819, 25, 33, 37fsumless 14648 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → Σ𝑥𝑦 (𝐹𝑥) ≤ Σ𝑥𝑋 (𝐹𝑥))
39383adant3 1124 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ∧ 𝑤 = Σ𝑥𝑦 (𝐹𝑥)) → Σ𝑥𝑦 (𝐹𝑥) ≤ Σ𝑥𝑋 (𝐹𝑥))
4018, 39eqbrtrd 4782 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ∧ 𝑤 = Σ𝑥𝑦 (𝐹𝑥)) → 𝑤 ≤ Σ𝑥𝑋 (𝐹𝑥))
41403exp 1112 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → (𝑤 = Σ𝑥𝑦 (𝐹𝑥) → 𝑤 ≤ Σ𝑥𝑋 (𝐹𝑥))))
4241rexlimdv 3132 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑤 = Σ𝑥𝑦 (𝐹𝑥) → 𝑤 ≤ Σ𝑥𝑋 (𝐹𝑥)))
4342adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥𝑦 (𝐹𝑥))) → (∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑤 = Σ𝑥𝑦 (𝐹𝑥) → 𝑤 ≤ Σ𝑥𝑋 (𝐹𝑥)))
4417, 43mpd 15 . . . . 5 ((𝜑𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥𝑦 (𝐹𝑥))) → 𝑤 ≤ Σ𝑥𝑋 (𝐹𝑥))
4544ralrimiva 3068 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥𝑦 (𝐹𝑥))𝑤 ≤ Σ𝑥𝑋 (𝐹𝑥))
46 elinel2 3908 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → 𝑦 ∈ Fin)
4746adantl 473 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝑦 ∈ Fin)
4822adantr 472 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦) → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
4937sselda 3709 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑥𝑋)
5048, 49ffvelrnd 6475 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
5147, 50fsumrecl 14585 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → Σ𝑥𝑦 (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
5251rexrd 10202 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → Σ𝑥𝑦 (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)
5352ralrimiva 3068 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)Σ𝑥𝑦 (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)
5414rnmptss 6507 . . . . . 6 (∀𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)Σ𝑥𝑦 (𝐹𝑥) ∈ ℝ* → ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥𝑦 (𝐹𝑥)) ⊆ ℝ*)
5553, 54syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥𝑦 (𝐹𝑥)) ⊆ ℝ*)
56 supxrleub 12270 . . . . 5 ((ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥𝑦 (𝐹𝑥)) ⊆ ℝ* ∧ Σ𝑥𝑋 (𝐹𝑥) ∈ ℝ*) → (sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥𝑦 (𝐹𝑥)), ℝ*, < ) ≤ Σ𝑥𝑋 (𝐹𝑥) ↔ ∀𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥𝑦 (𝐹𝑥))𝑤 ≤ Σ𝑥𝑋 (𝐹𝑥)))
5755, 9, 56syl2anc 696 . . . 4 (𝜑 → (sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥𝑦 (𝐹𝑥)), ℝ*, < ) ≤ Σ𝑥𝑋 (𝐹𝑥) ↔ ∀𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥𝑦 (𝐹𝑥))𝑤 ≤ Σ𝑥𝑋 (𝐹𝑥)))
5845, 57mpbird 247 . . 3 (𝜑 → sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥𝑦 (𝐹𝑥)), ℝ*, < ) ≤ Σ𝑥𝑋 (𝐹𝑥))
5910, 58eqbrtrd 4782 . 2 (𝜑 → (Σ^𝐹) ≤ Σ𝑥𝑋 (𝐹𝑥))
60 ssid 3730 . . . 4 𝑋𝑋
6160a1i 11 . . 3 (𝜑𝑋𝑋)
621, 2, 61, 1fsumlesge0 41014 . 2 (𝜑 → Σ𝑥𝑋 (𝐹𝑥) ≤ (Σ^𝐹))
634, 9, 59, 62xrletrid 12100 1 (𝜑 → (Σ^𝐹) = Σ𝑥𝑋 (𝐹𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1596  wcel 2103  wral 3014  wrex 3015  Vcvv 3304  cin 3679  wss 3680  𝒫 cpw 4266   class class class wbr 4760  cmpt 4837  ran crn 5219  wf 5997  cfv 6001  (class class class)co 6765  Fincfn 8072  supcsup 8462  cr 10048  0cc0 10049  +∞cpnf 10184  *cxr 10186   < clt 10187  cle 10188  [,)cico 12291  [,]cicc 12292  Σcsu 14536  Σ^csumge0 40999
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-inf2 8651  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126  ax-pre-sup 10127
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-fal 1602  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-se 5178  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-isom 6010  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-1o 7680  df-oadd 7684  df-er 7862  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-fin 8076  df-sup 8464  df-oi 8531  df-card 8878  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-div 10798  df-nn 11134  df-2 11192  df-3 11193  df-n0 11406  df-z 11491  df-uz 11801  df-rp 11947  df-ico 12295  df-icc 12296  df-fz 12441  df-fzo 12581  df-seq 12917  df-exp 12976  df-hash 13233  df-cj 13959  df-re 13960  df-im 13961  df-sqrt 14095  df-abs 14096  df-clim 14339  df-sum 14537  df-sumge0 41000
This theorem is referenced by:  sge0fsummpt  41027  sge0sup  41028  sge0ltfirp  41037  sge0le  41044  sge0iunmptlemfi  41050  sge0ltfirpmpt2  41063  sge0fsummptf  41073  omeiunltfirp  41156
  Copyright terms: Public domain W3C validator