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Theorem sfprmdvdsmersenne 41845
Description: If 𝑄 is a safe prime (i.e. 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1) for a prime 𝑃) with 𝑄≡7 (mod 8), then 𝑄 divides the 𝑃-th Mersenne number MP. (Contributed by AV, 20-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
sfprmdvdsmersenne ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑄 ∈ ℙ ∧ (𝑄 mod 8) = 7 ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1))) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1))

Proof of Theorem sfprmdvdsmersenne
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 olc 398 . . . . . . 7 ((𝑄 mod 8) = 7 → ((𝑄 mod 8) = 1 ∨ (𝑄 mod 8) = 7))
2 ovex 6718 . . . . . . . 8 (𝑄 mod 8) ∈ V
3 elprg 4229 . . . . . . . 8 ((𝑄 mod 8) ∈ V → ((𝑄 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ ((𝑄 mod 8) = 1 ∨ (𝑄 mod 8) = 7)))
42, 3mp1i 13 . . . . . . 7 ((𝑄 mod 8) = 7 → ((𝑄 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ ((𝑄 mod 8) = 1 ∨ (𝑄 mod 8) = 7)))
51, 4mpbird 247 . . . . . 6 ((𝑄 mod 8) = 7 → (𝑄 mod 8) ∈ {1, 7})
6 2lgs 25177 . . . . . . . 8 (𝑄 ∈ ℙ → ((2 /L 𝑄) = 1 ↔ (𝑄 mod 8) ∈ {1, 7}))
76ad2antlr 763 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → ((2 /L 𝑄) = 1 ↔ (𝑄 mod 8) ∈ {1, 7}))
8 2z 11447 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℤ
9 simpr 476 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → 𝑄 ∈ ℙ)
109adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → 𝑄 ∈ ℙ)
11 2re 11128 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ
1211a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → 2 ∈ ℝ)
13 2m1e1 11173 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 − 1) = 1
1411a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃 ∈ ℙ → 2 ∈ ℝ)
15 prmnn 15435 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
1615nnred 11073 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ)
17 1lt2 11232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 < 2
1817a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃 ∈ ℙ → 1 < 2)
19 prmgt1 15456 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃 ∈ ℙ → 1 < 𝑃)
2014, 16, 18, 19mulgt1d 10998 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 ∈ ℙ → 1 < (2 · 𝑃))
2113, 20syl5eqbr 4720 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ ℙ → (2 − 1) < (2 · 𝑃))
22 1red 10093 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 ∈ ℙ → 1 ∈ ℝ)
23 2nn 11223 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∈ ℕ
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃 ∈ ℙ → 2 ∈ ℕ)
2524, 15nnmulcld 11106 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃 ∈ ℙ → (2 · 𝑃) ∈ ℕ)
2625nnred 11073 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 ∈ ℙ → (2 · 𝑃) ∈ ℝ)
2714, 22, 26ltsubaddd 10661 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ ℙ → ((2 − 1) < (2 · 𝑃) ↔ 2 < ((2 · 𝑃) + 1)))
2821, 27mpbid 222 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ ℙ → 2 < ((2 · 𝑃) + 1))
2928ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → 2 < ((2 · 𝑃) + 1))
30 breq2 4689 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1) → (2 < 𝑄 ↔ 2 < ((2 · 𝑃) + 1)))
3130adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → (2 < 𝑄 ↔ 2 < ((2 · 𝑃) + 1)))
3229, 31mpbird 247 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → 2 < 𝑄)
3312, 32gtned 10210 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → 𝑄 ≠ 2)
34 eldifsn 4350 . . . . . . . . . 10 (𝑄 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ≠ 2))
3510, 33, 34sylanbrc 699 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → 𝑄 ∈ (ℙ ∖ {2}))
36 lgsqrmodndvds 25123 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑄 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((2 /L 𝑄) = 1 → ∃𝑚 ∈ ℤ (((𝑚↑2) mod 𝑄) = (2 mod 𝑄) ∧ ¬ 𝑄𝑚)))
378, 35, 36sylancr 696 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → ((2 /L 𝑄) = 1 → ∃𝑚 ∈ ℤ (((𝑚↑2) mod 𝑄) = (2 mod 𝑄) ∧ ¬ 𝑄𝑚)))
38 prmnn 15435 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑄 ∈ ℙ → 𝑄 ∈ ℕ)
3938nncnd 11074 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑄 ∈ ℙ → 𝑄 ∈ ℂ)
4039adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → 𝑄 ∈ ℂ)
41 1cnd 10094 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → 1 ∈ ℂ)
42 2cnd 11131 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 ∈ ℙ → 2 ∈ ℂ)
4315nncnd 11074 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℂ)
4442, 43mulcld 10098 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ ℙ → (2 · 𝑃) ∈ ℂ)
4544adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → (2 · 𝑃) ∈ ℂ)
4640, 41, 45subadd2d 10449 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → ((𝑄 − 1) = (2 · 𝑃) ↔ ((2 · 𝑃) + 1) = 𝑄))
47 prmz 15436 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑄 ∈ ℙ → 𝑄 ∈ ℤ)
48 peano2zm 11458 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑄 ∈ ℤ → (𝑄 − 1) ∈ ℤ)
4947, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑄 ∈ ℙ → (𝑄 − 1) ∈ ℤ)
5049zcnd 11521 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑄 ∈ ℙ → (𝑄 − 1) ∈ ℂ)
5150adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → (𝑄 − 1) ∈ ℂ)
5243adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℂ)
53 2cnne0 11280 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
5453a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
55 divmul2 10727 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑄 − 1) ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (((𝑄 − 1) / 2) = 𝑃 ↔ (𝑄 − 1) = (2 · 𝑃)))
5651, 52, 54, 55syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → (((𝑄 − 1) / 2) = 𝑃 ↔ (𝑄 − 1) = (2 · 𝑃)))
57 eqcom 2658 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1) ↔ ((2 · 𝑃) + 1) = 𝑄)
5857a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → (𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1) ↔ ((2 · 𝑃) + 1) = 𝑄))
5946, 56, 583bitr4rd 301 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → (𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1) ↔ ((𝑄 − 1) / 2) = 𝑃))
6059biimpa 500 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → ((𝑄 − 1) / 2) = 𝑃)
61 oveq2 6698 . . . . . . . . . . 11 (((𝑄 − 1) / 2) = 𝑃 → (2↑((𝑄 − 1) / 2)) = (2↑𝑃))
62 zsqcl 12974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑚 ∈ ℤ → (𝑚↑2) ∈ ℤ)
6362ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ((𝑚↑2) mod 𝑄) = (2 mod 𝑄)) → (𝑚↑2) ∈ ℤ)
648a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ((𝑚↑2) mod 𝑄) = (2 mod 𝑄)) → 2 ∈ ℤ)
65 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1) → (𝑄 − 1) = (((2 · 𝑃) + 1) − 1))
6665adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → (𝑄 − 1) = (((2 · 𝑃) + 1) − 1))
6766oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → ((𝑄 − 1) / 2) = ((((2 · 𝑃) + 1) − 1) / 2))
68 pncan1 10492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((2 · 𝑃) ∈ ℂ → (((2 · 𝑃) + 1) − 1) = (2 · 𝑃))
6944, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑃 ∈ ℙ → (((2 · 𝑃) + 1) − 1) = (2 · 𝑃))
7069oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑃 ∈ ℙ → ((((2 · 𝑃) + 1) − 1) / 2) = ((2 · 𝑃) / 2))
71 2ne0 11151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2 ≠ 0
7271a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑃 ∈ ℙ → 2 ≠ 0)
7343, 42, 72divcan3d 10844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑃 ∈ ℙ → ((2 · 𝑃) / 2) = 𝑃)
7470, 73eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑃 ∈ ℙ → ((((2 · 𝑃) + 1) − 1) / 2) = 𝑃)
7574ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → ((((2 · 𝑃) + 1) − 1) / 2) = 𝑃)
7667, 75eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → ((𝑄 − 1) / 2) = 𝑃)
7715nnnn0d 11389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ0)
7877ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → 𝑃 ∈ ℕ0)
7976, 78eqeltrd 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → ((𝑄 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
8038nnrpd 11908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑄 ∈ ℙ → 𝑄 ∈ ℝ+)
8180ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → 𝑄 ∈ ℝ+)
8279, 81jca 553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → (((𝑄 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑄 ∈ ℝ+))
8382ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ((𝑚↑2) mod 𝑄) = (2 mod 𝑄)) → (((𝑄 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑄 ∈ ℝ+))
84 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ((𝑚↑2) mod 𝑄) = (2 mod 𝑄)) → ((𝑚↑2) mod 𝑄) = (2 mod 𝑄))
85 modexp 13039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑚↑2) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ (((𝑄 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑄 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑚↑2) mod 𝑄) = (2 mod 𝑄)) → (((𝑚↑2)↑((𝑄 − 1) / 2)) mod 𝑄) = ((2↑((𝑄 − 1) / 2)) mod 𝑄))
8663, 64, 83, 84, 85syl211anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ((𝑚↑2) mod 𝑄) = (2 mod 𝑄)) → (((𝑚↑2)↑((𝑄 − 1) / 2)) mod 𝑄) = ((2↑((𝑄 − 1) / 2)) mod 𝑄))
8786ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((𝑚↑2) mod 𝑄) = (2 mod 𝑄) → (((𝑚↑2)↑((𝑄 − 1) / 2)) mod 𝑄) = ((2↑((𝑄 − 1) / 2)) mod 𝑄)))
8887adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑄𝑚) → (((𝑚↑2) mod 𝑄) = (2 mod 𝑄) → (((𝑚↑2)↑((𝑄 − 1) / 2)) mod 𝑄) = ((2↑((𝑄 − 1) / 2)) mod 𝑄)))
89 2cnd 11131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑄 ∈ ℙ → 2 ∈ ℂ)
9071a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑄 ∈ ℙ → 2 ≠ 0)
9150, 89, 90divcan2d 10841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑄 ∈ ℙ → (2 · ((𝑄 − 1) / 2)) = (𝑄 − 1))
9291eqcomd 2657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑄 ∈ ℙ → (𝑄 − 1) = (2 · ((𝑄 − 1) / 2)))
9392oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑄 ∈ ℙ → (𝑚↑(𝑄 − 1)) = (𝑚↑(2 · ((𝑄 − 1) / 2))))
9493ad3antlr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚↑(𝑄 − 1)) = (𝑚↑(2 · ((𝑄 − 1) / 2))))
95 zcn 11420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑚 ∈ ℤ → 𝑚 ∈ ℂ)
9695adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ ℂ)
9779adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑄 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
98 2nn0 11347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2 ∈ ℕ0
9998a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℕ0)
10096, 97, 99expmuld 13051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚↑(2 · ((𝑄 − 1) / 2))) = ((𝑚↑2)↑((𝑄 − 1) / 2)))
10194, 100eqtr2d 2686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑚↑2)↑((𝑄 − 1) / 2)) = (𝑚↑(𝑄 − 1)))
102101oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((𝑚↑2)↑((𝑄 − 1) / 2)) mod 𝑄) = ((𝑚↑(𝑄 − 1)) mod 𝑄))
103102adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑄𝑚) → (((𝑚↑2)↑((𝑄 − 1) / 2)) mod 𝑄) = ((𝑚↑(𝑄 − 1)) mod 𝑄))
104 vfermltl 15553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑄𝑚) → ((𝑚↑(𝑄 − 1)) mod 𝑄) = 1)
105104ad5ant245 1344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑄𝑚) → ((𝑚↑(𝑄 − 1)) mod 𝑄) = 1)
106103, 105eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑄𝑚) → (((𝑚↑2)↑((𝑄 − 1) / 2)) mod 𝑄) = 1)
107 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((2↑((𝑄 − 1) / 2)) = (2↑𝑃) → ((2↑((𝑄 − 1) / 2)) mod 𝑄) = ((2↑𝑃) mod 𝑄))
108106, 107eqeqan12d 2667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑄𝑚) ∧ (2↑((𝑄 − 1) / 2)) = (2↑𝑃)) → ((((𝑚↑2)↑((𝑄 − 1) / 2)) mod 𝑄) = ((2↑((𝑄 − 1) / 2)) mod 𝑄) ↔ 1 = ((2↑𝑃) mod 𝑄)))
109 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (1 = ((2↑𝑃) mod 𝑄) → 1 = ((2↑𝑃) mod 𝑄))
110109eqcomd 2657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (1 = ((2↑𝑃) mod 𝑄) → ((2↑𝑃) mod 𝑄) = 1)
11138nnred 11073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑄 ∈ ℙ → 𝑄 ∈ ℝ)
112 prmgt1 15456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑄 ∈ ℙ → 1 < 𝑄)
113 1mod 12742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑄 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑄) → (1 mod 𝑄) = 1)
114111, 112, 113syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑄 ∈ ℙ → (1 mod 𝑄) = 1)
115114eqcomd 2657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑄 ∈ ℙ → 1 = (1 mod 𝑄))
116115ad3antlr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 1 = (1 mod 𝑄))
117110, 116sylan9eqr 2707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 1 = ((2↑𝑃) mod 𝑄)) → ((2↑𝑃) mod 𝑄) = (1 mod 𝑄))
11838ad4antlr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 1 = ((2↑𝑃) mod 𝑄)) → 𝑄 ∈ ℕ)
119 zexpcl 12915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) → (2↑𝑃) ∈ ℤ)
1208, 77, 119sylancr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑃 ∈ ℙ → (2↑𝑃) ∈ ℤ)
121120ad4antr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 1 = ((2↑𝑃) mod 𝑄)) → (2↑𝑃) ∈ ℤ)
122 1zzd 11446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 1 = ((2↑𝑃) mod 𝑄)) → 1 ∈ ℤ)
123 moddvds 15038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑄 ∈ ℕ ∧ (2↑𝑃) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (((2↑𝑃) mod 𝑄) = (1 mod 𝑄) ↔ 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1)))
124118, 121, 122, 123syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 1 = ((2↑𝑃) mod 𝑄)) → (((2↑𝑃) mod 𝑄) = (1 mod 𝑄) ↔ 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1)))
125117, 124mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 1 = ((2↑𝑃) mod 𝑄)) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1))
126125ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (1 = ((2↑𝑃) mod 𝑄) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1)))
127126ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑄𝑚) ∧ (2↑((𝑄 − 1) / 2)) = (2↑𝑃)) → (1 = ((2↑𝑃) mod 𝑄) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1)))
128108, 127sylbid 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑄𝑚) ∧ (2↑((𝑄 − 1) / 2)) = (2↑𝑃)) → ((((𝑚↑2)↑((𝑄 − 1) / 2)) mod 𝑄) = ((2↑((𝑄 − 1) / 2)) mod 𝑄) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1)))
129128ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑄𝑚) → ((2↑((𝑄 − 1) / 2)) = (2↑𝑃) → ((((𝑚↑2)↑((𝑄 − 1) / 2)) mod 𝑄) = ((2↑((𝑄 − 1) / 2)) mod 𝑄) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1))))
130129com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑄𝑚) → ((((𝑚↑2)↑((𝑄 − 1) / 2)) mod 𝑄) = ((2↑((𝑄 − 1) / 2)) mod 𝑄) → ((2↑((𝑄 − 1) / 2)) = (2↑𝑃) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1))))
13188, 130syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑄𝑚) → (((𝑚↑2) mod 𝑄) = (2 mod 𝑄) → ((2↑((𝑄 − 1) / 2)) = (2↑𝑃) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1))))
132131ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (¬ 𝑄𝑚 → (((𝑚↑2) mod 𝑄) = (2 mod 𝑄) → ((2↑((𝑄 − 1) / 2)) = (2↑𝑃) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1)))))
133132com23 86 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((𝑚↑2) mod 𝑄) = (2 mod 𝑄) → (¬ 𝑄𝑚 → ((2↑((𝑄 − 1) / 2)) = (2↑𝑃) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1)))))
134133impd 446 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((((𝑚↑2) mod 𝑄) = (2 mod 𝑄) ∧ ¬ 𝑄𝑚) → ((2↑((𝑄 − 1) / 2)) = (2↑𝑃) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1))))
135134com23 86 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((2↑((𝑄 − 1) / 2)) = (2↑𝑃) → ((((𝑚↑2) mod 𝑄) = (2 mod 𝑄) ∧ ¬ 𝑄𝑚) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1))))
136135ex 449 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → (𝑚 ∈ ℤ → ((2↑((𝑄 − 1) / 2)) = (2↑𝑃) → ((((𝑚↑2) mod 𝑄) = (2 mod 𝑄) ∧ ¬ 𝑄𝑚) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1)))))
137136com23 86 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → ((2↑((𝑄 − 1) / 2)) = (2↑𝑃) → (𝑚 ∈ ℤ → ((((𝑚↑2) mod 𝑄) = (2 mod 𝑄) ∧ ¬ 𝑄𝑚) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1)))))
13861, 137syl5 34 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → (((𝑄 − 1) / 2) = 𝑃 → (𝑚 ∈ ℤ → ((((𝑚↑2) mod 𝑄) = (2 mod 𝑄) ∧ ¬ 𝑄𝑚) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1)))))
13960, 138mpd 15 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → (𝑚 ∈ ℤ → ((((𝑚↑2) mod 𝑄) = (2 mod 𝑄) ∧ ¬ 𝑄𝑚) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1))))
140139rexlimdv 3059 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → (∃𝑚 ∈ ℤ (((𝑚↑2) mod 𝑄) = (2 mod 𝑄) ∧ ¬ 𝑄𝑚) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1)))
14137, 140syld 47 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → ((2 /L 𝑄) = 1 → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1)))
1427, 141sylbird 250 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → ((𝑄 mod 8) ∈ {1, 7} → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1)))
1435, 142syl5 34 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1)) → ((𝑄 mod 8) = 7 → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1)))
144143ex 449 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → (𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1) → ((𝑄 mod 8) = 7 → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1))))
145144com23 86 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → ((𝑄 mod 8) = 7 → (𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1))))
146145ex 449 . 2 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑄 ∈ ℙ → ((𝑄 mod 8) = 7 → (𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1)))))
1471463imp2 1304 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑄 ∈ ℙ ∧ (𝑄 mod 8) = 7 ∧ 𝑄 = ((2 · 𝑃) + 1))) → 𝑄 ∥ ((2↑𝑃) − 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wrex 2942  Vcvv 3231  cdif 3604  {csn 4210  {cpr 4212   class class class wbr 4685  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979   < clt 10112  cmin 10304   / cdiv 10722  cn 11058  2c2 11108  7c7 11113  8c8 11114  0cn0 11330  cz 11415  +crp 11870   mod cmo 12708  cexp 12900  cdvds 15027  cprime 15432   /L clgs 25064
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-ofr 6940  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-tpos 7397  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-ec 7789  df-qs 7793  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-ioo 12217  df-ico 12219  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-prod 14680  df-dvds 15028  df-gcd 15264  df-prm 15433  df-phi 15518  df-pc 15589  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-prds 16155  df-pws 16157  df-imas 16215  df-qus 16216  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-mhm 17382  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-mulg 17588  df-subg 17638  df-nsg 17639  df-eqg 17640  df-ghm 17705  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-srg 18552  df-ring 18595  df-cring 18596  df-oppr 18669  df-dvdsr 18687  df-unit 18688  df-invr 18718  df-dvr 18729  df-rnghom 18763  df-drng 18797  df-field 18798  df-subrg 18826  df-lmod 18913  df-lss 18981  df-lsp 19020  df-sra 19220  df-rgmod 19221  df-lidl 19222  df-rsp 19223  df-2idl 19280  df-nzr 19306  df-rlreg 19331  df-domn 19332  df-idom 19333  df-assa 19360  df-asp 19361  df-ascl 19362  df-psr 19404  df-mvr 19405  df-mpl 19406  df-opsr 19408  df-evls 19554  df-evl 19555  df-psr1 19598  df-vr1 19599  df-ply1 19600  df-coe1 19601  df-evl1 19729  df-cnfld 19795  df-zring 19867  df-zrh 19900  df-zn 19903  df-mdeg 23860  df-deg1 23861  df-mon1 23935  df-uc1p 23936  df-q1p 23937  df-r1p 23938  df-lgs 25065
This theorem is referenced by:  sgprmdvdsmersenne  41846
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