Theorem setsv 41876

Description: The value of the structure replacement function is a set. (Contributed by AV, 10-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
setsv	⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ V)

Proof of Theorem setsv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setsval 16110	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}))
2		resexg 5600	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → (𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∈ V)
3		snex 5057	. . . 4 ⊢ {⟨𝐴, 𝐵⟩} ∈ V
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → {⟨𝐴, 𝐵⟩} ∈ V)
5		unexg 7125	. . 3 ⊢ (((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∈ V ∧ {⟨𝐴, 𝐵⟩} ∈ V) → ((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}) ∈ V)
6	2, 4, 5	syl2an2r 911	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}) ∈ V)
7	1, 6	eqeltrd 2839	1 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∈ wcel 2139  Vcvv 3340   ∖ cdif 3712   ∪ cun 3713  {csn 4321  ⟨cop 4327   ↾ cres 5268  (class class class)co 6814   sSet csts 16077

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pr 5055  ax-un 7115

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-res 5278  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fv 6057  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-sets 16086

This theorem is referenced by: (None)