MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  setsstructOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem setsstructOLD 16093
Description: Obsolete version of setsstruct 16092 as of 14-Nov-2021. (Contributed by AV, 9-Jun-2021.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
setsstructOLD ((𝐺𝑈𝐸𝑉𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐺 Struct ⟨𝑀, 𝑁⟩ → (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) Struct ⟨𝑀, if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼)⟩))

Proof of Theorem setsstructOLD
StepHypRef Expression
1 simpr11 1330 . . . . 5 (((𝐺𝑈𝐸𝑉𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁))) → 𝑀 ∈ ℕ)
2 simpr12 1332 . . . . . 6 (((𝐺𝑈𝐸𝑉𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
3 eluznn 11943 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐼 ∈ ℕ)
43ex 449 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → (𝐼 ∈ (ℤ𝑀) → 𝐼 ∈ ℕ))
543ad2ant1 1127 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) → (𝐼 ∈ (ℤ𝑀) → 𝐼 ∈ ℕ))
653ad2ant1 1127 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁)) → (𝐼 ∈ (ℤ𝑀) → 𝐼 ∈ ℕ))
76com12 32 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ (ℤ𝑀) → (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁)) → 𝐼 ∈ ℕ))
873ad2ant3 1129 . . . . . . 7 ((𝐺𝑈𝐸𝑉𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) → (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁)) → 𝐼 ∈ ℕ))
98imp 444 . . . . . 6 (((𝐺𝑈𝐸𝑉𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁))) → 𝐼 ∈ ℕ)
102, 9ifcld 4267 . . . . 5 (((𝐺𝑈𝐸𝑉𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁))) → if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼) ∈ ℕ)
11 nnre 11211 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
12113ad2ant2 1128 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
13 eluzelre 11882 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼 ∈ (ℤ𝑀) → 𝐼 ∈ ℝ)
1412, 13anim12i 591 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ 𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ))
15 nnre 11211 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
16153ad2ant1 1127 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) → 𝑀 ∈ ℝ)
1716adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ 𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑀 ∈ ℝ)
18 simpl3 1229 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ 𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑀𝑁)
1914, 17, 183jca 1122 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ 𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁))
2019ex 449 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) → (𝐼 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁)))
21203ad2ant1 1127 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁)) → (𝐼 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁)))
2221com12 32 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ (ℤ𝑀) → (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁)) → ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁)))
23223ad2ant3 1129 . . . . . . 7 ((𝐺𝑈𝐸𝑉𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) → (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁)) → ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁)))
2423imp 444 . . . . . 6 (((𝐺𝑈𝐸𝑉𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁))) → ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁))
25 lemaxle 12211 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁) → 𝑀 ≤ if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼))
2624, 25syl 17 . . . . 5 (((𝐺𝑈𝐸𝑉𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁))) → 𝑀 ≤ if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼))
271, 10, 263jca 1122 . . . 4 (((𝐺𝑈𝐸𝑉𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁))) → (𝑀 ∈ ℕ ∧ if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ≤ if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼)))
28 simp1 1130 . . . . . 6 ((𝐺𝑈𝐸𝑉𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐺𝑈)
29 simp2 1131 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁)) → Fun (𝐺 ∖ {∅}))
3028, 29anim12i 591 . . . . 5 (((𝐺𝑈𝐸𝑉𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁))) → (𝐺𝑈 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})))
31 pm3.22 464 . . . . . . 7 ((𝐸𝑉𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐼 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐸𝑉))
32313adant1 1124 . . . . . 6 ((𝐺𝑈𝐸𝑉𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐼 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐸𝑉))
3332adantr 472 . . . . 5 (((𝐺𝑈𝐸𝑉𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁))) → (𝐼 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐸𝑉))
34 setsfun0 16088 . . . . 5 (((𝐺𝑈 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) ∧ (𝐼 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐸𝑉)) → Fun ((𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∖ {∅}))
3530, 33, 34syl2anc 696 . . . 4 (((𝐺𝑈𝐸𝑉𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁))) → Fun ((𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∖ {∅}))
36 3simpa 1142 . . . . . . 7 ((𝐺𝑈𝐸𝑉𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐺𝑈𝐸𝑉))
3736adantr 472 . . . . . 6 (((𝐺𝑈𝐸𝑉𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁))) → (𝐺𝑈𝐸𝑉))
38 setsdm 16086 . . . . . 6 ((𝐺𝑈𝐸𝑉) → dom (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) = (dom 𝐺 ∪ {𝐼}))
3937, 38syl 17 . . . . 5 (((𝐺𝑈𝐸𝑉𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁))) → dom (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) = (dom 𝐺 ∪ {𝐼}))
40 simp3 1132 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁)) → dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁))
41 nnz 11583 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
42413ad2ant2 1128 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
43423ad2ant1 1127 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
44 simpl3 1229 . . . . . 6 (((𝐺𝑈𝐸𝑉𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁))) → 𝐼 ∈ (ℤ𝑀))
45 ssfzunsn 12572 . . . . . 6 ((dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) → (dom 𝐺 ∪ {𝐼}) ⊆ (𝑀...if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼)))
4640, 43, 44, 45syl2an23an 1528 . . . . 5 (((𝐺𝑈𝐸𝑉𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁))) → (dom 𝐺 ∪ {𝐼}) ⊆ (𝑀...if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼)))
4739, 46eqsstrd 3772 . . . 4 (((𝐺𝑈𝐸𝑉𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁))) → dom (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ⊆ (𝑀...if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼)))
4827, 35, 473jca 1122 . . 3 (((𝐺𝑈𝐸𝑉𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁))) → ((𝑀 ∈ ℕ ∧ if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ≤ if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼)) ∧ Fun ((𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∖ {∅}) ∧ dom (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ⊆ (𝑀...if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼))))
4948ex 449 . 2 ((𝐺𝑈𝐸𝑉𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) → (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁)) → ((𝑀 ∈ ℕ ∧ if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ≤ if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼)) ∧ Fun ((𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∖ {∅}) ∧ dom (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ⊆ (𝑀...if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼)))))
50 isstruct 16064 . 2 (𝐺 Struct ⟨𝑀, 𝑁⟩ ↔ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁)))
51 isstruct 16064 . 2 ((𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) Struct ⟨𝑀, if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼)⟩ ↔ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ≤ if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼)) ∧ Fun ((𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∖ {∅}) ∧ dom (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ⊆ (𝑀...if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼))))
5249, 50, 513imtr4g 285 1 ((𝐺𝑈𝐸𝑉𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐺 Struct ⟨𝑀, 𝑁⟩ → (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) Struct ⟨𝑀, if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼)⟩))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1624  wcel 2131  cdif 3704  cun 3705  wss 3707  c0 4050  ifcif 4222  {csn 4313  cop 4319   class class class wbr 4796  dom cdm 5258  Fun wfun 6035  cfv 6041  (class class class)co 6805  cr 10119  cle 10259  cn 11204  cz 11561  cuz 11871  ...cfz 12511   Struct cstr 16047   sSet csts 16049
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-oadd 7725  df-er 7903  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-nn 11205  df-n0 11477  df-z 11562  df-uz 11872  df-fz 12512  df-struct 16053  df-sets 16058
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator