Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  setsstructOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem setsstructOLD 16093
 Description: Obsolete version of setsstruct 16092 as of 14-Nov-2021. (Contributed by AV, 9-Jun-2021.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
setsstructOLD ((𝐺𝑈𝐸𝑉𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐺 Struct ⟨𝑀, 𝑁⟩ → (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) Struct ⟨𝑀, if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼)⟩))

Proof of Theorem setsstructOLD
StepHypRef Expression
1 simpr11 1330 . . . . 5 (((𝐺𝑈𝐸𝑉𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁))) → 𝑀 ∈ ℕ)
2 simpr12 1332 . . . . . 6 (((𝐺𝑈𝐸𝑉𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
3 eluznn 11943 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐼 ∈ ℕ)
43ex 449 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → (𝐼 ∈ (ℤ𝑀) → 𝐼 ∈ ℕ))
543ad2ant1 1127 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) → (𝐼 ∈ (ℤ𝑀) → 𝐼 ∈ ℕ))
653ad2ant1 1127 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁)) → (𝐼 ∈ (ℤ𝑀) → 𝐼 ∈ ℕ))
76com12 32 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ (ℤ𝑀) → (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁)) → 𝐼 ∈ ℕ))
873ad2ant3 1129 . . . . . . 7 ((𝐺𝑈𝐸𝑉𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) → (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁)) → 𝐼 ∈ ℕ))
98imp 444 . . . . . 6 (((𝐺𝑈𝐸𝑉𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁))) → 𝐼 ∈ ℕ)
102, 9ifcld 4267 . . . . 5 (((𝐺𝑈𝐸𝑉𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁))) → if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼) ∈ ℕ)
11 nnre 11211 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
12113ad2ant2 1128 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
13 eluzelre 11882 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼 ∈ (ℤ𝑀) → 𝐼 ∈ ℝ)
1412, 13anim12i 591 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ 𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ))
15 nnre 11211 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
16153ad2ant1 1127 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) → 𝑀 ∈ ℝ)
1716adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ 𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑀 ∈ ℝ)
18 simpl3 1229 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ 𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑀𝑁)
1914, 17, 183jca 1122 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ 𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁))
2019ex 449 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) → (𝐼 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁)))
21203ad2ant1 1127 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁)) → (𝐼 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁)))
2221com12 32 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ (ℤ𝑀) → (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁)) → ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁)))
23223ad2ant3 1129 . . . . . . 7 ((𝐺𝑈𝐸𝑉𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) → (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁)) → ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁)))
2423imp 444 . . . . . 6 (((𝐺𝑈𝐸𝑉𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁))) → ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁))
25 lemaxle 12211 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁) → 𝑀 ≤ if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼))
2624, 25syl 17 . . . . 5 (((𝐺𝑈𝐸𝑉𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁))) → 𝑀 ≤ if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼))
271, 10, 263jca 1122 . . . 4 (((𝐺𝑈𝐸𝑉𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁))) → (𝑀 ∈ ℕ ∧ if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ≤ if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼)))
28 simp1 1130 . . . . . 6 ((𝐺𝑈𝐸𝑉𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐺𝑈)
29 simp2 1131 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁)) → Fun (𝐺 ∖ {∅}))
3028, 29anim12i 591 . . . . 5 (((𝐺𝑈𝐸𝑉𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁))) → (𝐺𝑈 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})))
31 pm3.22 464 . . . . . . 7 ((𝐸𝑉𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐼 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐸𝑉))
32313adant1 1124 . . . . . 6 ((𝐺𝑈𝐸𝑉𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐼 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐸𝑉))
3332adantr 472 . . . . 5 (((𝐺𝑈𝐸𝑉𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁))) → (𝐼 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐸𝑉))
34 setsfun0 16088 . . . . 5 (((𝐺𝑈 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) ∧ (𝐼 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐸𝑉)) → Fun ((𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∖ {∅}))
3530, 33, 34syl2anc 696 . . . 4 (((𝐺𝑈𝐸𝑉𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁))) → Fun ((𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∖ {∅}))
36 3simpa 1142 . . . . . . 7 ((𝐺𝑈𝐸𝑉𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐺𝑈𝐸𝑉))
3736adantr 472 . . . . . 6 (((𝐺𝑈𝐸𝑉𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁))) → (𝐺𝑈𝐸𝑉))
38 setsdm 16086 . . . . . 6 ((𝐺𝑈𝐸𝑉) → dom (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) = (dom 𝐺 ∪ {𝐼}))
3937, 38syl 17 . . . . 5 (((𝐺𝑈𝐸𝑉𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁))) → dom (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) = (dom 𝐺 ∪ {𝐼}))
40 simp3 1132 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁)) → dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁))
41 nnz 11583 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
42413ad2ant2 1128 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
43423ad2ant1 1127 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
44 simpl3 1229 . . . . . 6 (((𝐺𝑈𝐸𝑉𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁))) → 𝐼 ∈ (ℤ𝑀))
45 ssfzunsn 12572 . . . . . 6 ((dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) → (dom 𝐺 ∪ {𝐼}) ⊆ (𝑀...if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼)))
4640, 43, 44, 45syl2an23an 1528 . . . . 5 (((𝐺𝑈𝐸𝑉𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁))) → (dom 𝐺 ∪ {𝐼}) ⊆ (𝑀...if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼)))
4739, 46eqsstrd 3772 . . . 4 (((𝐺𝑈𝐸𝑉𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁))) → dom (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ⊆ (𝑀...if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼)))
4827, 35, 473jca 1122 . . 3 (((𝐺𝑈𝐸𝑉𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁))) → ((𝑀 ∈ ℕ ∧ if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ≤ if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼)) ∧ Fun ((𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∖ {∅}) ∧ dom (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ⊆ (𝑀...if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼))))
4948ex 449 . 2 ((𝐺𝑈𝐸𝑉𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) → (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁)) → ((𝑀 ∈ ℕ ∧ if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ≤ if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼)) ∧ Fun ((𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∖ {∅}) ∧ dom (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ⊆ (𝑀...if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼)))))
50 isstruct 16064 . 2 (𝐺 Struct ⟨𝑀, 𝑁⟩ ↔ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁)))
51 isstruct 16064 . 2 ((𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) Struct ⟨𝑀, if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼)⟩ ↔ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ≤ if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼)) ∧ Fun ((𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∖ {∅}) ∧ dom (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ⊆ (𝑀...if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼))))
5249, 50, 513imtr4g 285 1 ((𝐺𝑈𝐸𝑉𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐺 Struct ⟨𝑀, 𝑁⟩ → (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) Struct ⟨𝑀, if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼)⟩))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1624   ∈ wcel 2131   ∖ cdif 3704   ∪ cun 3705   ⊆ wss 3707  ∅c0 4050  ifcif 4222  {csn 4313  ⟨cop 4319   class class class wbr 4796  dom cdm 5258  Fun wfun 6035  ‘cfv 6041  (class class class)co 6805  ℝcr 10119   ≤ cle 10259  ℕcn 11204  ℤcz 11561  ℤ≥cuz 11871  ...cfz 12511   Struct cstr 16047   sSet csts 16049 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-oadd 7725  df-er 7903  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-nn 11205  df-n0 11477  df-z 11562  df-uz 11872  df-fz 12512  df-struct 16053  df-sets 16058 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator