MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  setsres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem setsres 15948
Description: The structure replacement function does not affect the value of 𝑆 away from 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
setsres (𝑆𝑉 → ((𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) ↾ (V ∖ {𝐴})) = (𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})))

Proof of Theorem setsres
StepHypRef Expression
1 opex 4962 . . . 4 𝐴, 𝐵⟩ ∈ V
2 setsvalg 15934 . . . 4 ((𝑆𝑉 ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ V) → (𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ((𝑆 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩})) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}))
31, 2mpan2 707 . . 3 (𝑆𝑉 → (𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ((𝑆 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩})) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}))
43reseq1d 5427 . 2 (𝑆𝑉 → ((𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) ↾ (V ∖ {𝐴})) = (((𝑆 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩})) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}) ↾ (V ∖ {𝐴})))
5 resundir 5446 . . 3 (((𝑆 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩})) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}) ↾ (V ∖ {𝐴})) = (((𝑆 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩})) ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ (V ∖ {𝐴})))
6 dmsnopss 5643 . . . . . . 7 dom {⟨𝐴, 𝐵⟩} ⊆ {𝐴}
7 sscon 3777 . . . . . . 7 (dom {⟨𝐴, 𝐵⟩} ⊆ {𝐴} → (V ∖ {𝐴}) ⊆ (V ∖ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩}))
86, 7ax-mp 5 . . . . . 6 (V ∖ {𝐴}) ⊆ (V ∖ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩})
9 resabs1 5462 . . . . . 6 ((V ∖ {𝐴}) ⊆ (V ∖ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩}) → ((𝑆 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩})) ↾ (V ∖ {𝐴})) = (𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})))
108, 9ax-mp 5 . . . . 5 ((𝑆 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩})) ↾ (V ∖ {𝐴})) = (𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴}))
11 dmres 5454 . . . . . . 7 dom ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ (V ∖ {𝐴})) = ((V ∖ {𝐴}) ∩ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩})
12 disj2 4057 . . . . . . . 8 (((V ∖ {𝐴}) ∩ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩}) = ∅ ↔ (V ∖ {𝐴}) ⊆ (V ∖ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩}))
138, 12mpbir 221 . . . . . . 7 ((V ∖ {𝐴}) ∩ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩}) = ∅
1411, 13eqtri 2673 . . . . . 6 dom ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ (V ∖ {𝐴})) = ∅
15 relres 5461 . . . . . . 7 Rel ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ (V ∖ {𝐴}))
16 reldm0 5375 . . . . . . 7 (Rel ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ (V ∖ {𝐴})) → (({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ (V ∖ {𝐴})) = ∅ ↔ dom ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ (V ∖ {𝐴})) = ∅))
1715, 16ax-mp 5 . . . . . 6 (({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ (V ∖ {𝐴})) = ∅ ↔ dom ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ (V ∖ {𝐴})) = ∅)
1814, 17mpbir 221 . . . . 5 ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ (V ∖ {𝐴})) = ∅
1910, 18uneq12i 3798 . . . 4 (((𝑆 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩})) ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ (V ∖ {𝐴}))) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ ∅)
20 un0 4000 . . . 4 ((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ ∅) = (𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴}))
2119, 20eqtri 2673 . . 3 (((𝑆 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩})) ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ (V ∖ {𝐴}))) = (𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴}))
225, 21eqtri 2673 . 2 (((𝑆 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩})) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}) ↾ (V ∖ {𝐴})) = (𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴}))
234, 22syl6eq 2701 1 (𝑆𝑉 → ((𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) ↾ (V ∖ {𝐴})) = (𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196   = wceq 1523  wcel 2030  Vcvv 3231  cdif 3604  cun 3605  cin 3606  wss 3607  c0 3948  {csn 4210  cop 4216  dom cdm 5143  cres 5145  Rel wrel 5148  (class class class)co 6690   sSet csts 15902
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-res 5155  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-sets 15911
This theorem is referenced by:  setsabs  15949  setsnid  15962  mdetunilem9  20474
  Copyright terms: Public domain W3C validator