MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  setsnid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem setsnid 16138
Description: Value of the structure replacement function at an untouched index. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
setsid.e 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
setsnid.n (𝐸‘ndx) ≠ 𝐷
Assertion
Ref Expression
setsnid (𝐸𝑊) = (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩))

Proof of Theorem setsnid
StepHypRef Expression
1 setsid.e . . . 4 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
2 id 22 . . . 4 (𝑊 ∈ V → 𝑊 ∈ V)
31, 2strfvnd 16099 . . 3 (𝑊 ∈ V → (𝐸𝑊) = (𝑊‘(𝐸‘ndx)))
4 ovex 6843 . . . . 5 (𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩) ∈ V
54, 1strfvn 16102 . . . 4 (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩)) = ((𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩)‘(𝐸‘ndx))
6 setsres 16124 . . . . . 6 (𝑊 ∈ V → ((𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩) ↾ (V ∖ {𝐷})) = (𝑊 ↾ (V ∖ {𝐷})))
76fveq1d 6356 . . . . 5 (𝑊 ∈ V → (((𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩) ↾ (V ∖ {𝐷}))‘(𝐸‘ndx)) = ((𝑊 ↾ (V ∖ {𝐷}))‘(𝐸‘ndx)))
8 fvex 6364 . . . . . . 7 (𝐸‘ndx) ∈ V
9 setsnid.n . . . . . . 7 (𝐸‘ndx) ≠ 𝐷
10 eldifsn 4463 . . . . . . 7 ((𝐸‘ndx) ∈ (V ∖ {𝐷}) ↔ ((𝐸‘ndx) ∈ V ∧ (𝐸‘ndx) ≠ 𝐷))
118, 9, 10mpbir2an 993 . . . . . 6 (𝐸‘ndx) ∈ (V ∖ {𝐷})
12 fvres 6370 . . . . . 6 ((𝐸‘ndx) ∈ (V ∖ {𝐷}) → (((𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩) ↾ (V ∖ {𝐷}))‘(𝐸‘ndx)) = ((𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩)‘(𝐸‘ndx)))
1311, 12ax-mp 5 . . . . 5 (((𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩) ↾ (V ∖ {𝐷}))‘(𝐸‘ndx)) = ((𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩)‘(𝐸‘ndx))
14 fvres 6370 . . . . . 6 ((𝐸‘ndx) ∈ (V ∖ {𝐷}) → ((𝑊 ↾ (V ∖ {𝐷}))‘(𝐸‘ndx)) = (𝑊‘(𝐸‘ndx)))
1511, 14ax-mp 5 . . . . 5 ((𝑊 ↾ (V ∖ {𝐷}))‘(𝐸‘ndx)) = (𝑊‘(𝐸‘ndx))
167, 13, 153eqtr3g 2818 . . . 4 (𝑊 ∈ V → ((𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩)‘(𝐸‘ndx)) = (𝑊‘(𝐸‘ndx)))
175, 16syl5eq 2807 . . 3 (𝑊 ∈ V → (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩)) = (𝑊‘(𝐸‘ndx)))
183, 17eqtr4d 2798 . 2 (𝑊 ∈ V → (𝐸𝑊) = (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩)))
191str0 16134 . . 3 ∅ = (𝐸‘∅)
20 fvprc 6348 . . 3 𝑊 ∈ V → (𝐸𝑊) = ∅)
21 reldmsets 16109 . . . . 5 Rel dom sSet
2221ovprc1 6849 . . . 4 𝑊 ∈ V → (𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩) = ∅)
2322fveq2d 6358 . . 3 𝑊 ∈ V → (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩)) = (𝐸‘∅))
2419, 20, 233eqtr4a 2821 . 2 𝑊 ∈ V → (𝐸𝑊) = (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩)))
2518, 24pm2.61i 176 1 (𝐸𝑊) = (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨𝐷, 𝐶⟩))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1632  wcel 2140  wne 2933  Vcvv 3341  cdif 3713  c0 4059  {csn 4322  cop 4328  cres 5269  cfv 6050  (class class class)co 6815  ndxcnx 16077   sSet csts 16078  Slot cslot 16079
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-ral 3056  df-rex 3057  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-nul 4060  df-if 4232  df-sn 4323  df-pr 4325  df-op 4329  df-uni 4590  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-id 5175  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-res 5279  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fv 6058  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-slot 16084  df-sets 16087
This theorem is referenced by:  resslem  16156  oppchomfval  16596  oppcbas  16600  rescbas  16711  rescco  16714  rescabs  16715  odubas  17355  oppglem  18001  mgplem  18715  opprlem  18849  rmodislmod  19154  sralem  19400  srasca  19404  sravsca  19405  opsrbaslem  19700  opsrbaslemOLD  19701  zlmlem  20088  zlmsca  20092  znbaslem  20109  znbaslemOLD  20110  thlbas  20263  thlle  20264  matbas  20442  matplusg  20443  matsca  20444  matvsca  20445  tuslem  22293  setsmsbas  22502  setsmsds  22503  tnglem  22666  tngds  22674  ttgval  25976  ttglem  25977  cchhllem  25988  setsvtx  26148  resvlem  30162  zlmds  30339  zlmtset  30340  hlhilslem  37751  cznrnglem  42482  cznabel  42483  cznrng  42484
  Copyright terms: Public domain W3C validator